數(shù)學(xué)理解：課堂教學(xué)的價(jià)值追求

一、緣起：由一道題目引發(fā)的思考

某次五年級(jí)數(shù)學(xué)期末調(diào)研中有這樣一道題目：

在給定的正方形點(diǎn)子圖上，找一點(diǎn)D（D在格點(diǎn)上），使四邊形ABCD是一個(gè)梯形。那么符合條件的D點(diǎn)的位置有（ ）個(gè)。

調(diào)研結(jié)果顯示，該題正確率僅為21.6%。高錯(cuò)誤率情況的出現(xiàn)引發(fā)教師的熱議。追根溯源，學(xué)生平時(shí)練習(xí)的都是根據(jù)底和高求梯形面積的題目，長期的題型模仿、類型強(qiáng)化、技能操練僵化了學(xué)生的思維。面對(duì)陌生的問題情境，許多學(xué)生根本想不到根據(jù)梯形特征（只有一組對(duì)邊平行）分類枚舉加以解決。

審視傳統(tǒng)的課堂，教學(xué)內(nèi)容的淺表化、學(xué)生思維的惰性化、知識(shí)結(jié)構(gòu)的碎片化等現(xiàn)象大量存在，使學(xué)生所掌握的知識(shí)是固化的、不能遷移與缺乏彈性的，導(dǎo)致不能靈活地應(yīng)用所學(xué)知識(shí)解決真實(shí)問題。通過“改課”推進(jìn)“課改”，確立學(xué)生的主體地位，使教學(xué)真正成為支撐學(xué)生數(shù)學(xué)理解不斷發(fā)展的支點(diǎn)，成了數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的必然選擇。

二、追問：數(shù)學(xué)理解之內(nèi)涵意蘊(yùn)

數(shù)學(xué)理解的目標(biāo)指向具有雙重內(nèi)涵：一是“對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象的理解”，理解數(shù)學(xué)的知識(shí)內(nèi)容、方法技巧、思想策略等；二是“從數(shù)學(xué)的角度去理解現(xiàn)實(shí)”，這是一種學(xué)生內(nèi)心深處更深層次的數(shù)學(xué)觀念的轉(zhuǎn)變與形成。它培養(yǎng)學(xué)生“用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界、用數(shù)學(xué)的思維分析現(xiàn)實(shí)世界、用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界”。數(shù)學(xué)理解性學(xué)習(xí)是一個(gè)具有目標(biāo)指向，不斷建構(gòu)復(fù)雜心理聯(lián)系且具有靈活遷移性的學(xué)習(xí)過程。它以數(shù)學(xué)知識(shí)的結(jié)構(gòu)化、網(wǎng)絡(luò)化和豐富聯(lián)系為本質(zhì)，以生成性和發(fā)展性為特征，以重新組織為形成機(jī)制，以自主活動(dòng)為形成條件。

理解性學(xué)習(xí)的層級(jí)特征顯示，理解的生成并非一蹴而就，而是一種不斷發(fā)展的層級(jí)躍遷過程。最低層級(jí)為經(jīng)驗(yàn)性理解，隨著學(xué)生對(duì)自身經(jīng)驗(yàn)性知識(shí)中的各種刺激進(jìn)行整理、組織、概括與重新表征，而通達(dá)深刻的本質(zhì)化認(rèn)識(shí)時(shí)，此時(shí)學(xué)生的理解就達(dá)到了原理性理解的層級(jí)。理解性學(xué)習(xí)的最高層級(jí)是文化性理解，這是指對(duì)知識(shí)背后所賴以依存的人類文化的深度領(lǐng)悟。在《追求理解的教學(xué)設(shè)計(jì)》一書中，格蘭特·威金斯和杰伊·麥克泰格提出了數(shù)學(xué)理解的六維度理論。他認(rèn)為，真正的理解可概括為以下六個(gè)方面：科學(xué)性解釋、個(gè)體性詮釋、具有洞察力、情境性應(yīng)用、自我反思、移情性體驗(yàn)。多維度分析啟迪我們，真正的理解是通過多個(gè)側(cè)面表現(xiàn)出來的。我們根據(jù)這個(gè)理論建構(gòu)了數(shù)學(xué)理解性學(xué)習(xí)的層級(jí)發(fā)展過程模型，見圖1。

