“反例教學”在高等數學教學中的應用探究

朱麗娜

【摘要】反例教學是高等數學中較為常見的一種教學模式，它需要正面的說明解釋，還需要從反面對比考證。恰當地運用反例教學，可以鍛煉和培養的學生的感知、認知以及創新能力，有利于加深學生對基本概念的理解，能夠及時發現并有效地糾正習題中的錯誤，同時開拓學生的思維，培養學生的思維創新能力，引導學生多方面、多角度地思索問題，有助于提高教學效率和教學質量。

【關鍵詞】高等數學 反例教學 應用

【中圖分類號】G64 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2018）17-0145-02

高等數學，在高校中是一門要求邏輯和思維能力非常強的學科，在高數教學中學生可以培養和鍛煉自身的抽象和思維能力，充分調動自身的空間思維能力和空間想象能力，學生如果掌握其高數學習的能力，會收到事半功倍的效果。因此，為了能讓學生掌握和了解高數學習方法，可采用反例教學來引導和啟發學生學習高數，讓學生能夠具備解決問題的能力，有助于他們克服思維定式，拓寬思路，培養思維的嚴密性，養成良好的思維能力，全面提升學生的數學素養。

一、反例教學的內涵

數學是由兩個大類構成的：證明和反例。證明是我們在教學中經常使用的方法，而反例指的是，在具體的數學教學過程中，為加深學生的記憶，將比較難以理解的問題簡單化，教師用表面上看起來似乎是正確的，但其實是完全錯誤的答案來設置“陷阱”，待學生按照預期跳入陷阱后，教師再根據學生所犯的錯誤給出正確的解答，引導學生得出的正確的答案，這就是反例教學方法。學生在這一反向思維的過程中，不但能夠準確地掌握所要學習的數學知識，又能鍛煉自己的邏輯思維能力。

二、反例教學在高等數學教學中的重要性

首先，有利于學生深化理解基本概念并掌握基本定理。反例教學有利于學生認識概念的本質，深化理解基本概念的真正內涵。在提出新概念時教師通過幾個合理的具體例子，將高數概念具體化，再適當舉幾個反例，從反面理解概念能深化學生對概念的掌握，教學效果會大大提升。其次，有利于學生對復雜知識的理解更加深刻清晰。反例教學法是教師為加深學生記憶，將比較難以理解的問題簡單化，針對易出現學習困難或理解錯誤的知識點上有意設計答案，從表面看起來似乎是正確的，但其實是完全錯誤的答案來設置“陷阱”，學生犯錯之后，教師再根據學生所犯錯誤給出正確的解答，引導學生得出正確答案，避免了學生再次犯錯，使學生對所學知識的理解更加深刻、清晰。再次，有利于開拓學生思維，培養學生創新能力。在高數教學中應用反例教學法，有助于開拓培養學生嚴謹科學的思維，培養學生的創新能力。鑒于構造反例的情形多種多樣，能從多角度和多途徑舉出反例，不僅能培養學生不斷探索、勤于進取的良好學習習慣，也能提高學生的數學素養和不斷創新的能力。最后，反例教學的運用能充分激發學生學習數學的信心。教學中通過設置反例，能增加很多教學的樂趣，調動學生的積極性，提高學生的興趣，堅定學好數學的決心。使學生能夠透過現象看到事物的本質，訓練了學生敢于質疑，進而培養學生勇于探索，勇往直前的良好品質。

三、“反例教學”在高等數學教學中的應用

1）恰當地構造反例，加深理解概念。理解概念是學生學好高數的基礎，也是培養其能力的先決條件。通過反例，從反面消除一些容易出現的模糊認識，嚴格區分那些相近易混的的概念，把握概念的要素和本質。在高數極限概念教學中恰當地構造反例，會得到事半功倍的效果。在極限概念學習中學生認為：①有界函數的極限一定存在；②若存在，但不存在，那么不存在。上述兩種想法都是錯誤的.對于①構造反例。因為當時，不能無限接近于一個確定的常數，所以，極限不存在，對于②構造反例。

2）正確地應用反例，深化理解定理。在高等數學的定理教學中，反例具有和證明一樣重要的作用。一系列嚴謹的證明可以確定某一個命題的正確性，然而，一個合適的反例也可以證明某個命題的正確性，準確地運用反例，可以全面地掌握定理的相關條件和正確結論。例如，洛必達法則：設函數f（x）和F（x）滿足下列條件：⑴x→a時，limf（x）=0，limF（x）=0；⑵在點a的某去心鄰域內f（x）與F（x）都可導，且F（x）的導數不等于0；⑶x→a時，lim（f'（x）/F'（x））存在或為無窮大，則x→a時，lim（f（x）/F（x））=lim（f'（x）/F'（x））。舉個有符合洛必達法則而不能使用洛必達的反例，例如lim[x―>

