數(shù)學實驗：具身認知視野關照下的學習方式

盧琴

【摘要】當下，兒童“數(shù)學實驗”學習面臨困境：媒體觀影對“數(shù)學實驗”具身操作的代替，動手操作對“數(shù)學實驗”具身思想的忽視，追求結果對“數(shù)學實驗”具身過程的僭越。具身認知理論提倡以“身體”認識世界，心智離不開身體經驗，數(shù)學實驗中能積累豐富的身體經驗，因此提倡兒童“數(shù)學實驗”學習就有很強的現(xiàn)實意義和價值。構建具身認知視野關照下的數(shù)學實驗“情境場”“發(fā)生場”和“評價場”，才是小學數(shù)學實驗學習困境的出路。

【關鍵詞】數(shù)學實驗；具身認知；學習方式

數(shù)學家歐拉曾說過：“數(shù)學這門學科，需要觀察，更需要實驗，許多定理都是靠實驗、歸納發(fā)現(xiàn)的?！睌?shù)學實驗不僅是數(shù)學家研究數(shù)學的主要方式，也是小學生學習數(shù)學的一種重要方式。但由于部分教師對數(shù)學實驗教學觀念的過時、對教材解讀的膚淺、對教學過程的功利導致其把學習視為一種可以“離身”的精神訓練，忽視了數(shù)學實驗中基于身體、源于身體的具身學習價值。具身認知的中心觀點是，認知、思維、記憶、學習、情感和態(tài)度等是身體作用于環(huán)境的活動塑造出來的，數(shù)學實驗恰恰就是身體、環(huán)境、心智共同參與的學習方式。通過審視小學“數(shù)學實驗”的困境并基于具身認知視野下尋求出路已刻不容緩。

一、兒童“數(shù)學實驗”學習的困境

1.媒體觀影對“數(shù)學實驗”具身操作的代替

很多人認為小學數(shù)學不需要數(shù)學實驗，兒童學習的主要任務就是聽講和解題，而且數(shù)學實驗要為學生準備實驗工具進行實際操作活動，實驗過程中還可能存在誤差導致結果的不確定性，兒童的“數(shù)學實驗”具身操作過程常常被媒體觀影所代替。例如研究《圓錐的體積》時利用多媒體課件演示一個圓錐裝滿水向一個與它等底等高的圓柱里倒，連續(xù)倒了三次正好倒?jié)M，從而讓學生得出圓錐的體積是和它等底等高的圓柱體積的三分之一。學生沒有具身實驗，而是觀看多媒體課件，課件演示的實驗結果是否真實可信？這樣缺少動手試驗和理性思考的媒體觀影課，讓學生的探究能力和理性思考能力都無法得到發(fā)展與提高。

2.動手操作對“數(shù)學實驗”具身思想的忽視

數(shù)學是思維的體操，小學生的思維發(fā)展又以具體形象為主，所以小學數(shù)學教學中教師經常讓學生進行動手操作，以加強學生的體驗，但要警惕的是千萬不能讓學生淪為機械的操作工，忽視感悟、體驗與應用數(shù)學實驗中蘊含的具身思想。例如研究《一一間隔排列中的規(guī)律》時利用小棒和圓片進行數(shù)學實驗，但缺少對相應學具的分組操作，更忽視讓學生感悟對應思想，學生的思維仍停留在直觀層面，無法理解為什么兩端物體相同，兩端物體會比中間物體多1，從而導致在練習過程中什么時候加1，什么時候減1，什么時候相等，學生都茫然不知所措、無從下手。

3.追求結果對“數(shù)學實驗”具身過程的僭越

數(shù)學實驗的目的在于探索數(shù)學結論或者驗證數(shù)學猜想，有的老師就著眼于得到結論，為了追求實驗結果的一步到位或實驗過程的順利通暢，而對數(shù)學實驗的步驟提前告知、過度引導、走形式走過場，導致學生在實驗過程中跟著實驗步驟簡單操作，缺乏具身學習所積累的多種經驗，更談不上思維的靈活與深刻。例如研究《圓的周長》時提前讓學生預習了解圓周率的含義，課上讓學生用“繞線法”“滾圓法”或“軟尺測量法”測量圓的周長，學生通過測量和計算發(fā)現(xiàn)結果并不是3.14，有的學生為了得到3.14這個值而篡改測量數(shù)據(jù)，還有的干脆不進行實驗直接計算，教師在學生實驗的過程中沒有及時給予方法指導縮小測量誤差，更沒有讓學生深刻體會實驗誤差是必然存在的道理，生動有趣的數(shù)學實驗因為盲目追求正確結果導致對學生具身過程的僭越。

