小螞蟻的“體”“面”生活
——螞蟻爬行的最短路徑問(wèn)題探究

王再興

（山東省日照市日照港中學(xué)，山東 日照）

現(xiàn)舉例分析如下：

爬臺(tái)階爬行問(wèn)題：

如圖所示，學(xué)校教學(xué)樓前的臺(tái)階上，每一級(jí)的長(zhǎng)、寬和高分別等于5 dm，3 dm和1 dm，在臺(tái)階的某層一端B點(diǎn)上有一只螞蟻，想到A點(diǎn)吃食物，那么這只螞蟻從B點(diǎn)出發(fā)，沿著臺(tái)階面爬到A點(diǎn)，怎么樣爬路線最短呢？

思路分析：在臺(tái)階上爬，學(xué)生剛開(kāi)始思考起來(lái)有難度，需要轉(zhuǎn)化為我們初中生熟悉的平面幾何問(wèn)題來(lái)解決。我們不妨假設(shè)臺(tái)階上鋪上紅地毯，現(xiàn)在把紅地毯平鋪到一個(gè)平面上，再來(lái)研究計(jì)算AB之間的距離，這樣理解起來(lái)更為直接。

解：將臺(tái)階展開(kāi)，如下圖，

因?yàn)?AC=3×3+1×3=12，BC=5，

所以AB2=AC2+BC2=169，

所以 AB=13（dm），

所以螞蟻爬行的最短線路為13 dm.

答：螞蟻爬行的最短線路為13 dm.

繞圓柱體爬行問(wèn)題：

如圖所示，桌子上有一個(gè)圓柱形的透明玻璃杯，玻璃杯的底面圓的周長(zhǎng)為16 cm，高為7 cm，一只螞蟻從距離底面1 cm的A處爬行到對(duì)角的B處吃食物，那么小螞蟻怎樣爬行路線最短呢？最短路線是多少？

分析：顯然在圓柱體上找最短路徑，想象起來(lái)比較困難，首先學(xué)生在曲面上畫(huà)圖比較困難，在圓柱體的表面畫(huà)出最短路徑比較困難，因此應(yīng)該考慮把圓柱體的側(cè)面展開(kāi)成一個(gè)矩形，把曲面轉(zhuǎn)化為平面，從而進(jìn)行求解。

解答：展開(kāi)圖如圖所示，題目變成解直角三角形ABC的問(wèn)題，利用勾股定理可以很容易解得AB的最小值為10 cm.

拓展訓(xùn)練：桌子上有一個(gè)圓柱形的透明玻璃杯，玻璃杯的高為12 cm，底面周長(zhǎng)10 cm，在杯口內(nèi)壁離杯口2 cm的A處有一滴蜂蜜，一只小螞蟻在和點(diǎn)A相對(duì)的玻璃杯的外壁上的點(diǎn)B處，點(diǎn)B距離桌面為2 cm，小螞蟻沿著玻璃杯從B處到A處去吃蜂蜜，怎樣爬行路線最近呢？最短路徑是多少？

繞圓錐體爬行問(wèn)題：

如圖所示，圓錐體的底面半徑為5 cm，母線長(zhǎng)為20 cm，一只小螞蟻若從底面圓周上一點(diǎn)A點(diǎn)出發(fā)，繞圓錐體的側(cè)面爬行一周又回到A點(diǎn)，怎樣爬行路線最近呢？最短路徑是多少？

解：由題意知，可求底面周長(zhǎng)等于10π cm，

設(shè)圓錐的側(cè)面展開(kāi)后的扇形圓心角為n°，根據(jù)底面周長(zhǎng)等于展開(kāi)后扇形的弧長(zhǎng),解得n=90°,圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖為圓心角為90°的扇形，連接AA′，兩條母線和AA′構(gòu)成等腰直角三角形，根據(jù)勾股定理很容易求得小螞蟻爬行的最短的路線。

拓展訓(xùn)練：如果原題中的其他條件不變，母線長(zhǎng)變15 cm，那么最短路線長(zhǎng)為多少呢？

沿長(zhǎng)方體或正方體表面爬行問(wèn)題：

如圖所示，一個(gè)邊長(zhǎng)為1 cm立方體，一只小螞蟻從立方體的頂點(diǎn)A出發(fā)沿著正方體的外表面爬到另外一個(gè)頂點(diǎn)B處尋找食物，怎樣爬行路線最近呢？最短路徑是多少？

拓展訓(xùn)練：如圖，在一個(gè)長(zhǎng)為50 cm，寬為40 cm，高為30 cm的長(zhǎng)方體盒子的頂點(diǎn)A處有一只螞蟻，它要爬到頂點(diǎn)B處去尋找食物，小螞蟻怎么樣爬路線最短呢？

分析：當(dāng)沿著立方體的外表面爬行的時(shí)候，答案比較好確定。當(dāng)沿著一個(gè)長(zhǎng)方體表面爬行的時(shí)候，可以通過(guò)長(zhǎng)方體的展開(kāi)平面圖來(lái)解決。化曲為直，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)化思想，但是長(zhǎng)方體的側(cè)面展開(kāi)圖有三種展開(kāi)方式，所以在求AB間最短路線問(wèn)題，需要針對(duì)所有可能的情況進(jìn)行分類討論，體現(xiàn)分類討論思想，同樣根據(jù)勾股定理來(lái)解決。當(dāng)然，通過(guò)本題可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)小螞蟻在長(zhǎng)方體表面爬行的時(shí)候，要想得到最短距離，首先考慮把長(zhǎng)方體展開(kāi)，然后選擇跨越最長(zhǎng)的那條棱最近。