運(yùn)用平方差公式進(jìn)行計(jì)算過(guò)程中存在的問(wèn)題及應(yīng)對(duì)策略

金培苗

（灌云縣九年制實(shí)驗(yàn)學(xué)校，江蘇 灌云）

平方差公式是蘇科版七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)第9章第4節(jié)第二課時(shí)所學(xué)習(xí)的內(nèi)容，學(xué)生對(duì)于平方差公式都能說(shuō)上來(lái)：（a+b）（a-b）=a2-b2，但是在運(yùn)用過(guò)程中，總會(huì)出現(xiàn)各式各樣的錯(cuò)誤。下面我就針對(duì)存在的問(wèn)題和大家談?wù)剳?yīng)對(duì)策略。

一、練習(xí)中的錯(cuò)誤舉例

錯(cuò)誤類(lèi)型 1：（x+3）（x-3）=（x-3）2（x-3）（x-3）=x2-32

錯(cuò)誤原因剖析：平方差公式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)沒(méi)有掌握，與完全平方公式的特點(diǎn)弄混了。

錯(cuò)誤類(lèi)型 2：（-2+x）（2+x）=（-2）2-x2=4-x2（-3+x）（x+3）=（-3）2-x2

錯(cuò)誤原因剖析：沒(méi)有掌握好平方差公式的特點(diǎn)，后面的結(jié)果前后兩部分弄顛倒了。

錯(cuò)誤類(lèi)型 3：（2x-3y）（2x+3y）=2x2-3y2

錯(cuò)誤原因剖析：沒(méi)有掌握好平方差公式的特點(diǎn)，套用公式時(shí)丟掉了括號(hào)。

錯(cuò)誤類(lèi)型 4：（2a-3b+c）（2a+3b+c）=（2a-3b）2-c2=4a2-12ab+9b2-c2

錯(cuò)誤原因剖析：沒(méi)有掌握好平方差公式的特點(diǎn)，沒(méi)有弄清哪些是相等的量、哪些是互為相反數(shù)的量。

二、應(yīng)對(duì)策略

1.弄清公式特點(diǎn)和條件

平方差公式左邊前后括號(hào)里的多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)相同，其中在前后括號(hào)里有一部分項(xiàng)是相等的，另外一部分則是互為相反數(shù)的。公式右邊有兩部分，前部分是相等量的平方，后部分是互為相反數(shù)的量的項(xiàng)的平方，中間用“—”號(hào)連接。如下圖：

使用平方差公式進(jìn)行計(jì)算必須滿足如下幾個(gè)條件：

（1）前后括號(hào)內(nèi)的項(xiàng)數(shù)要相同；

（2）前后括號(hào)內(nèi)要有相等的項(xiàng)，前面括號(hào)內(nèi)余下的項(xiàng)和后面括號(hào)余下的項(xiàng)是互為相反數(shù)關(guān)系。

2.教會(huì)學(xué)生套用公式

在解題的時(shí)候一定要認(rèn)真審題，找到前后括號(hào)內(nèi)相等的項(xiàng)和互為相反數(shù)的項(xiàng)，然后根據(jù)上面的公式進(jìn)行計(jì)算。

例 1 計(jì)算：（1）（2a-3b）（2a+3b） （2）（3x-y）（-y-3x）

解析：在（1）中第一個(gè)括號(hào)內(nèi)2a和第二個(gè)括號(hào)內(nèi)的2a是相等的項(xiàng)，第一個(gè)括號(hào)內(nèi)-3b和第二個(gè)括號(hào)內(nèi)3b是互為相反數(shù)的項(xiàng)，所以根據(jù)公式可得：（2a）2-（3b）2，然后再依據(jù)積的乘方公式進(jìn)行計(jì)算即可。在（2）中第一個(gè)括號(hào)內(nèi)-y和第二個(gè)括號(hào)內(nèi)的-y是相等的項(xiàng)，第一個(gè)括號(hào)內(nèi)3x和第二個(gè)括號(hào)內(nèi)-3x是互為相反數(shù)的項(xiàng)，所以根據(jù)公式可得：（-y）2-（3x）2，然后再依據(jù)積的乘方公式進(jìn)行計(jì)算即可。