二、探尋兒童“數(shù)學實驗”困境的原因

1.教師對“數(shù)學實驗”教學觀念的“過時性”

談到數(shù)學實驗，超過九成的教師都認為開展小學數(shù)學實驗很有意義也很有必要，但實際開展數(shù)學實驗的不到三成。教師普遍認為開展數(shù)學實驗費時較多，影響數(shù)學教學的進程；學生自控能力較差，實驗操作會打亂課堂教學秩序；準備實驗器材需要耗費大量精力，實驗結果也未必能通過數(shù)學實驗順利得出。與其花費大量時間和精力來“做實驗”，不如“聽實驗”“講實驗”“演實驗”，方便又省事，正因為這種對“數(shù)學實驗”教學觀念的“過時性”，造成學生想不到做實驗，更不會做實驗。

2.教師對“數(shù)學實驗”教材解讀的“膚淺性”

談到數(shù)學實驗，大家很容易聯(lián)想到科學實驗，于是認為一節(jié)課就為了做一個大實驗，而一節(jié)課中一個小的實驗就認為不是數(shù)學意義上的實驗。其實蘇教版小學數(shù)學教材中除了“動手與實踐”領域的主題實驗課，還有大量豐富的數(shù)學小實驗，教師要對數(shù)學教材進行深入解讀與挖掘，為學生提供真實而鮮活的數(shù)學實驗情境。例如研究《用方向和距離確定位置》時，教材直接告知“北偏東”“北偏西”這樣的表述，教師不能膚淺地照搬照套，可以用數(shù)學實驗為學生開辟新的學習路徑，讓學生用直尺、量角器等工具進行反復實驗，從而對相關位置的描述趨于準確，并就測量方向的“基準”進行討論，最終形成對指定位置的準備表述。

3.教師對“數(shù)學實驗”教學過程的“功利性”

在實際教學過程中，有些教師把學生看成儲存知識的容器，一味地往里面倒數(shù)學知識，把學生看成做作業(yè)的機器，反復地進行解題的訓練和強化。例如研究《三角形的內角和》時需要讓學生猜一猜、量一量、拼一拼、折一折，實驗得出“三角形的內角和是180度”，但有的老師認為花費這么多時間來進行實驗，還不如直接告訴學生結論，把從實驗節(jié)省下來的時間用來多練幾道變式題，這種功利性的教學過程，讓學生的數(shù)學學習變得索然無味，他們無法體驗到實驗所帶來思維的自由馳騁、身心的自然舒展、素養(yǎng)的熏陶和提升。

三、具身認知視野關照下“數(shù)學實驗”學習的內涵詮釋與價值建構

1.具身認知視野關照下“數(shù)學實驗”學習的內涵詮釋

具身認知理論認為，認識過程根植于身體活動，它是被身體作用于世界的活動塑造出來的①，所以認識依賴于身體各種不同感受器的多樣的經驗。而小學數(shù)學實驗是在數(shù)學思想和數(shù)學教學理論的指導下，學生借助實物和工具，通過對實驗素材進行“數(shù)學化”的操作來建構數(shù)學概念、驗證數(shù)學結論、探索數(shù)學規(guī)律、解決數(shù)學問題的一種數(shù)學學習方式②。這與具身認知理論不謀而合，因此兒童的學習方式依托“數(shù)學實驗”要從離身學習走向具身學習將成為一種必然。

2.具身認知視野關照下“數(shù)學實驗”學習的價值建構

（1）具身實驗促進學生深度的知識理解。

深度的知識理解光靠想像是難以實現(xiàn)的，需要以直觀的事物作為載體進行分析與探究，數(shù)學實驗就能將直觀和抽象緊密結合，教師可有針對性地安排多層次的具身實驗，讓學生在實驗中將心智根植于身體，把身體根植于環(huán)境，從身體和環(huán)境的互動中深刻地理解、把握知識的本質和聯(lián)系，能將學到的知識進行深層加工、多變處理和靈活運用，能夠用不同的方式對各個知識點進行關聯(lián)，并在頭腦中串成知識鏈、織成知識網，形成知識的結構體系。

（2）具身實驗促進學生積極的情感體驗。

數(shù)學大師陳省身為兒童題詞“數(shù)學好玩”，但好玩的數(shù)學似乎只有少部分優(yōu)等生才能體會到，大部分學生覺得“數(shù)學枯燥”“數(shù)學難學”，對數(shù)學學習產生抵觸的情緒。學生最初學習的動力來自環(huán)境的壓力，但外在壓力對學習的效果能否持久，關鍵就在于外在壓力能否轉化成內部的需要①。數(shù)學實驗給孩子們提供更多動腦思考和動手實踐相結合的機會，學生所表現(xiàn)出的濃厚的興趣、探索的欲望和積極的狀態(tài)是非常強烈的，這時學習的外在壓力已然轉化成學生的內部需求，學生在數(shù)學實驗的情境中體驗到與知識接觸的快樂，體驗到身體的意志和歸屬。

