小螞蟻的“體”“面”生活
——螞蟻爬行的最短路徑問題探究

王再興

（山東省日照市日照港中學，山東 日照）

現舉例分析如下：

爬臺階爬行問題：

如圖所示，學校教學樓前的臺階上，每一級的長、寬和高分別等于5 dm，3 dm和1 dm，在臺階的某層一端B點上有一只螞蟻，想到A點吃食物，那么這只螞蟻從B點出發，沿著臺階面爬到A點，怎么樣爬路線最短呢？

思路分析：在臺階上爬，學生剛開始思考起來有難度，需要轉化為我們初中生熟悉的平面幾何問題來解決。我們不妨假設臺階上鋪上紅地毯，現在把紅地毯平鋪到一個平面上，再來研究計算AB之間的距離，這樣理解起來更為直接。

解：將臺階展開，如下圖，

因為 AC=3×3+1×3=12，BC=5，

所以AB2=AC2+BC2=169，

所以 AB=13（dm），

所以螞蟻爬行的最短線路為13 dm.

答：螞蟻爬行的最短線路為13 dm.

繞圓柱體爬行問題：

如圖所示，桌子上有一個圓柱形的透明玻璃杯，玻璃杯的底面圓的周長為16 cm，高為7 cm，一只螞蟻從距離底面1 cm的A處爬行到對角的B處吃食物，那么小螞蟻怎樣爬行路線最短呢？最短路線是多少？

分析：顯然在圓柱體上找最短路徑，想象起來比較困難，首先學生在曲面上畫圖比較困難，在圓柱體的表面畫出最短路徑比較困難，因此應該考慮把圓柱體的側面展開成一個矩形，把曲面轉化為平面，從而進行求解。

解答：展開圖如圖所示，題目變成解直角三角形ABC的問題，利用勾股定理可以很容易解得AB的最小值為10 cm.

拓展訓練：桌子上有一個圓柱形的透明玻璃杯，玻璃杯的高為12 cm，底面周長10 cm，在杯口內壁離杯口2 cm的A處有一滴蜂蜜，一只小螞蟻在和點A相對的玻璃杯的外壁上的點B處，點B距離桌面為2 cm，小螞蟻沿著玻璃杯從B處到A處去吃蜂蜜，怎樣爬行路線最近呢？最短路徑是多少？

繞圓錐體爬行問題：

如圖所示，圓錐體的底面半徑為5 cm，母線長為20 cm，一只小螞蟻若從底面圓周上一點A點出發，繞圓錐體的側面爬行一周又回到A點，怎樣爬行路線最近呢？最短路徑是多少？

解：由題意知，可求底面周長等于10π cm，

設圓錐的側面展開后的扇形圓心角為n°，根據底面周長等于展開后扇形的弧長,解得n=90°,圓錐的側面展開圖為圓心角為90°的扇形，連接AA′，兩條母線和AA′構成等腰直角三角形，根據勾股定理很容易求得小螞蟻爬行的最短的路線。

拓展訓練：如果原題中的其他條件不變，母線長變15 cm，那么最短路線長為多少呢？

沿長方體或正方體表面爬行問題：

如圖所示，一個邊長為1 cm立方體，一只小螞蟻從立方體的頂點A出發沿著正方體的外表面爬到另外一個頂點B處尋找食物，怎樣爬行路線最近呢？最短路徑是多少？

拓展訓練：如圖，在一個長為50 cm，寬為40 cm，高為30 cm的長方體盒子的頂點A處有一只螞蟻，它要爬到頂點B處去尋找食物，小螞蟻怎么樣爬路線最短呢？

分析：當沿著立方體的外表面爬行的時候，答案比較好確定。當沿著一個長方體表面爬行的時候，可以通過長方體的展開平面圖來解決。化曲為直，體現了數學中的轉化思想，但是長方體的側面展開圖有三種展開方式，所以在求AB間最短路線問題，需要針對所有可能的情況進行分類討論，體現分類討論思想，同樣根據勾股定理來解決。當然，通過本題可以發現，當小螞蟻在長方體表面爬行的時候，要想得到最短距離，首先考慮把長方體展開，然后選擇跨越最長的那條棱最近。