根據已知角α的范圍來判定角αn的范圍

摘要：本文主要介紹了已知某一個角α所屬的區間或象限時，判定角αn 所屬的區間或象限的方法。除了介紹根據象限概念判定以外，還介紹了結合圖象判定的方法，并且通過比較這種方法，指出結合圖象判定法的優越性。

關鍵詞：數學；三角函數；解決問題

三角函數是中學數學中的重要概念之一，且每年的高考題中有關三家函數的問題的比例也比較大。有關三角函數問題中解決函數的定義域、值域的時候經常遇到確定角αn的范圍的問題。高中學段經過角的概念推廣，進入象限角概念后，已知一個角α的終邊所在的象限或范圍，求角αn（n是正整數）的終邊所在的象限或范圍是難點之一。在課堂上教學這個內容的時候，首先利用象限角概念把角α的終邊所在的象限或范圍經過不等式來表示，然后利用不等式的性質來得關于角αn的不等式，最后判斷角αn的終邊所在的象限或范圍。

下面用實際例子看看這種方法：

【例1】若角α是第二象限的角，則角α2的終邊是第幾象限的角？

解：∵α是第二象限的角，用象限角定義來表示

∴2kπ+π2<α<2kπ+π，（k∈z）kπ+π4<α2

當k=2m，（m∈z）時，

得2mπ+π4<α2<2mπ+π2（m∈z），從這個式子可以知道，該時角α2是第一象限的角。

當k=2m+1，（m∈z）時：

得2mπ+5π4<α2<2mπ+3π2π，（m∈z），從這個式子可以知道，該時角α2是第三象限的角。

總之說，角α2是第一象限或第三象限的角。

這種方法是比較復雜，且k代替的值分析，變形或變形后的情況來判斷角的范圍時常見發生錯誤或不知道k的位置代入什么值。

下面介紹避免這種缺點又直觀又容易記住的簡便方法。

方法：在直角坐標系上作單位圓（圓心在原點O，半徑等于單位長度的圓）把單位圓在第一象限的圓弧n等分（n是角αn的分母表示的數），再第二、三、四象限的圓弧n等分，然后在第一象限內從與x軸最近的扇形開始逆時針依次標上1，2，3，4，再循環一偏，直到填滿為止，則已知角第幾象限的角該象限的標號所在的扇形區域就是角αn所在范圍，根據這個扇形區域可知該角所在的象限，也可以知道具體范圍。

下面舉例說明：

【例2】已知角α是第四象限的角，問角α2是第幾象限的角？

解：如圖，把單位圓在第一象限的圓弧2等分（2是角α2的分母表示的數），再將第二、三、四象限的圓弧2等分，從扇形AOB開始逆時針依次標上1，2，3，4，在循環一遍，直到填滿為止，則有標號4（已知角α所在的象限數）的扇形區域就是角α2所在范圍。

∴角α2是第二或第四象限的角。

下面我們比一比這兩種方法：

【例3】已知角α是第三象限的角，問角α3是第幾象限的角？

解：第一種方法：

∵角α在第三象限

∴k.360°+180°<α

∴k.120°+60°<α3

當k=3m，（m∈z）時，m.360°+60°<α3

∴角α3是第一象限的角。

當k=3m+1，（m∈z）時，m.360°+180°<α3

∴角α3是第三象限的角。

當k=3m+2，（m∈z）時，m.360°+300°<α3

∴α3是第四象限的角。

總之說，角α3是第一象限或者第三象限或第四象限的角。

第二種方法：如圖，把單位圓在第一象限的圓弧3等分（3是α3的分母表示的數），再將第二、三、四象限的圓弧3等分，從扇形AOB開始逆時針依次標上1，2，3，4，再循環一遍，直到填滿為止，則有標號3（已知角α所在的象限數）的扇形區域就是角α3所在的范圍。

∴α3是第一象限或者第三象限或者第四象限的角。

總之，上述可知這種三角函數題與圖形結合分析，又直觀又容易。解決實際問題好處多，特別是所求的角所在的范圍從圖可以直接看出的優越性。

參考文獻：

[1]容德基.點撥（高一數學）[M].民族出版社，2001年7月第四版.

[2]夏羅，陳建.思維新概念（高一數學）[M].中國質量出版社，2001年6月第二版.

作者簡介：

范思思，遼寧省遼陽市，遼寧省遼陽市燈塔市五星鎮中學。