（3）具身實驗促進學生主動的學習參與。

學習不是一個孤立于個體內部的私有過程。一個有著內在學習需求的個體加入到社會互動中，與他人分享自己的觀點，并在互動過程中對自己的觀點進行修正①。數(shù)學實驗為學生創(chuàng)造了社會群體學習的關系模式，學習者所處的群體環(huán)境是寬松的，心理是放松的，當學生在遇到困難時能主動向同伴求助，當學生獲得成功時敢于展示和表述，共享實驗中獲得的知識與智慧。數(shù)學實驗為學生提供的具身學習環(huán)境讓學生對學習的外在興趣轉向內在的學習志趣和意志，促發(fā)學生放松身心、積極參與、思維馳騁。

（4）具身實驗培養(yǎng)學生的創(chuàng)新精神和實踐能力。

具身學習是一種“嵌入”身體和環(huán)境的活動，嵌入身體意味著實踐性，意味著個體直接經驗的重要作用；同時，嵌入環(huán)境意味著知識產生于環(huán)境，任何知識都是具體的、依賴于情境的，身體力行的實踐經驗是學習能否成功的關鍵①。數(shù)學實驗能讓學生在實驗環(huán)境中通過操作、觀察、分析、猜想和推理等數(shù)學活動積累大量身體力行的實踐經驗，實現(xiàn)數(shù)學知識“再創(chuàng)造”和“再發(fā)現(xiàn)”的過程?；谶@一過程，學生不僅能獲得對數(shù)學知識的更深刻理解，更能真切地體會到新知識被創(chuàng)造、發(fā)現(xiàn)的過程，從中還能進一步去反思、提煉創(chuàng)造新知識的方法，這樣的學習過程，無疑可以將培養(yǎng)學生的創(chuàng)新精神和實踐能力的教育目標落到實處。

四、具身認知視野關照下“數(shù)學實驗”學習的智性實踐

1.構建“實驗情境”場，激活“離身學習”→“具身學習”的外部環(huán)境

（1）深度挖掘“教材內容”，著力創(chuàng)設實驗情境。

數(shù)學實驗具有操作性、反復性和探索性，數(shù)學課程內容的四大學習領域中有豐富的數(shù)學實驗內容，例如“數(shù)與代數(shù)”領域中有利用計數(shù)器建立數(shù)概念的學具操作實驗，有認識整萬數(shù)、整億數(shù)進行數(shù)級拓展的創(chuàng)造實驗，有數(shù)的大小比較中的對比實驗，有各種運算律的探究實驗，還有找規(guī)律的發(fā)現(xiàn)實驗等；而在“圖形與幾何”領域中有對圖形特征的理解型實驗，有對幾何圖形的定理、公式的探究型實驗，還有對已經知道或大概知道的幾何結論的驗證型實驗等；在“統(tǒng)計與概率”領域中隨機事件的概率研究需要借助多次實驗尋找規(guī)律，統(tǒng)計活動往往伴隨著實驗現(xiàn)象的研究而產生；“綜合與實踐”領域中的數(shù)學實驗則更多，以問題為載體，綜合運用各種知識和方法解決問題。教師要善于挖掘教材中可作為實驗的教學內容，為學生實驗創(chuàng)設真實而鮮活的數(shù)學情境，這個情境能夠聚焦大問題、催生新問題，能夠激活學生的認知和方法儲備，支撐起對新知的主動探索與建構。

（2）立體拓展“編者意圖”，系統(tǒng)搭建實驗平臺。

教材不僅規(guī)定了教學內容，而且制約著教師如何教、學生如何學，引導著課堂教學活動的組織和展開。在鉆研教材的具體教學內容時，需要立體領會編者意圖，把握教學內容的彈性，基于學習需要可以將教材中的一道習題或一次綜合實踐活動作為實施數(shù)學實驗的切入點，為學生系統(tǒng)搭建實驗平臺。例如研究《一億有多大》時，教師可以采用數(shù)學實驗的形式立體拓展教學內容。

