巧用學習材料，助力數學建模

陳明寬

【教學內容】義務教育教科書六年級數學下冊第56頁例1及相應的“試一試”、“練一練”，完成練習十三第1—2題。

【教學目標】

1.經歷從具體實例中認識成正比例的量的過程，初步理解正比例的意義，學會根據正比例的意義判斷兩種相關聯的量是不是成正比例。

2.在認識成正比例的量的過程中，初步體會數量之間相依互變的關系，感受表示正比例數量關系及其變化規律的數學模型，滲透函數思想，進一步培養比較、抽象、概括和演繹等思維能力。

3.進一步體會數學與日常生活的密切聯系，增強從生活現象中探索數學知識和規律的意識。

【教學過程】

一、復習鋪墊

（同學們，將近六年的數學學習，你們已經了解了一些數量關系，讓我們一起回憶吧。）

先列式解答，再說說它們之間的數量關系。

1.一輛汽車2小時行駛了120千米，平均每小時行駛多少千米？

2.一名打字員3分鐘打字360個，平均每分鐘打多少個字？

3.小紅花了16元買了2支同樣的鋼筆，每支鋼筆多少元？

小結：像“路程÷時間=速度，工作總量÷工作時間=工作效率，總價÷數量=單價”的數量關系中，路程和時間，工作總量和工作時間，總價和數量是兩種相關聯的量，它們之間存在很多的奧秘和特征，下面就讓我們一起來研究吧。

【設計意圖：通過幾組數量關系的理解，使學生初步感知數量之間的聯系。接著教師從“兩個相關聯的量”入手，讓學生說說“關聯”是什么意思，抓住與新知密切相關的生長點，為后續學習打好堅實的基礎。】

二、探究新知

1.探究時間與路程兩個量之間的關系

出示：一輛汽車在公路上行駛，行駛的時間和路程如下表：

時間/時 1 2 3 4 5 6 ……

路程/千米 80 160 240 320 400 480 ……

觀察表中的數據，你有什么發現？（通過找一找、說一說、想一想、算一算等方式發現時間與路程兩個量之間的關系）

預設：（1）行駛的路程隨著時間的變化而變化。

（2）行駛的時間越長，行駛的路程越多；行駛的時間越短，行駛的路程越少。

小結：路程和時間是兩種相關聯的量，時間變化，路程也隨著變化。

2.探究路程和時間的變化有規律

提問：再仔細觀察表中的數據，你有沒有更多的發現？

學生通過計算、觀察比值，發現規律，匯報小結。

師：比值都相等嗎？（相等）那這里的比值80表示什么？

生：表示行駛的速度。

小結：所以說，在時間和路程這兩個相關聯的量變化的過程中，它們的比值（也就是速度）保持不變。相對應的兩個數的比值都相等或固定不變，在數學上叫作“一定”。

提問：誰能用一個式子來表示這幾個量的關系嗎呢？

學生回答，教師板書：

=速度（一定）

3.揭示正比例的意義

師：像這樣的路程和時間是兩種相關聯的量，時間變化，路程也隨著變化。當路程和相對應時間的比值總是一定（也就是速度一定）時，行駛的路程和時間成正比例關系。這就是我們今天要學習的正比例。（板書課題）

【設計意圖：由于正比例概念比較抽象，而且是一種特殊的函數關系。通過找一找、說一說使學生體會到路程和時間是兩種相關聯的量，再通過想一想、算一算讓學生發現路程和時間變化的規律，對學習中可能出現的情況進行預設，既凸顯學生的主體地位，又突出本節課的教學重點，使學生在觀察、比較、分析、歸納等具體活動中充分感知正比例的意義。在揭示出文字表達式后，幫助學生理解“一定”表示什么意思，并結合文字表達式說一說兩種量的變化規律，促使學生對已經積累的感性認識進行抽象概括，為進一步揭示正比例的意義做好鋪墊。】

4.正比例意義的應用

教學“試一試”：購買一種鉛筆的數量和總價如下表。

數量/支 1 2 3 4 5 6 ……

總價/元 0.4 0.8 1.2

觀察上表，并獨立思考下列問題。

（1）填寫上表，說說總價是隨著哪個量的變化而變化的。

（2）寫出幾組相對應的總價和數量的比，并比較比值的大小。

（3）這個比值表示的實際意義是什么？你能用式子表示它與總價、數量之間的關系嗎？

（4）鉛筆的總價和數量成正比例嗎？為什么？

前后四人交流討論這四個問題，并進行反饋。

購買鉛筆的數量和總價是兩種相關聯的量，總價隨著數量的變化而變化。對應的總價與數量的比值都相等，也就是鉛筆的單價是一定的， 所以說鉛筆的總價和數量成正比例關系。

【設計意圖：重點放在從計算抽象出用式子“總價/數量=單價（一定）”做出解釋上，讓學生進一步結合具體的實例感知成正比例的量的特點，積累對成正比例的量的感性認識，為理解正比例的意義提供豐富的感性經驗。】

