淺談枚舉法在中學數學解題中的應用

張 弟

（江蘇省常州市北郊高級中學，江蘇 常州）

一、與枚舉法有關的概念

在進行歸納推理時，如果逐個考察了某類事件的所有可能情況，因而得出一般的結論，那么這結論是可靠的，這種歸納方法叫做枚舉法，或窮舉法.簡而言之就是根據情況逐一討論.

當主體接觸的問題存在大量的可能的答案或者中間過程時，就不得不采用逐一檢測這些答案的策略.采用枚舉法雖然看起來“笨拙”，但確實是一種行之有效的解題策略，采用枚舉法時，每種情況都增加了一個前提條件，為問題的解決提供了便利.因此有時即使可以統一處理，但是為了降低難度也采用枚舉法，分情況討論.

二、枚舉法在數學解題中的應用

1.枚舉與分類

枚舉與分類常常聯系在一起，為了枚舉，有時需要先分類再一一列出來，再考慮列舉出來的結果與原問題的關系.

例1 若整數n不是5的倍數，則n2也不是5的倍數.

分析 不是5的倍數的整數按余數可分為四類：5k+1、5k+2、5k+3、5k+4（為整數）.對它們分類考查.

①n=5k+1 時，n2=（5k+1）2=5（5k2+2k）+1 不是 5 的倍數；

②n=5k+2 時，n2=（5k+2）2=5（5k2+4k）+4 不是 5 的倍數；

③n=5k+3 時，n2=（5k+3）2=5（5k2+k+1）+4 不是 5 的倍數；

④n=5k+4 時，n2=（5k+4）2=5（5k2+8k+3）+1 不是 5 的倍數.

綜上知，若整數n不是5的倍數，則n2也不是5的倍數.

注：此題也可通過反證法來說明原命題成立。

例2 有一個無蓋立方體紙箱，將它沿棱剪開攤成平面展開圖.那么，共有多少種不同的展開圖？

分析 我們將展開圖按最長一行有多少個正方形來分類，有序的畫圖枚舉就可以解決問題.

（1）最長一行有4個正方形：

（2）最長一行有3個正方形：

（3）最長一行有2個正方形：

故一共有8種不同的展開圖.

2.枚舉與最值

在數值比較小或是易于計算時，我們可以通過枚舉法來處理一些最值問題.特別是在一些線性規劃題中.最值的選擇有時可從枚舉出的情形中獲得.

例3 若m、n是正整數，mn=120，則m+n可能取到的最小值是______.

分析 考慮m、n的對稱性，又因為120=1×120=2×60=3×40=4×30=8×15=10×12.可知當m、n為 10，12 時，m+n的最小值 22.

注：m，n兩數越接近，和越小.

3.枚舉與不等式

有時候我們在處理問題時會得到所求值在一個范圍之內，為了找出它可能的值我們會根據題意用枚舉法將它一一列出來，再通過驗算找出符合題意的解.

例4 一個三位數除以11所得的余數等于它的三個數字的平方和，試求出所有滿足這樣條件的三位數.

分析 設這三位數的百位，十位，個位數字分別為x，y，z，由于任何不能整除11的數，除以11所得余數小于等于10，所以，1≤x2+y2+z2≤10 從而 1≤x≤3，0≤y≤3，0≤z≤3.于是所求的三位數必在以下數中：100，101，102，103，110，111，112，120，121，122，130，200，201，202，110，211，212，220，221，300，301，310. 容易驗證，100，101兩個數符合要求.

4.枚舉與概率

古典概率的計算是概率中最基本、最重要的內容之一.學好古典概率的計算對后續課程的學習是非常重要的.但對于初學者來說這比較難，特別是對有利事件數的計算，容易遺漏或重復.由于枚舉法直觀形象，只要按照一定的規律，就不容易重復或遺漏.

例5 一個口袋內裝有大小相同的5個球，其中3個白球，2個黑球，從中一次摸出兩個球.（1）共有多少個基本事件；（2）摸出的2個球都是白球的概率是多少？

分析 這是蘇教版數學3課本中關于“古典概型”的第一道例題.枚舉法講究順序，分別記白球為1，2，3號，黑球為4，5號，摸到 1，2 號球用（1，2）表示，則基本事件是（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，3），（2，4），（2，5），（3，4），（3，5），（4，5）. 先將對象排好一定的次序，拿第一個找完所有的組合，再進行第二個，這時就不用回頭找了，如此可確保不重復、不遺漏.

5.枚舉與不定方程

關于不定方程的自然數解、整數解、有理數解或質數解的問題是數論研究的一個重要課題，對于簡單的不定方程的求解和證明也是考查和訓練中學生數學思維的靈活性與創造性的一個主要題目來源，其中枚舉法可以處理簡單的不定方程的求解問題.我們可以按一定順序將它們的解一個一個地列出來，再判斷這些解是否符合題意，從而求出解.

例6 求不定方程5x+3y=49的正整數解.

分析 當一一列舉x的整數值，y的值便可求出.

當x=1時（不符合條件，舍），

當x=2時，y=13（符合條件），

當x=3時（不符合條件，舍），

當x=4時（不符合條件,舍），

當x=5時，y=8（符合條件），

當x=6時（不符合條件，舍），

當x=7時（不符合條件，舍），

當x=8時，y=3（符合條件），

當x=9時（不符合條件，舍），

當x≥10時，y都不是正整數.