“中國式過馬路”行為隨機(jī)尖點突變模型

林徐勛 ，袁鵬程 ，朱佳翔，張春勤

（1.常州大學(xué) 商學(xué)院，江蘇 常州 213164；2.東南大學(xué) 經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院，南京 210096；3.上海理工大學(xué) 管理學(xué)院，上海 200093；4.浙江理工大學(xué) 建筑工程學(xué)院，杭州 310018）

近年來，隨著城市化建設(shè)的快速推進(jìn)，持續(xù)增長的出行需求給城市交通帶來了巨大壓力，行人與機(jī)動車爭搶道路資源的現(xiàn)象隨處可見，在道路交叉口，行人往往是“湊夠一撮人就走，管它紅燈或綠燈”，這種現(xiàn)象在中國尤為嚴(yán)重，因此被冠以“中國式過馬路”的“美稱”。據(jù)有關(guān)部門統(tǒng)計[1]，2008～2010年，北京市由行人闖紅燈引起的交通事故占行人違規(guī)致因事故的30%以上；2006～2010年，行人過街引發(fā)交通事故死亡率從7.0人/萬人增加到10.3人/萬人。可見，“中國式過馬路”現(xiàn)象不僅嚴(yán)重威脅行人出行安全，并導(dǎo)致通行能力下降、車輛滯留，加劇交通擁堵，造成極大社會損失和不良影響；而由此引發(fā)的道路交通安全問題也已成為社會關(guān)注的熱點。目前，國內(nèi)各地對這種現(xiàn)象尚缺乏有效的手段，導(dǎo)致“中國式過馬路”現(xiàn)象常態(tài)化。因此，如何更有效地預(yù)測和治理“中國式過馬路”行為已成為困擾城市交通管理的難題。

現(xiàn)象上分析，“中國式過馬路”主要有如下特征：①群體行為。當(dāng)過街人群積累到一定數(shù)量時，便以整體隊列的形式強(qiáng)行橫穿馬路。②從眾效應(yīng)。當(dāng)一部分人開始率先強(qiáng)行闖紅燈時，周邊等待行人會產(chǎn)生從眾心理，導(dǎo)致許多最初沒有闖燈意識的人也參與到“闖紅燈”的隊列中。③“突變”現(xiàn)象。行人過街行為的產(chǎn)生并不是以一種連續(xù)、漸進(jìn)的方式進(jìn)行，而是到一定時刻點之后呈現(xiàn)群體“爆發(fā)式”特點，具有不穩(wěn)定性和難預(yù)測性，給過往駕駛員造成極大的心理壓力。

目前，雖然對“中國式過馬路”現(xiàn)象已經(jīng)有過很多的報導(dǎo)，但現(xiàn)有出行行為分析主要集中于通勤行為預(yù)測[2-3]、活動-出行選擇[4-6]以及路徑選擇與擁擠收費[7-9]等方面的研究，對“中國式過馬路”行為的理論研究并不多見。少量相關(guān)研究主要運用經(jīng)濟(jì)學(xué)、心理學(xué)及行為分析等方法對過街行為預(yù)測、法治與安全意識、出行心理以及過街交通流建模等內(nèi)容進(jìn)行探討，主要包括：

（1）網(wǎng)絡(luò)設(shè)計與交通流建模。Yu等[10]建立了過街行人離散分布條件下過街網(wǎng)絡(luò)設(shè)計優(yōu)化模型；Jin等[11]運用交通流模型分析了行人過街行為對道路通行能力和車輛行程延誤所造成的影響；Yang等[12]通過仿真模擬再現(xiàn)了行人過街較高的闖燈概率；Chen等[13]運用元胞自動機(jī)模型（CA）模擬了需求隨機(jī)和不同初始過街位置下的過街行為。