解題過(guò)程如下：

對(duì)于復(fù)雜的題目也是一樣的操作方式，例如：

例 2 計(jì)算：（1）（2a+3b+c）（2a+3b-c）

（2）（3x-y-4z）（4z-y+3x）

解析：在（1）中第一個(gè)括號(hào)內(nèi)2a，+3b和第二個(gè)括號(hào)內(nèi)的2a，+3b是相等的項(xiàng)，第一個(gè)括號(hào)內(nèi)+c和第二個(gè)括號(hào)內(nèi)-c是互為相反數(shù)的項(xiàng)，所以根據(jù)公式可得：（2a+3b）2-（c）2，然后再依據(jù)相關(guān)公式進(jìn)行計(jì)算即可。在（2）中第一個(gè)括號(hào)內(nèi)3x，-y和第二個(gè)括號(hào)內(nèi)的3x，-y是相等的項(xiàng)，第一個(gè)括號(hào)內(nèi)-4z和第一個(gè)括號(hào)內(nèi)4z是互為相反數(shù)的項(xiàng)，所以根據(jù)公式可得：（3x-y）2-（4z）2，然后再依據(jù)相關(guān)公式進(jìn)行計(jì)算即可。

解題過(guò)程如下：

（1）（2a+3b+c）（2a+3b-c）

解：原式=（2a+3b）2-（c）2

=（2a）2+2·2a·3b+（3b）2-c2

=4a2+12ab+9b2-c2

（2）（3x-y-4z）（4z-y+3x）

解：原式=（3x-y）2-（4z）2

=（3x）2-2·3x·y+（y）2-16z2

=9x2-6xy+y2-16z2

注意：在套用公式的過(guò)程中要注意，我們找到相等的項(xiàng)，將它們連同它們的符號(hào)直接填入前面的括號(hào)里然后把它們的和加平方；至于互為相反數(shù)的項(xiàng)，我們只選擇前一個(gè)括號(hào)余下的項(xiàng)，要連同本身的符號(hào)直接填入后面的括號(hào)里，然后加平方（也可以選擇后面括號(hào)里除去與前面括號(hào)里相等的項(xiàng)余下的項(xiàng)，也要連同其符號(hào)一起填入后面的括號(hào)里，然后加平方）。

例 3 計(jì)算（2a-3b+5c-4d）(4d-3b-5c+2a）

解析：此題前后括號(hào)內(nèi)的項(xiàng)數(shù)都是4，而且前后括號(hào)內(nèi)有相等的項(xiàng)，然后前后括號(hào)內(nèi)剩下的項(xiàng)是互為相反數(shù)，可以套用平方差公式計(jì)算。在第一個(gè)括號(hào)內(nèi)2a，-3b和第二個(gè)括號(hào)內(nèi)的2a，-3b是相等的項(xiàng)，第一個(gè)括號(hào)內(nèi)+5c，-4d和第二個(gè)括號(hào)內(nèi)-5c，4d是互為相反數(shù)的項(xiàng)，所以根據(jù)公式可得：（2a-3b）2-（5c-4d）2，然后再依據(jù)相關(guān)公式進(jìn)行計(jì)算即可。解題過(guò)程如下：

解：（2a-3b+5c-4d）（4d-3b-5c+2a）

=（2a-3b）2-（5c-4d）2

=（4a2-12ab+9b2）-（25c2-40cd+16d2）

=4a2-12ab+9b2-25c2+40cd-16d2

從上述幾個(gè)例子可以看出，運(yùn)用平方差公式進(jìn)行計(jì)算，可以使計(jì)算過(guò)程變得簡(jiǎn)便。但要強(qiáng)調(diào)的是，用平方差公式進(jìn)行計(jì)算，前提是所給的題目的特點(diǎn)要符合平方差公式的特點(diǎn)和條件，如果不符合，則不可亂用，否則會(huì)弄巧成拙。因此，只有弄清公式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，然后再套用上面所給定的公式完成計(jì)算，才能達(dá)到簡(jiǎn)便、準(zhǔn)確、高效、快捷的效果。