雙寡頭競爭環境下的補貼對象選擇問題

徐磊 ，董明，陳靖

（1.上海交通大學 安泰經濟與管理學院，上海 200030；2.上海外國語大學 國際工商管理學院，上海 200083）

補貼作為一種利用資金幫助企業和消費者以促進社會福利的手段，一直以來都被國內外政府或非營利機構廣泛地采用。其應用范圍也十分廣泛，從傳統的農業（如糧食[1]、棉花[2]）、日常食品（如燕麥牛奶[3]等）和生活必需品（如藥物[4-6]、眼鏡[7]等），到現代的綠色科技（如太陽能[8]、新能源汽車[9]）和優質生活（如健康飲食[10-11]）等方面。

實踐證明，具體的對企業或個人的補貼方式的制定和執行，對補貼策略的影響十分顯著。同時，由于社會福利等傳統指標的難以刻畫性，加之在大部分情境下，促進市場整體消費量都是比較合理的目標和方向，特別是在新興產業、或求過于供的疫苗案例[12]等情況下。因此，總銷售量成為另一個重要的評價指標。特別是市場總銷售量與補貼總成本之間的平衡這一研究問題，因其廣泛的應用背景而獲得了較多的關注，如太陽能技術[13]、新能源汽車[9]等需要一定數量的消費者采用才能形成規模效應，使得整體獲益；瘧疾藥物或疫苗應當達到一定的普及程度，才能對整個地區的疾病控制有比較好的效果。

然而，長期以來，相關的研究主要集中在經濟政策領域，討論稅收等具體方式的實施與效果[14-19]。Fullerton等[16]較為詳盡地呈現了該領域中非完全競爭模型下較為經典的一些研究成果，他們假設面對的是同質的企業，研究討論稅收對市場中參與競爭的企業數量的影響，進而考察稅收作為一種補貼方式對消費者的影響。Leahy等[20]在線性需求的假設下，考慮在國際貿易競爭中，政府應當選擇如何利用補貼工具調控本國企業的產量，以使得己方社會福利最大化。但是在模型假設中，政府能夠直接選擇本國企業產量；同時，進一步假設已知政府資金的機會成本，故并未體現出補貼如何具體產生作用的過程。

運營范疇內相關的研究在近年來逐漸增加。以最大化銷售量為目標，Taylor 等[12]及Berenguer等[21]均直接選擇了作為補貼對象的某一企業或非營利組織展開研究，前者以多階段模型討論采購補貼和銷售補貼對企業的影響，后者則重點比較該兩種方式分別實施在企業與非營利組織上的效果。目標同樣是促進社會整體消費量，Levi等[22]集中討論了在不完全競爭下，補貼對象為行業中所有企業且每單位補貼均相同這一補貼方式的效果。盡管在假設中企業是存在差異的，但是文中并未對企業之間的比較和選擇進行討論。Lobel等[13]以最小化補貼總額為目標，討論了政府應當如何制定補貼策略以鼓勵選擇太陽能的消費者達到一定數量。此研究中，補貼直接作為安裝補助費用，直接發放至消費者。

本文的研究方向與上述文獻一致，目的為討論補貼政策制定者如何能夠在整個市場的銷售量達到期望增量的基礎上盡可能降低補貼總成本。理論貢獻在于采用了文獻中普遍使用的線性需求為假設，從理論上分析面對兩家競爭型企業時，如何選擇補貼對象（包括企業和消費者）并制定相對應的每單位補貼額度。同時，由于目標和假設的一般性，理論研究結果的適用范圍將較為廣泛，不僅能夠使政府及社會建設參與度和影響力逐漸增加的非政府機構對補貼對象的選擇有更深入的認識，也能為這些補貼政策制定者在實踐中如何制定具體的補貼方式以平衡補貼費用與市場銷售量提供一定的參考。