（2）過街行為建模及影響因素分析。Li等[14]擬合了行人過街等待時間概率分布，顯示不同個體等待時間的顯著差異；Sun等[15]研究過街行人在不同條件下對車輛速度和剎車距離的估算；Li等[16]刻畫了過街風(fēng)險對行人等待時間的影響；Koh等[17]擬合了行人過街可接受車輛間距隨機(jī)分布；Sueur等[18]從風(fēng)險承受角度探討不同人群過街行為的異同點；Rosenbloom 等[19]驗證了群體行為對個體決策的顯著作用；Brosseau等[20]通過蒙特利爾市的實測數(shù)據(jù)分析主客觀因素對過街行為的影響，研究結(jié)果表明，等待時間超過一定閾值時，大部分行人開始強(qiáng)行過街，表現(xiàn)出過街行為決策的“突變”現(xiàn)象。

（3）過街行人心理分析。Zhou等[21-22]運用計劃行為理論驗證過街行人的“從眾”心理；Rosenbloom 等[23]研究兒童過街行為，得到與文獻(xiàn)[21-22]中類似的結(jié)論；Harvard等[24]探討人行橫道的設(shè)置對行人過街安全心理的正面作用；Liu等[25]及Lipovac等[26]分析行人過街闖燈行為過程中的風(fēng)險承受心理；Faria等[27]通過實際觀測數(shù)據(jù)分析過街行為的群體性影響，并闡述了過街行人面對密集車流量時“進(jìn)退兩難”的心理狀態(tài)。

現(xiàn)有研究從多方面對行人過街現(xiàn)象進(jìn)行了一定的分析，但多數(shù)研究主要依賴定性分析與數(shù)據(jù)挖掘，缺少對“中國式過馬路”行為決策內(nèi)在機(jī)理的深層剖析；其次，現(xiàn)有研究主要從“連續(xù)變化”的視角分析行人過街決策的改變，缺少對實際過街行為中“突變”現(xiàn)象的理論探討；另外，現(xiàn)有研究主要著眼于靜態(tài)均衡視角下的過街行為，較少考慮“中國式過馬路”行為的動態(tài)演化以及演化過程中隨機(jī)擾動的作用規(guī)律。因此，存在進(jìn)一步深入的空間。

近年來，演化博弈被越來越多地運用到各類行為決策研究中，涉及環(huán)境污染治理[28]、技術(shù)合作創(chuàng)新[29]和企業(yè)制度提升[30-34]等眾多領(lǐng)域。演化博弈考慮不完全信息條件下博弈參與方有限理性的特點，以動態(tài)均衡視角解析博弈參與方相互作用關(guān)系，不僅能夠得到博弈的最終結(jié)果，還能計算博弈過程的演化軌跡，全面反映博弈決策行為的實時變化特征。本文運用演化博弈思想解析“中國式過馬路”行為決策過程；在其基礎(chǔ)上加入高斯白噪聲隨機(jī)擾動過程，分析隨機(jī)擾動作用下模型的突變類型和解析性質(zhì)；進(jìn)一步，運用隨機(jī)尖點突變理論探討過街行為中策略選擇的突變現(xiàn)象；最后，通過算例探討隨機(jī)擾動對過街行為的影響作用，尋找突變臨界面與相關(guān)因素的關(guān)系。研究結(jié)果為行人過街策略的預(yù)測和違章過街行為的治理提供了新的思路。

1 “中國式過馬路”博弈決策行為分析

以“中國式過馬路”現(xiàn)象中具有闖燈傾向的行人為研究對象，通常可以觀察到兩個階段：首先有為數(shù)不多的一群先行者開始強(qiáng)行過街；隨后一大部分人群開始跟隨加入過街隊伍，逐漸形成強(qiáng)大的闖紅燈群體，拉開“中國式過馬路”的序幕。根據(jù)上述現(xiàn)象歸納出本文所建博弈模型的3個假設(shè)條件：

（1）效用。過街行人效用與闖紅燈而縮短的通行時間成正比，與交警懲治力度成反比。

（2）決策。行人具有兩種選擇策略：①選擇先行帶隊闖紅燈（簡稱“先行”）；②觀察到他人的先行闖燈行為后跟隨加入（簡稱“跟隨”）。

（3）懲治。交警負(fù)責(zé)懲治，但是由于警力有限，交警以一定概率對先行闖紅燈者進(jìn)行懲治處罰。

綜上所述，得到“中國式過馬路”的單期博弈收益矩陣，如表1所示。

表1 單期博弈收益矩陣

其中：A為先行闖紅燈者的收益；B為經(jīng)過一段時間后跟隨闖紅燈者的收益；Q為交警處罰造成的行人效用損失；P1為博弈雙方均選擇先行闖紅燈（策略①）而受到交警懲治的概率；P2為博弈雙方選擇不同策略闖紅燈時先行者受到交警懲治的概率。