圖1 數(shù)學(xué)理解性學(xué)習(xí)的層級(jí)發(fā)展過程模型

三、篤行：數(shù)學(xué)理解之實(shí)踐策略

教學(xué)是一個(gè)系統(tǒng)工程，建設(shè)數(shù)學(xué)理解性學(xué)習(xí)的課堂，需要教師從課堂教學(xué)的各要素入手，進(jìn)行教學(xué)變革和改造。

1.目標(biāo)——聚焦“本質(zhì)”。

理解即思考。數(shù)學(xué)課堂教學(xué)要促進(jìn)學(xué)生思考力的發(fā)展。課標(biāo)把“數(shù)學(xué)思考”列為義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程四大目標(biāo)之一。讓學(xué)生學(xué)會(huì)思考，特別是學(xué)會(huì)獨(dú)立思考，是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新能力的核心，而學(xué)會(huì)思考的重要方面是學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)抽象，學(xué)會(huì)邏輯推理，學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)建模。

（1）架構(gòu)思考時(shí)空。個(gè)性化的學(xué)習(xí)思考需要有充分的時(shí)間和機(jī)會(huì)。若不提供給學(xué)生思考的時(shí)間和機(jī)會(huì)，那就是鼓勵(lì)迅速的但卻是倉促且淺薄的習(xí)慣，深度的理解不可能發(fā)生。為此，在教什么的問題上要追求“更少”，聚焦數(shù)學(xué)核心知識(shí)和關(guān)鍵環(huán)節(jié)，整合小步子的教學(xué)，設(shè)計(jì)有空間的大問題，讓學(xué)生進(jìn)行更深入的探究，避免在非核心知識(shí)處徘徊。“更少”須由“更高”保證。教學(xué)要關(guān)注知識(shí)的內(nèi)涵本質(zhì)、數(shù)學(xué)思想方法和數(shù)學(xué)學(xué)科的核心素養(yǎng)，激發(fā)思考的動(dòng)力，學(xué)習(xí)思考的策略，提升思考的能力。

（2）培養(yǎng)質(zhì)疑精神。反思我們的課堂，教材內(nèi)容的絕對(duì)性和封閉性，教學(xué)方法的機(jī)械性和被動(dòng)性，師生關(guān)系的“權(quán)威-依存”性，導(dǎo)致學(xué)生的問題意識(shí)、質(zhì)疑精神的缺失。要促進(jìn)學(xué)生思考，必須提倡對(duì)話、互動(dòng)的教學(xué)方法，營造開放、民主、自由、活潑的課堂氣氛，增加課程內(nèi)容的不確定性和生成性，重建學(xué)生的質(zhì)疑精神和批判性思維的能力。

2.內(nèi)容——凸顯“聯(lián)系”。

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》指出，數(shù)學(xué)教學(xué)要讓學(xué)生“體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)之間、數(shù)學(xué)與其他學(xué)科之間、數(shù)學(xué)與生活之間的聯(lián)系”。建立聯(lián)系的目的是從不同角度審視知識(shí)，賦予知識(shí)以現(xiàn)實(shí)背景，使得知識(shí)節(jié)點(diǎn)具有“繁殖力”，最終產(chǎn)生一種關(guān)聯(lián)性的、內(nèi)聚的知識(shí)整合力量。

