數形結合思想在高中數學教學中的應用

張立娟

（吉林省榆樹市第一高級中學，吉林 榆樹）

數學學科的一個本質特征就是數形結合，其依據數的結構特征，構建與之適應的幾何圖形，同時借助圖形的特征與規律解決數的問題；或者將圖形信息轉化為代數信息，從而將圖形問題轉化為數量關系進行討論。高中數學教學中數形結合思想的合理應用，綜合了形象直觀、便于理解的幾何圖形和程序化、一般性、可操作性的代數方法，能夠幫助學生更好地學習、理解相關數學知識，從而不斷提升數學能力水平。

一、數形結合思想的內涵與應用原則

1.涵義

數和形是高中數學中的兩個非常重要的元素，數就是指數量關系，形就是指空間圖像。數形結合就是數量關系和幾何圖像之間轉化，有機結合抽象與形象思維，從而利用形象化的圖像解決抽象化的問題，實現高中數學學習的飛躍，并有效提升學生的解題能力。

2.應用原則

以幾何圖形分析代數抽象性與以代數語言避免幾何直觀約束性的雙向性原則，充分發揮數形結合的優勢；數形轉換過程中，代數性質與幾何性質應保持等價性原則；高中數學的實際教學過程中，教師應堅持以知識為載體，恰當應用數形結合思想，堅持滲透性原則；此外，數形結合思想在高中數學教學中的應用應嚴格遵循學生參與的原則，教師應為學生提供合理的學習時機、素材與平臺，為其營造和諧的學習氛圍，引導其參與知識的發生與發展過程，增強高中數學教學效果。

二、數形結合思想在高中數學教學中的應用

在應用數形結合思想分析、解決高中數學問題的過程中，首先應引導學生明白一些概念、運算的結合意義、曲線的代數特征等；同時，參數設置應恰當、合理應用，正確建立關系，做好轉化；此外，參數的取值范圍應正確設定，“數”與“形”應很好地結合，便于求解。

1.注重數形之間的轉換，將抽象的數學知識變得具體化

相比于數學語言，圖形更具強大的形象性、直觀性，所以，高中數學教師可合理借助數形結合思想，將抽象的代數難題轉換成圖形的形式，從而吸引學生的注意力，充分調動其思維，幫助其獲取明確的解題思路，不斷提升解題能力。

圖1

當k值＜-1時，兩個函數不相交，所以原方程無解；當k值=-1時，函數在圖中顯示兩個交點，所以原方程有2個解；當k值處于-1～0之間時，函數在圖中顯現四個交點，原方程有4個解；當k=0時，函數在圖中顯現三個交點，原方程有3個解；k值＞0時，函數在圖中顯現兩個交點，原方程有2個解。

應用數形結合思想解決函數交點個數或求解方程等問題，能夠借助直觀的圖形鍛煉學生的觀察能力，有利于啟發學生的解題思路，進而拓展其思維空間，提升其數學解題與思考的能力。

2.“數”與“形”的結合在高中數學教學中的應用

事實上，在高中數學的教學過程中，無論是以“數”解題還是以“形”解題都是有一定缺陷的，但二者又是相輔相成的。因此，高數的很多問題都需要充分結合數、形的優勢，共同運用以解決數學問題。如：一些靜態函數問題可以借助坐標系-圖像進行動態表達與闡述，圖像能夠彌補函數形象性、直觀性不足的缺點，如直線圖、圓錐曲線圖形等能夠對一些代數的變化進行充分表達；而精準計算的函數解析式又增強了圖像的精準性。二者的有機結合，能夠有效解決高中數學中的一次函數、二次函數、三角函數等問題。

例如：圓（x-2）2+y2=3上存在一個任意點 M（x，y），求?。▁-y）的最小值與最大值。在解析的過程中，就可以假設x-y=b，將直線方程轉換為y=x-b。當圓與直線相切時，即為直線y=x-b在y軸的截距，如圖所示。這時，b1為最小值，b2為最大值。

圖2

綜上所述，作為一門具有較強理論性與邏輯性的學科，高中數學對學生來說具有較大的難度。因此，教師應合理滲透數形結合思想，引導學生有機結合數與形，更好地解決相關數學問題，不斷提升數學思維水平與能力。