根據(jù)上文所給的3個假設(shè)條件不難得到上述參數(shù)的關(guān)系，即A＞B＞0，Q＞0，P2＞P1＞0。

設(shè)x（t）表示在時刻t選擇先行闖紅燈（策略①）的行人比例，則0≤x（t）≤1；根據(jù)演化博弈的思想[34]，每個行人在博弈中選擇先行策略（策略①）以及跟隨策略（策略②）的期望收益分別為：

根據(jù)式（1）、（2），可得群體收益為

由此得到動態(tài)演化博弈方程：

化簡得如下關(guān)系：

2 “中國式過馬路”行為隨機(jī)尖點突變模型

演化博弈方程式（1）～（5）體現(xiàn)了行人在不同環(huán)境下行為決策的動態(tài)演化過程，以“確定性系統(tǒng)”的視角來分析行人過街決策，但決策過程通常受到各類隨機(jī)因素的干擾，包括行人本身的心理、性格、情緒，以及過往出行經(jīng)驗；還包括外部環(huán)境的不確定性，例如天氣、交通事故、自然環(huán)境等。這些隨機(jī)因素難以被捕捉和量化，但會改變最終的決策結(jié)果。因此，不能被輕易忽略。為了反映這種不確定性干擾，參照相關(guān)研究的做法[35-38]，本文在式（5）的基礎(chǔ)上引入高斯白噪聲擾動，得到如下關(guān)系：

式中：w（t）表示布朗運動；dw（t）表示通常意義上的高斯白噪聲；δ（x）為擴(kuò)散系數(shù)，反映t時刻的擾動強(qiáng)度。

這樣，x（t）便從原來的固定變量轉(zhuǎn)變?yōu)殡S機(jī)變量，通過多種可能的演化軌跡集合顯示行人決策行為的隨機(jī)性；記x（t）的概率密度函數(shù)為

式中：t為時間變量；s為自變量；x0為演化起始點；F（s，t）為x（t）的累積概率函數(shù)。令

則式（6）可寫為如下隨機(jī)突變模型表達(dá)式：

式中，H（x，r）為系統(tǒng)勢函數(shù)，反映x（t）與模型控制變量的映射關(guān)系。其中：x（t）為系統(tǒng)狀態(tài)向量；r=（P1，P2，Q，B）為系統(tǒng)控制向量；dw（t）與δ（x）含義同式（5）。

進(jìn)一步，根據(jù)Cobb等[37]關(guān)于隨機(jī)過程意義上的“隨機(jī)均衡”研究，當(dāng)t→+∞時，式（6）所示f（s，t，x0）一致收斂，其極限函數(shù)滿足如下關(guān)系：

式中，K為標(biāo)準(zhǔn)化常數(shù)，保證G（y）在狀態(tài)空間中的積分為1。簡單起見，令δ（x）為常數(shù)，記為δ，則式（10）可進(jìn)一步化簡為

對于交通管理部門而言，對過街行為決策過程的了解是制定相關(guān)管理政策的前提和基礎(chǔ)，本文運用隨機(jī)尖點突變理論刻畫行為決策中的“突變”現(xiàn)象，分析隨機(jī)擾動對均衡結(jié)果的影響，對比不同狀態(tài)下出行者對相關(guān)政策的敏感度。為隨機(jī)條件下行人過街管理提供決策依據(jù)。首先，根據(jù)上文的理論分析，可以得到如下結(jié)論：