實驗一：數(shù)一數(shù)，從時間上感受一億的大小。（1）記錄數(shù)20本本子的時間。（2）推算數(shù)一億本本子需要的時間。

實驗二：量一量，從高度上甘薯一億的大小。（1）估計一億枚硬幣的高度。（2）測量10枚硬幣的高度。（3）推算一億枚硬幣的高度。（4）與世界最高峰珠穆朗瑪峰比高度。

實驗三：掂一掂，從重量上感受一億的大小。（1）估計一枚硬幣的重量。（2）稱出10枚硬幣的重量。（3）推算一億枚硬幣的重量。（4）計算用載重量10噸的卡車運需要多少輛。

通過猜想、實驗、推理和驗證，學生利用身邊可想像素材的對比，直觀地感受一億的大小，形成一億有多大的直觀表象和感受，建立了數(shù)感，獲得了成功的體驗。教師立體拓展編者意圖，借助數(shù)學實驗將學習內容的外延打開，讓學生走進更廣闊的數(shù)學天地，獲得更豐富形象的數(shù)學體驗。

2.構建“實驗發(fā)生”場，催化“離身學習”→“具身學習”的動力機制

（1）找準學生“深度認知”起點，激活學生“數(shù)學實驗”學習需求。

數(shù)學實驗的基本模式是“問題—實驗—交流—猜想—驗證”，可見數(shù)學實驗是以問題為鏈接點的連續(xù)的活動，學生的實驗與操作都伴隨著問題的發(fā)生與解決，因此這個問題就是學生深度認知的起點，找準這個起點，就能激活學生數(shù)學實驗學習的內在需求，促發(fā)學生自主設計實驗，真正讓實驗成為知識與思維融合的媒介，成為感性向理性升華的平臺。例如在四年級學生認識角、學會角的度量、角的分類和畫角之后開展了《折角》的數(shù)學實驗課。

實驗一：動手折一折，哪些長方形紙片，能折出30度角？

提出猜想：同樣是長方形紙片，為什么有的能折出30度角，有的不能？長方形紙片能不能折出30度角，你覺得可能和什么有關？

自主設計實驗二：你覺得我們可以做些什么？我們可以做實驗，用事實說話，來驗證猜想。這個實驗怎么做呢？

全班交流：你打算怎樣做這個實驗？一個長方形夠嗎？選取的長方形要注意什么？需要測量哪些數(shù)據(jù)？

達成共識：選取一些大小不同的長方形紙片，其中要有長是寬的2倍的作為正例，還要有長不是寬的2倍的作為反例；量出長方形的長和寬，再折出角看是不是30度，最后分析實驗數(shù)據(jù)得出結論。

在這節(jié)數(shù)學實驗課上，學生的主體地位得到更加充分的體現(xiàn)：學生通過實驗發(fā)現(xiàn)數(shù)學現(xiàn)象，緊緊圍繞“長方形紙片能不能折出30度角與什么有關”這個關鍵問題出發(fā)，引發(fā)猜想，提出實驗方案，再通過實驗得出結論。對于實驗方案，教師沒有直接提供給學生，而是讓學生在獨立思考和小組交流中先行設計出自己的方案，然后在師生交流碰撞中不斷完善設計方案，明晰實驗過程，本著“誰的設計誰做主”的主人翁意識，激活了學生數(shù)學實驗的學習動機，促使學生有條不紊地開展實驗活動。

（2）立足學生“深度操作”視角，提升學生“數(shù)學實驗”學習經驗。

數(shù)學實驗是數(shù)學活動的基本形式，需要學生在“做中學”，“從做中學”恰恰體現(xiàn)了具身原則①。學生利用一定的操作工具、實物材料和技術手段對實驗素材進行數(shù)學化的深度操作，借助實驗的“可視化”促進學生數(shù)學高階思維的發(fā)展，使學生在“再實驗”“再創(chuàng)造”的過程中積累數(shù)學實驗的活動經驗。例如研究《表面涂色的正方體》時，教師可采用探究型數(shù)學實驗讓學生在深度操作中親歷知識形成過程。

實驗一：將準備好的涂色正方形土豆的每條棱平均分成2份，能切成多少個同樣大的小正方體？每個正方體有幾個面涂色？

實驗二：將準備好的涂色正方形土豆的每條棱平均分成3份，能切成多少個同樣大的小正方體？切成的小正方體中，3面涂色、2面涂色、1面涂色的各有多少個？有6個面都不涂色的嗎？

實驗三：如果將每條棱平均分成4份、5份，猜想：3面涂色、2面涂色、1面涂色和6個面都不涂色的各有多少個？動手操作進行實驗驗證，并填寫表格。

歸納：如果n表示把大正方形的棱平均分的份數(shù)，用a、b、c分別表示2面涂色、1面涂色和6面都不涂色的小正方體個數(shù)，你能用式子分別表示n和a、b、c 的關系嗎？