（1）縱向知識(shí)的長程設(shè)計(jì)。所謂縱向知識(shí)結(jié)構(gòu)關(guān)聯(lián)，就是將不同年級(jí)知識(shí)縱向聯(lián)系起來，進(jìn)行長程的整體設(shè)計(jì)。例如，低年級(jí)的長度概念、長度度量單位的教學(xué)，中年級(jí)的面積概念、面積度量單位的教學(xué)，以及高年級(jí)的體積概念、體積度量單位的教學(xué)，這些知識(shí)屬于一類課，體現(xiàn)的是線、面、體三維空間概念和度量單位，可以進(jìn)行關(guān)聯(lián)思考和整體設(shè)計(jì)。教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)要思考前面的課蘊(yùn)伏的經(jīng)驗(yàn)方法，今天的課如何很好地遷移，又應(yīng)該為后面的課做哪些方面的準(zhǔn)備與滲透。這樣螺旋上升的遞進(jìn)設(shè)計(jì)，能起到以少勝多的效果，更好地促進(jìn)學(xué)生的理解。

（2）橫向知識(shí)的比較對(duì)照。所謂橫向知識(shí)的結(jié)構(gòu)關(guān)聯(lián)，就是圍繞某一知識(shí)點(diǎn)用系統(tǒng)、整體的眼光，聯(lián)結(jié)已有概念，聯(lián)結(jié)幾何直觀，聯(lián)結(jié)生活實(shí)踐，聯(lián)結(jié)其他學(xué)科所進(jìn)行的整體設(shè)計(jì)，它能促進(jìn)數(shù)學(xué)理解的深度、廣度、寬度和厚度的發(fā)展。如蘇教版四下《三角形的認(rèn)識(shí)》一課，認(rèn)識(shí)三角形的高，可聯(lián)系學(xué)生量“身高”的生活經(jīng)驗(yàn)，先引出三角形水平方向的高，在此基礎(chǔ)上，旋轉(zhuǎn)三角形，最終抽象出三角形高的概念。畫三角形的高，可聯(lián)系學(xué)生畫點(diǎn)到直線的垂線段的知識(shí)。三角形穩(wěn)定性的教學(xué)，可與四邊形易變形的特點(diǎn)進(jìn)行比較。讓學(xué)生用三根固定的小棒圍三角形，發(fā)現(xiàn)大小形狀唯一，讓學(xué)生用四根小棒圍四邊形，大小形狀不唯一，在比較對(duì)照中，實(shí)現(xiàn)對(duì)知識(shí)的深度理解。

3.情境——關(guān)注“兒童”。

情境是知識(shí)的載體。最有效的學(xué)習(xí)途徑是通過最直接、最真實(shí)的經(jīng)歷引發(fā)其對(duì)知識(shí)的渴求。促進(jìn)數(shù)學(xué)理解的情境要貼近學(xué)生的已有經(jīng)驗(yàn)，瞄準(zhǔn)學(xué)生的認(rèn)知需求，體現(xiàn)知識(shí)的生長。

（1）制造認(rèn)知沖突。哈佛大學(xué)一項(xiàng)追蹤數(shù)十年的案例研究表明，影響成功的最重要的因素不是認(rèn)知能力的高低，而是強(qiáng)烈的好奇心和持續(xù)不斷的努力。學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程中有許多真實(shí)的問題（包括數(shù)學(xué)迷思與誤解、學(xué)習(xí)困難與疑問等），教學(xué)的推進(jìn)，應(yīng)減少教師的“鋪路搭橋”。要抓住學(xué)生認(rèn)知的困惑點(diǎn)、疑難處，敢于放大，有意曲折，制造認(rèn)知沖突，讓學(xué)生經(jīng)歷“引出、挑戰(zhàn)、轉(zhuǎn)換”一系列過程，讓學(xué)生見識(shí)科學(xué)概念更具解釋力和有效性，從內(nèi)心真正接受并理解。