定理1當(dāng)式（6）所示“中國式過馬路”隨機(jī)演化動力學(xué)方程滿足條件P2Q-P1Q-B≠0時，其極限函數(shù)符合“尖點突變”特征。

證明根據(jù)式（11）可知，

不難推知，

將式（8）代入式（13），可得

再對y作平移變換，因為P2Q-P1Q-B≠0，令

式中：u、v為系統(tǒng)控制變量；z為系統(tǒng)的狀態(tài)變量；根據(jù)尖點突變的形式[35-38]可知，式（18）所示演化收斂函數(shù)符合標(biāo)準(zhǔn)的尖點突變模型。 證畢

根據(jù)定理1的論述可知，考慮了隨機(jī)效用的影響后，當(dāng)行人過街決策行為演化過程滿足一定條件時，行人最終的博弈結(jié)果會發(fā)生“突變”，即先行闖燈比例從某個穩(wěn)定狀態(tài)突然變化至另一穩(wěn)定狀態(tài)的顯著非連續(xù)變化。進(jìn)一步，討論突變發(fā)生時刻的控制參數(shù)臨界集合，即突變發(fā)生時，控制參數(shù)所滿足的條件，得到如下結(jié)論：

定理2“中國式過馬路”演化博弈過程中，當(dāng)滿足如下兩個條件時，過街決策行為將發(fā)生“突變”現(xiàn)象：①式（6）所示“中國式過馬路”隨機(jī)演化動力學(xué)方程滿足P2Q-P1Q-B≠0；②控制參數(shù)滿足A-P2Q=0或A-P1Q-B=0

證明根據(jù)條件①可知，式（15）成立，根據(jù)突變理論可知，突變狀態(tài)發(fā)生的臨界面即式（18）所示曲面在（u，v）方向的投影，根據(jù)空間解析幾何原理可知，式（18）所示突變發(fā)生時的臨界面滿足如下兩個條件：

將式（11）代入式（19），得：

式中，u、v含義同式（17）。將式（20）化簡得

將式（17）代入式（21），化簡得

因為a≠0且b=a-c，所以式（21）等價于c=0或a+c=0。根據(jù)式（16）中a、b、c含義可知，“突變”發(fā)生的臨界面的表達(dá)式為：

因此，當(dāng)演化過程中參數(shù)連續(xù)變化并在該曲面某點臨域內(nèi)穿過曲面時，過街行人行為決策發(fā)生巨大變化，行人開始群體性強(qiáng)行過街，引發(fā)“突變”現(xiàn)象的產(chǎn)生。

3 “中國式過馬路”行為決策隨機(jī)均衡與突變現(xiàn)象分析

根據(jù)定理1可知，式（6）所示行人過街隨機(jī)演化系統(tǒng)滿足尖點突變的形式，為了更直觀地體現(xiàn)考慮隨機(jī)效用影響下，“中國式過馬路”過街行人的動態(tài)突變行為并探討合理的管治措施，本文針對所建隨機(jī)演化博弈模型進(jìn)行數(shù)值仿真，考慮如下幾方面的影響作用。

3.1 紅燈時間對系統(tǒng)隨機(jī)演化的擾動作用分析

令B=15，Q=90，P1=0.375，P2=0.75，δ（x）=0.3；設(shè)紅燈時間A從40逐漸增加到90，得到隨機(jī)演化過程如圖1所示。圖1（a）、（b）分別為確定條件與隨機(jī)擾動的演化過程（圖1（a）介于0和1）。從演化路徑來看，確定條件下的演化路徑趨勢明顯，呈單調(diào)變化趨勢；而隨機(jī)擾動條件下演化路徑呈明顯上下波動趨勢；特別注意A=60時，確定條件下的演化曲線迅速趨向于0（圖1（b）），而受到隨機(jī)擾動后迅速趨近1，并一直以1為期望值作小區(qū)域平穩(wěn)波動（圖1（a））。可見，隨機(jī)擾動能夠改變過街行為演化的最終結(jié)果。