∞]√（1+x2）/x=1，但是用洛必達法則求不出來。

3）合理地利用反例，糾正錯誤命題。在高等數學的解題過程中，很難通過正面的思路將個別失誤檢查出來，但是，如果舉個反例，就能將錯誤直觀地反映出來，從而得到正確的答案。例如，在學習“可導必定連續”這一性質時，學生可能會錯誤地認為“偏導數存在也必定連續”。我們可以舉反例來證明。如二元函數f（x，y）=xy/x2+y2x，y≠0=0x，y=0在（0，0）的偏導存在，但是不連續。

4）有效利用反例，糾正習題中的錯誤。學習高數需要解題，在解題中要鼓勵學生從多方面思考多角度探索，挖掘新思路鼓勵學生去聯想發揮，改變條件對習題進行拓寬。有些失誤難以通過正面途徑檢查出來，而舉反例就能在較短時間內，較直觀地反映出錯誤所在，而且由此能產生正確的途徑。

5）學會創新，指導學生構造反例。俗話說：“授之以魚不如授之以漁。”在高數反例教學中亦是如此。因此，我們不僅讓學生學會反例法，更要培養他們的反例思想，指導他們學會自己構造反例。例如，在學習函數極限的四則運算后，讓學生自己構造相關的反例來證明定理的正確性并互相交流分享。

四、高等數學中反例教學實例分析

1）反例教學在學習高等數學抽象概念的實例分析。例如，在學習“若函數在某點的左右導數均存在，那么函數在該點的導數一定存在；若函數在某點導數不存在，那么函數在該點不連續”的概念時，可以構建反例如下：

假設函數f（x）=|x|在x=0的左右均存在，但在該點的導數則不存在，在該點函數不連續的左右側導數均存在而且相等。由此可知函數f（x）=|x|在x=0導數不存在，不過在該點上連續。由此可幫助學生在導數定義、左右導數定義及可導性與連續性的關系等知識上加深理解，準確把握高數的抽象基礎概念知識。

2）反例教學能培養學生創新能力的實例分析。例如在學習羅爾定理時，教師可通過構建反例“分別舉例說明羅爾定理中函數的連續條件、可導性條件及將閉區間上的連續更改為開區間上連續、可導等情況下，結論是否成立”，以此來強調羅爾定理的三個條件缺一不可。通過學生自主尋找答案，舉例說明，讓學生充分發揮想象和聯想，對問題進行開放性思考，從而鍛煉學生的創新能力。

五、在高等數學教學中實施反例教學的注意事項

1）在教學中引入恰當的反例。教師在選擇反例教學的過程中，不但反例的選擇要與教學的內容緊密結合，還要充分考慮學生的生理、心理特征、年齡、接受水平及他們目前掌握知識的結構特點，充分考慮到所選擇反例的可行性和合理性。同時要特別注意的是，教學反例的引入、講解不能一蹴而就，必須根據學生的認知水平和所掌握的知識以及能力水平逐漸深入地進行，要由淺入深，由易到難，將一個復雜的問題分解為若干個小的問題，逐級逐步地對學生進行引導和教學。

2）反例的設置要具有針對性。反例教學要想達到預期的目標和效果，必須要具有針對性。反例的準確設置，需要教師具有準確判斷的能力，教師要對教學的諸多因素進行科學的分析和判斷，在全方位的權衡之后，要對那些學生必須掌握的、但是在實際操作中又容易忽視掉的知識點進行有針對性的設置。可以說，反例設置的質量如何將直接影響學生對相關知識點的掌握和運用。

3）學生針對反例進行討論、探究。這一步是教師全面了解學生的關鍵，也是課堂教學中以生為本教育理念的重要體現，同時也是教師恰當對學生進行點撥、啟發的前提和依據。通過學生的討論和探究，解決問題答案的原因，從而加深對這類知識點的理解，教師根據學生發言情況適當進行點撥、啟發，并盡可能由學生自己得出正確結論。

4）師生共同探究反例的正確答案。教學中運用反例的目的不是讓學生犯錯，而是幫助學生形成正確的認識和理解。因此，教師在學生落入陷阱，得出錯誤答案之時要及時幫學生認識到自己的錯誤點，引導學生具體分析出現錯誤的原因，并對學生所產生的錯誤進行歸納總結，幫助學生清楚地認識到整個知識的演進過程。這對于理清學生的思路，引導學生形成深刻的正確認識，培養學生嚴密的思維方式，都有十分重要的作用。

5）教師還要積極引導學生構建反例。教師在進行數學教學時不但要適當地使用反例，更重要的是要善于引導學生構建反例。教學中可經常選擇一些典型的數學知識或問題，通過創設問題情景，引導學生構建反例。從實質上來說，這其實是為學生創設了一種積極探索，不斷創新的良好環境，因此，我們可以說，構建反例的過程其實也是培養學生思維方式的過程。

參考文獻：

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