1 模型與假設

考慮兩家寡頭競爭企業A和B，分別生產銷售有差異的同類型產品A和產品B（為表述方便，A和B同時表示企業和產品，在無歧義的情況下不作區分）。根據經濟學原理，假設產品需求函數為

其中：a為市場容量；b∈[0，1]為產品B的定價p B對產品A的需求的影響，反映了兩者之間的替代性。當bi=0 時，意味著兩者不可替代；當bi=1時，則為完全替代品。

出資方考慮3種單一補貼方式，分別對應不同的補貼對象，即將補貼發放給企業A，或企業B，或直接發放給消費者。假設企業i所獲得的每單位產品補貼額度為w i≥0，消費者所獲得每單位產品補貼額度為w C≥0。其優化問題在于，如何制定補貼方式，以最少的花費達到既定的目標銷售額增量ΔQ。因此，整個博弈事件順序為：

（1）出資方宣布補貼方式（w A，w B，w C），其中，w Aw B=w Bw C=w Cw A=0；

（2）企業根據市場需求、補貼方式和成本ci，以最優化利潤為目標，各自對產品進行定價pi；

（3）消費者根據產品價格和補貼方式進行選擇，產品i的銷量為

（4）出資方根據最初制定的補貼方式，發放對應的補貼。

下文將采用倒序求解法，首先分析給定補貼方式（w A，w B，w C），企業的最優決策和相應的消費者選擇；然后據此分析比較不同的補貼方式，進而得到出資方的最優決策。

1.1 企業最優決策：無補貼情況

定理1企業i的最優定價為

對應的銷量為

證明企業i的收益為

對p i求一階導數，可得

根據一階導最優條件，令其等于0求解可得。

證畢

根據定理1，可以進一步比較兩種產品的市場占有情況。

推論1產品A的銷量高于產品B的銷量（即當且僅當b A-b B＞α（c A-c B）滿足時，其中，α=（2-ba b B+b B）/（a+c B）。

由推論1可知，產品A擁有較高市場占有率主要有如下3種情況：

（1）產品A具有較好的替代性，同時還擁有較低的單位成本，即b A＞b B，并且c A＜c B。這種情況下，產品A在兩方面均具有競爭優勢，故而占據了較大的市場份額。

（2）產品A具有較好的替代性，但是單位成本較高，即b A＞b B，并且c A＞c B。此時，產品A若仍能占據較大的市場份額，其在替代性上的優勢必須超過成本上的劣勢，即（b A-b B）/（c A-c B）＞α。

（3）產品A具有較差的替代性，但擁有低成本的優勢，即b A＜b B，并且c A＜c B。該情況下，當產品A較差的替代性的劣勢能夠被低成本的優勢超過，即（c B-c A）/（b B-b A）＞1/α時，才能夠擁有較大的市場占有率。

總結而言，企業雙方在競爭時，關鍵點在于產品替代性（消費者偏好）和成本兩方面。當該企業產品在兩方面都能獲得競爭優勢，或在一方面的競爭優勢足夠大時，將能夠占據市場有利地位。

1.2 企業最優決策：有補貼情況

當企業i所獲得的每單位產品補貼額度為w i，消費者所獲得每單位產品補貼額度為w C時，產品i的需求函數為

定理2給定每單位產品補貼額度（w A，w B，w C），企業i的最優定價為

對應的銷量為

證明企業i的利潤為

對其求p i的一階導數，可得

令?πi（p i，p j，w A，w B，w C）/?pi=0，求解可得

證畢

因此，有補貼情況下的最優價格和數量決策可以進一步表示為：

由此可知，補貼的發放總是能夠使得對于消費者而言的實際價格降低，整個市場的銷售量增加。若補貼對象為某一產品，則該產品的銷量將增加，另一產品的銷量將降低；若補貼對象為消費者，則兩種產品的銷量均會增加。相同單位補貼額所帶來的具體補貼效果，即對銷售量的影響則是由兩種產品之間的相互替代性所決定的。