圖1 紅燈時間變化下的行人過街狀態(tài)演化示意圖

其次，觀察紅燈時間變化影響下行人過街行為的“突變”現(xiàn)象，如圖1（a）隨機(jī)演化曲線所示。當(dāng)紅燈時間A從40變化至60時，先行闖燈行人比例一直在0附近波動；而A取值大于60時，演化軌跡從原來0 的鄰域突然躍遷到1，中間沒有任何過渡。把這種過街行為表現(xiàn)出的“跳躍性”變化稱為“結(jié)構(gòu)性突變”，而這種突變是由于博弈過程的內(nèi)在機(jī)理受到隨機(jī)擾動而引起的，是隨機(jī)演化的最終結(jié)果。說明在實際交通環(huán)境下，行人博弈存在“臨界邊界”，一旦越過這個邊界，行為選擇就會發(fā)生顯著變化，表現(xiàn)出“突變”現(xiàn)象。

進(jìn)一步，從理論上分析“突變”現(xiàn)象的內(nèi)在機(jī)理。根據(jù)定理1計算得圖2（a）所示系統(tǒng)三維演化圖，圖2（b）表示突變曲面在控制變量u-v平面的投影邊界，點1～5依次對應(yīng)紅燈時間A在不同取值下的控制變量二維值；根據(jù)定理2計算得到點1、2位于突變邊界線上，點3～5位于突變平面內(nèi)部。可見，當(dāng)參數(shù)A發(fā)生變化時，控制變量v從突變邊界轉(zhuǎn)移到平面內(nèi)部，狀態(tài)變量z從三維曲面的上葉沿著邊界突變到下葉，行人過街行為突變現(xiàn)象隨之發(fā)生。

圖2 紅燈時間動態(tài)變化下的過街行為突變示意圖

最后，根據(jù)式（11）計算得到圖3所示紅燈時間動態(tài)變化下行人先行闖燈比例極限概率密度函數(shù)。可見，在紅燈時間逐漸增大的過程中，極限概率密度函數(shù)也發(fā)生了明顯的“突變”現(xiàn)象。當(dāng)A=40時，極限概率密度函數(shù)呈明顯的“左尾”，表明行人以較高概率選擇遵守交通規(guī)則；而當(dāng)A=90時，極限概率密度函數(shù)出現(xiàn)了明顯的“右尾”，表明行人以較高概率選擇先行闖燈。因此，圖2～3所示系統(tǒng)演化過程均與圖1（b）所示系統(tǒng)狀態(tài)動態(tài)演化圖所表現(xiàn)出的突變現(xiàn)象吻合，驗證了突變現(xiàn)象的正確性。

圖3 紅燈時間動態(tài)變化下的極限概率密度函數(shù)圖

根據(jù)上述分析可得如下結(jié)論：隨機(jī)效用的影響能夠?qū)π腥诉^街行為產(chǎn)生顯著擾動作用；行人更傾向于選擇先行闖燈；另外，紅燈時間超過一定階段時，行為發(fā)生突變，所有行人以較高比例選擇先行闖燈，說明行人等待時間存在“上限”。當(dāng)超過該上限時，過街行人行為發(fā)生明顯“突變”，開始選擇先行闖燈，這也與實際道路系統(tǒng)中觀察到的情形一致[20]。

3.2 跟隨闖燈收益變化對系統(tǒng)隨機(jī)演化的擾動作用分析

令A(yù)=60，δ（x）=0.2，B從30變化至55；過街行為隨機(jī)演化過程如圖4所示。圖4所示為考慮隨機(jī)擾動前后行人過街演化狀態(tài)對比圖，雖然演化的路徑存在較大差異，但演化的最終穩(wěn)定點并無顯著變化；并未表現(xiàn)出明顯的“突變”現(xiàn)象，說明過街行人對跟隨闖燈收益參數(shù)變化并不敏感。

圖4 跟隨者收益變化下的行人過街狀態(tài)演化示意圖

根據(jù)定理2可知，B=37.5時達(dá)到突變的臨界狀態(tài)（如點2所示），但并未表現(xiàn)出明顯的突變現(xiàn)象。圖5（b）所示的極限概率密度函數(shù)變化平穩(wěn)，可以推斷，當(dāng)B發(fā)生變化時，點1、2并不處于三維演化曲面的上下葉，而是位于之間的突變曲面上。因此，變化平穩(wěn)，未出現(xiàn)明顯的“突變”現(xiàn)象，也說明本例中過街行人對跟隨闖燈收益的敏感性不高。