（2）促進(jìn)個(gè)性化表達(dá)。一方面教師要?jiǎng)?chuàng)設(shè)開放的問題情境，為學(xué)生主動(dòng)探究、深入思考，展現(xiàn)個(gè)性思維、發(fā)揮創(chuàng)造力提供舞臺(tái)。在教學(xué)蘇教版四下《確定位置》一課時(shí)，教師讓學(xué)生擔(dān)任小船長打海盜船，在“怎樣確定海盜船的位置？”這一大問題情境的引領(lǐng)下，學(xué)生自主探究，通過畫一畫、量一量、寫一寫的方式進(jìn)行個(gè)性化表達(dá)：僅畫出一條線來確定位置，利用縮小范圍的方法，利用點(diǎn)與邊線的距離找交點(diǎn)，構(gòu)建“方格圖”，利用方向角度和距離確定位置等。在全班學(xué)生的交流分享、智慧碰撞中，學(xué)生感悟到平面上點(diǎn)的位置用二維量化有序表達(dá)的必要性。

另一方面，課堂的常用語和常用教學(xué)行為要促進(jìn)學(xué)生的思考。教師要非常清晰地對(duì)學(xué)生表明，在課堂上，學(xué)習(xí)就是要你勇敢地、自信地表明自己的不懂，主動(dòng)地提出問題。可以追問：“這樣說我還不太懂，你可以再說一遍嗎？”可以探問：“我還有一個(gè)問題……”可以質(zhì)疑：“答案真的是這樣嗎？”通過可視化、討論、樣例、激勵(lì)、評(píng)價(jià)等方式，鼓勵(lì)學(xué)生提出問題，建立聯(lián)系，進(jìn)行個(gè)性化表達(dá)。

4.方式——講究“多元”。

兒童的學(xué)習(xí)是他們?nèi)硇牡赝度胩剿髑榫常趥€(gè)性化的問題解決過程中廣泛聯(lián)系各種資源，形成自身獨(dú)特認(rèn)知的一種“身體、認(rèn)知、情感、元認(rèn)知”的整合實(shí)踐。數(shù)學(xué)理解性學(xué)習(xí)的課堂學(xué)習(xí)方式講究“多元”，認(rèn)真聽講、動(dòng)手實(shí)踐、合作交流、自主探究……要重建教學(xué)關(guān)系，課堂教學(xué)要在師生之間，生生之間建立互動(dòng)關(guān)系。問題可以來自學(xué)生，知識(shí)學(xué)生自主整理，交流可以學(xué)生自行組織……

當(dāng)然，學(xué)習(xí)也不僅僅發(fā)生在課堂。教材早已不是學(xué)生的整個(gè)世界，整個(gè)世界都可以成為學(xué)生的教材。教師要具備課程意識(shí)，超越課堂的精雕細(xì)刻，拓展教育的邊界。以課程超越課堂，意味著教育價(jià)值的重塑。從關(guān)注知識(shí)與技能目標(biāo)的達(dá)成，轉(zhuǎn)向關(guān)注學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，關(guān)注學(xué)生的生命體驗(yàn)。讓數(shù)學(xué)步道、數(shù)學(xué)游戲課程、數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課程、數(shù)學(xué)繪本課程等拓展型課程，進(jìn)一步豐富學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)理解的生長。

從理念到行動(dòng)，從素養(yǎng)到課堂，我們還有很長的路要走。重學(xué)業(yè)成績的短期功效與綜合素養(yǎng)長期發(fā)展的矛盾依然存在。現(xiàn)行的學(xué)業(yè)成績的評(píng)價(jià)方式依然制約著課堂改革的發(fā)展。課堂是每一位教師的領(lǐng)地，是自然的教學(xué)實(shí)驗(yàn)室。想讓學(xué)生成為什么樣的人？想給學(xué)生一種怎樣的學(xué)習(xí)經(jīng)歷？與每一位教師息息相關(guān)。建設(shè)數(shù)學(xué)理解性學(xué)習(xí)的課堂，教師首先要理解數(shù)學(xué)、理解學(xué)生、理解教學(xué)。多一些哲學(xué)思辨，關(guān)注自己的教學(xué)直覺，有意識(shí)地進(jìn)行教學(xué)實(shí)踐，同時(shí)不斷豐厚自己的專業(yè)素養(yǎng)，提升自己的教學(xué)品質(zhì)，在為理解而設(shè)計(jì)的道路上不斷前行！