2 補貼對象的分析與選擇

本章將對出資方的決策進行分析，考慮如何制定具體的補貼方案，使得達到給定目標增量時所花費的補貼總額最少。

令Q（w A，w B，w C）表示給定補貼方式（w A，w B，w C）下的市場總銷售量，QN表示無補貼時的市場總銷售量，于是有

同時有約束條件：

由于銷售量均隨單位補貼額度單調增加，而出資方的目標在于最小化補貼總額，故最優決策必然會使上述條件取等，否則總是可以在不改變不等式符號的條件下降低每單位補貼額度進而減少補貼總額。

因此，如果選擇補貼企業A，則必然有

求解可得最優的單位補貼額度：

所需要花費的補貼總額為

同理可得選擇補貼企業B或消費者時的最優補貼決策。

定理3給定目標增量ΔQ：

（1）若選擇補貼企業i，最優單位補貼額度和補貼總額分別為：

其中，i，j∈｛A，B｝，i≠j。

（2）若選擇補貼消費者，最優單位補貼額度和補貼總額分別為：

通過定理3的結論可知，在任何一種補貼方式下，最優單位補貼額度和補貼總額均隨目標增量的單調增加，且補貼總額是關于目標增量的凸函數。3種補貼方式的區別在于，由于產品替代性和成本的差異，故造成的增長率不同。

2.1 補貼對象選擇：企業A 或企業B

首先考慮如果要選擇一家企業進行補貼，應當如何進行分析與比較。選擇企業A和企業B的補貼總額差異為

定理4假設b A≥bB：

（1）若

則當ΔQ∈[0，+∞）時，ΔW A-B（ΔQ）≤0。

（2）若

則存在

當ΔQ∈[0，ΔQAB]時，ΔW A-B（ΔQ）≥0；當ΔQ∈（ΔQAB，+∞）時，ΔW A-B（ΔQ）＜0。

證明由于

b A和b B的差異決定了當ΔQ足夠大時，兩者補貼總額的差異。即若b B-b A≤（＞）0，則當ΔQ足夠大時，有ΔW A-B（ΔQ）≤（＞）0。因為企業A、B在本文中處于對等的地位，所以，可以不失一般性地集中討論b A≥b B的情況。

令ΔW A-B（ΔQ）=0，可得

由定理4可知，若b A≥b B，隨著目標增量ΔQ的提高，最終選擇產品A的補貼總額會低于產品B。這表明，當目標增量較大時，應該更加關注產品的替代性，即消費者對產品的偏好在長遠上決定了補貼應該選擇的對象企業，故在此情況下，應該選擇產品替代性較好的企業。

而當目標增量相對較小時，則存在如下兩種情況：

（1）應當選擇產品A當其替代性較好，即b A≥b B，且市場占有率不是特別高之時，即

（2）應當選擇產品B當其替代性較差，即b B≤b A，同時市場占有率較低時，即

兩種情況的共性是，被選擇進行補貼的產品均擁有相對較低的市場占有率和相對較高的成長速率，所以，此時每單位補貼所帶來的效果會相對較大。因此，當目標增量較小時，選擇這種產品進行補貼會見效比較快。

2.2 補貼對象選擇：企業或消費者

考慮將補貼直接發放給消費者，則此補貼方式所需的總額與補貼給企業i的總額的差異為

引理1對于i，j∈｛A，B｝，i≠j，有：

（1）若

當ΔQ∈[0，+∞）時，ΔW C-i（ΔQ）≤0。

（2）若

則存在

當ΔQ∈[0，ΔQCi]時，ΔW C-i（ΔQ）≥0；當ΔQ∈（ΔQCi，+∞）時，ΔW C-i（ΔQ）＜0。

證明由于

故當ΔQ足夠大時，將有ΔW C-i（ΔQ）＜0。

令ΔW C-i（ΔQ）=0，可得

引理1表明，當目標增量較大時，應當直接補貼給消費者。值得注意的是，此時在企業或消費者的選擇上，產品替代性不再像之前在企業間選擇一樣具有決定性影響。原因在于，從長遠來看，對于消費者而言，相比較于產品的降價，最偏好的還是直接給予補貼。