3.3 懲治措施對系統(tǒng)隨機(jī)演化的擾動作用分析

懲治措施是當(dāng)前交管部門采取應(yīng)對“中國式過馬路”現(xiàn)象的常見手段，令B=15，A=60；令懲治措施負(fù)效用Q從85逐漸增加到150，得到隨機(jī)演化過程如圖6所示。首先考慮效用隨機(jī)擾動對演化過程和結(jié)果的影響，圖6表示未考慮/考慮隨機(jī)因素影響下的行人過街狀態(tài)演化示意圖。當(dāng)Q=85，90時，圖6（a）顯示，在所有情況下過街行人先行闖燈比例最終收斂至0；而圖6（b）顯示，布朗差隨機(jī)效用影響下，行人選擇先行闖燈。可見，隨機(jī)效用能夠在一定條件下對行人過街選擇行為產(chǎn)生顯著影響；也表示在懲治措施參數(shù)變化過程中行人選擇行為發(fā)生了“突變現(xiàn)象”。進(jìn)一步對上述突變行為進(jìn)行理論分析，圖7展示了懲治措施變化下的先行闖燈行為突變內(nèi)在機(jī)理。與上文的分析類似，將式（18）中突變曲面投影到u-v控制平面上，計算突變邊界投影線，如圖7（a）所示。根據(jù)定理2可知，Q=85～90時，系統(tǒng)靠近突變邊界線（如點1、2所示），此時，行人過街行為發(fā)生突變。最后，考察極限概率密度軌跡，與圖3類似，圖8所示極限概率密度函數(shù)圖對不同參數(shù)取值的變化過程也表現(xiàn)出了從“右尾”到“左尾”的變化，也驗證了突變現(xiàn)象與模型機(jī)理的正確性。

圖5 跟隨者收益變化下的極限概率密度函數(shù)圖

根據(jù)上述分析可得如下結(jié)論：在考慮隨機(jī)效用影響下，出行者對懲治措施的敏感性變?nèi)酰瑧?yīng)增加懲治力度才能對“中國式過馬路”行為產(chǎn)生約束；另外，懲治措施只要跨越過街行為博弈突變的“臨界面”，便可收到良好的效果。

圖6 懲治措施變化下的行人過街狀態(tài)演化示意圖

圖7 懲治措施變化下過街行為突變示意圖

圖8 懲治措施動態(tài)變化下的極限概率密度函數(shù)圖

4 結(jié)語

本文將“中國式過馬路”現(xiàn)象中過街行為分為先行闖紅燈和跟隨闖紅燈兩類策略；運用博弈思想建立了行人過街動態(tài)演化模型，在此基礎(chǔ)上引入布朗運動差刻畫隨機(jī)擾動對過街博弈行為的影響；借助隨機(jī)尖點突變理論探討動態(tài)過街行為中策略選擇的突變性問題，進(jìn)一步從理論層面論述了過街行為突變現(xiàn)象產(chǎn)生的原因、臨界條件和突變過程。最后，通過數(shù)值仿真探討隨機(jī)擾動對過街行為的影響作用，刻畫隨機(jī)擾動下系統(tǒng)動態(tài)演化軌跡曲線特性，給出了相應(yīng)交通管理策略。研究結(jié)果表明：①博弈過程中隨機(jī)擾動在一定條件下對過街行為的演化模式、過程和最終結(jié)果均存在顯著影響。②過街行人紅燈等待時間存在一定“上限”，在隨機(jī)擾動影響下，出行者對該“上限”的敏感性提高，行為易發(fā)生“突變”。因此，在設(shè)置行人過街時間時應(yīng)考慮盡量不超過該“上限”值。③在隨機(jī)擾動影響下，出行者對懲治措施的敏感性變?nèi)酢Ｒ虼耍瑧?yīng)增加懲治力度才能對“中國式過馬路”行為產(chǎn)生約束。另外，懲治措施不需要制定的過高，只要跨越過街行為的“突變邊界”，便可有效制止“中國式過馬路”不良行為。