5.建構正比例數學模型

提問：仔細觀察例1和“試一試”，這兩題數量之間的關系有什么相同的特點？

指出：這兩個問題里都有兩種相關聯的量，一種量隨著另一種量的變化而變化；兩種量相對應的兩個數的比值總是一定的，所以兩種量都成正比例關系。

提問：如果用字母x和y表示兩種相關聯的量，用k表示它們的比值，正比例關系可以用怎樣的式子來表示呢？

根據學生回答，板書：

=k（一定）（板書）

生活中還有哪些成正比例的量？

【設計意圖：引導學生回顧例1和“試一試”的學習過程，說說成正比例的量有什么共同的特點，在充分交流的基礎上，通過抽象和概括得到正比例關系的表達式，既可以促使學生主動把已經積累的感性經驗上升為理性認識，獲得對正比例意義的正確理解，又有利于學生初步感知數學抽象的過程和方法，體驗符號化的思想，發展數學思維。】

鞏固練習：張師傅生產零件的情況如下表。

生產零件的數量和時間成正比例嗎？為什么？

結合上面的練習，小結判斷兩種量是否成正比例的一般方法。

（1）判斷這兩種量是不是（ ）的量。

（2）看這兩種量中相對應的兩個數的（ ）是否一定。如果（ ）一定，這兩種量成正比例；如果（ ）不一定，這兩種量不成正比例。

三、拓展延伸

1.做練習十第1題

學生獨立判斷，自己說一說理由。

全班交流，重點讓學生說說為什么訂閱《趣味數學》的總價和數量成正比例，引導學生說出判斷的思考過程。

2.做練習十第2題

學生自由讀題，理解題意。

提出要求：

（1）想一想：將圖中的正方形按怎樣的比放大，放大后的正方形邊長各是幾厘米。

（2）畫一畫：在書上畫出放大后的圖形。

（3）算一算：算出每個圖形的周長和面積，并填在表中。

（4）看一看：比較數據，看看表里哪個量和邊長成正比例？說說判斷的理由。

引導學生發現：正方形的周長與邊長成正比例，正方形的面積與邊長不成正比例。

明確：兩種量若要成正比例必須是相關聯的量，而且要當兩種相關聯的量對應數值的比值一定時，它們才成正比例。

【設計意圖：緊緊圍繞本節課的教學重點和難點，有層次、有針對性地設計練習，既有利于學生進一步加深對正比例意義的理解，掌握判斷兩種量是否成正比例關系的過程和方法，又有利于學生初步體會變量的特點，感悟函數的思想，發展用數學語言表達的能力。】

四、總結提升

提問：這節課主要學習了什么內容？通過這節課的學習，你有哪些收獲？

引導總結：兩種相關聯的量，當一個量隨著另一個量的變化而變化，且它們的比值總是一定，我們就說這兩種量成正比例關系。在判斷兩種量是否成正比例時，我們一要判斷兩種量是否相關聯，也就是一個量是否隨著另一個量的變化而變化，二看這兩種量中相對應的兩個數的比值是否一定。

教學反思：“正比例的意義”是一個對于小學生來說非常抽象的數學概念性知識。我在教學中調動了學生的生活經驗，通過已經學過的數量關系來幫助學生理解數學概念，然后，通過例題引導學生主動概括出正比例的本質特征，完成對新知的建模。通過教學，我有以下幾點反思。

1.學思而行

小學生學習數學是一個思考的過程，可以說，沒有思考就沒有真正的數學學習。本課教學中，我注意把思考貫穿教學的全過程。我出示書本例1的表格后，引導學生進行觀察，并思考，表格中的兩種量是怎樣變化的？兩種量之間有怎樣的關系？你發現了什么？從而得出兩個相關聯的量，初步滲透正比例的概念。這樣的教學，讓全體學生在觀察中思考，在思考中探索，在探索中獲得新知，大大地提高了學習的效率。

2.讓小組合作更有效

本課時的教學內容難度相對比較大，我本著“以學生為主體”的思想，給予學生足夠的時間，通過找一找、說一說、想一想、算一算等方式在小組里進行合作討論，從而讓學生發現兩種相關聯的量的變化規律。事實證明，在本節課的教學中，小組交流發揮了很大的作用，我也努力做到學生自己能學的自己學，自己能做的自己做，培養他們合作互動的精神，從而達到互助。

3.通過對比練習來加深對正比例的意義理解

本節課設計了正方形的周長與邊長和面積與邊長的變化關系，讓學生獨立填表、觀察，然后與同伴交流，通過表格、圖象、表達式的比較，體會到雖然正方形的周長和面積都隨邊長的增加而增加，但正方形的周長與邊長、面積與邊長的變化規律并不相同。同時，學生將初步感知“在變化過程中，正方形的周長與邊長的比值一定”，為認識正比例奠定基礎。同時，借助圖形直觀、動態地體現了正方形的周長與邊長成正比的過程，為學生后面學習正比例的圖像積累活動經驗。