學生借助于直觀材料動手實驗，通過前兩次分割正方體初步感知不同面涂色正方體的個數(shù)情況，再通過第三次分割的猜想、實驗、驗證、填表并歸類得出結論，邏輯層次明顯，變式學習充分。學生在操作、猜想和驗證的過程中使身體、神經、感官和運動系統(tǒng)都參與其中，特別是第三次實驗學生已經逐步剝離操作技能，趨向發(fā)現(xiàn)規(guī)律的智慧技能。數(shù)學實驗促發(fā)學生從動作技能向認知思維的過渡，體現(xiàn)出知識的生成性，體現(xiàn)出學科知識和學習經驗的融合。

3.構建“實驗評價”場，實現(xiàn)“離身學習”→“具身學習”的素養(yǎng)生長

（1）高位引領“深度反思”，形成“數(shù)學實驗”意象圖式。

具身認知的研究揭示，認識過程所依賴的概念和范疇是通過身體與世界的互動形成的，是身體作用于世界的那些反復、經常的模式構成的認識方式，是一種身體動作經驗，“意象圖式”就是由具身經驗而形成的認知結構①。教師要善于在實驗后高位引領學生進行深刻反思，讓學生逐步形成相關數(shù)學實驗的意象圖式。例如在認識圓后設計“車輪為什么是圓形的”④這一專題性實驗。

明確主題，交流方案：圍繞“車輪為什么是圓形的”這一主題分小組確定小課題：“車輪只能是圓的嗎？能不能是其他形狀的？”“車輪的軸心一定要安裝在圓心位置嗎？能不能安裝在其他位置？” “方輪車能順利前行嗎？與什么有關？”各小組在教師的幫助下初步形成實驗方案。

分組實驗，展開研究：各小組圍繞實驗方案，根據(jù)實際需要，在教室、實驗室或其他場所完成各自的實驗活動。

展示匯報，實驗反思：各小組匯報交流研究的過程和結論，教師引導學生回顧反思：本小組實驗研究經歷了怎樣的過程？你有什么體會與收獲？

聯(lián)系生活，拓展應用：通過這次的主題研究，引導學生繼續(xù)研究相關主題——“摩天輪為什么是圓的”“瓶蓋為什么是圓的”……

學生通過實驗，研究車輪做成圓形的原因，在反思交流的過程中對“確定主題—制定方案—開展實驗—交流發(fā)現(xiàn)”這一完整的數(shù)學實驗過程達成共識，形成類似實驗的意象圖式，并主動運用這一意象圖式進行相關實驗的研究，從而提高學生研究問題和解決問題的能力，并讓學生在實驗中獲得“數(shù)學好玩”的情感體驗與“數(shù)學有用”的價值認同。

（2）全面落實“多元評價”，彰顯“數(shù)學實驗”育人價值。

評價的主要目的是為了全面了解學生開展數(shù)學實驗的過程與結果，激發(fā)學生參與數(shù)學實驗的興趣，提升教師數(shù)學實驗教學的實效。評價不能純粹關注學生獲得的數(shù)學實驗結論，更要關注學生在數(shù)學實驗過程中的發(fā)展。教師應全面落實“多元評價”：教師評價與學生評價相結合，過程性評價和結果性評價相結合。過程評價就是利用每一個實驗結合學生的表現(xiàn)，通過自評、伙伴評和教師評三大板塊激勵學生的自主發(fā)展，結果評價就是教師布置相關實驗讓學生自主研究得出結論，也可以在實驗后讓學生自主撰寫研究報告，學生在研究報告中能清晰地回顧自己親身經歷的實驗過程，包括成功的經歷，還有錯誤、挫折及調整的經歷，這些數(shù)學實驗方法都將內化為學生的數(shù)學活動經驗，學生在數(shù)學實驗現(xiàn)象和實驗結果關系的反思中還能感悟數(shù)學思想，提升高階思維和學科素養(yǎng)。教師可以合理利用評價結果，發(fā)揮評價的激勵作用，讓學生在數(shù)學實驗中成事、成人，真正彰顯出數(shù)學實驗的育人價值。

兒童的智慧就在他的指間，數(shù)學實驗作為具身認知視野關照下的學習方式，融環(huán)境、身體、心智為一體，將資源、素材、主客體在活動情景中有機組合，使直觀的實驗操作向抽象的高階思維轉化，使固有的文本知識向人文智慧遷移，使離身的學習文化向具身的身心一體進化，真正實現(xiàn)身體與心智的同生共長！

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