而當目標增量較小時，則要根據具體情況進行選擇，由于短期增長速率的不同，企業或消費者都有可能是最優補貼對象，故需要對3個門檻值企業A或企業B（ΔQAB）、消費者或企業A（ΔQCA）以及消費者或企業B（ΔQCB）進行進一步的比較分析。

首先比較ΔQAB與ΔQCA。兩者的差異為

同理可得，ΔQAB與ΔQCA的差異為

不失一般性，僅討論b A≥b B的情況，可得此時最優決策如定理5所述。

定理5假設b A≥b B：

（1）若

證明當b A≥b B時，可知，βA＞0，βB＞0。

（1）若

則有

根據引理1可知，此時，ΔQCA≤0，ΔQCB≥0。同時，由定理4可知，ΔQAB≥0。于是可得ΔQCA≤0≤ΔQCB≤ΔQAB。

根據定理4和引理1的結論可知：

①當ΔQ∈[0，ΔQCB）時，有：

故W B（ΔQ）≤W C（ΔQ）≤W A（ΔQ）。

②當ΔQ∈[ΔQCB，ΔQAB）時，有：

故W C（ΔQ）≤W B（ΔQ）≤W A（ΔQ）。

③當ΔQ∈[ΔQAB，+∞）時，有：

故W C（ΔQ）≤W A（ΔQ）≤W B（ΔQ）。

（2）若

則有

同時可知，ΔQAB＜0，ΔQCA＞0，ΔQCB＜0。因此，有ΔQAB＜ΔQCB＜0＜ΔQCA。

①當ΔQ∈[0，ΔQCA）時，有：

故W A（ΔQ）≤W C（ΔQ）≤W B（ΔQ）。

②當ΔQ∈[ΔQCA，+∞）時，有：

定理5表明，當目標增量較小時，應當選擇補貼給企業。原因在于，由于產品的替代性和成本之間的差異，在最初時，每單位補貼給產品A或是B所帶來的銷售量增加的效果不同，故此時應根據具體情況，選擇某一家企業進行補貼。當補貼不同企業所帶來的邊際增量相同時，如果只能選擇某一家企業進行補貼且每單位補貼均可進行一次選擇，則應當是在兩者之間交替進行。因此，在此情況下，選擇直接補貼消費者更為明智，因為本質上而言，相當于是同時補貼兩家企業。

3 數值分析

本章將采用數值分析的方式，對不同環境參數條件下，對各種補貼方式進行分析和比較。

3.1 補貼對象的比較與選擇

首先討論最優補貼對象的選擇問題。根據上文的結論，不失一般性，在假設b A≥b B的基礎上進行進一步討論。此時，又有兩種情況，即c A≥c B和c A＜c B。

考慮第1種情況，即c A≥c B時。令a=100，b A=0.8，b B=0.56，c A=10，c B=6，在無補貼時，產品A、B的最優銷售量分別為=75.81，=71.03。當目標銷售額增量ΔQ從1增至11時，各補貼方式所需總額之差如圖1所示。

圖1 a=100，b A=0.8，bB=0.56，c A=10，c B=6 時，各補貼方式所需總額之差

為方便討論，定義

在此算例中，Condition=-13.15＜0，對應于定理5中的第2部分的討論。根據圖1可知，面對同樣的目標銷售增量，選擇單獨補貼企業A所需要的補貼總額總是少于單獨補貼企業B所需的補貼總額，且兩者之間的差異隨目標增量的增加而增加。同時，選擇單獨補貼企業B所需的補貼總額總是多于選擇直接補貼消費者所需的補貼總額，兩者之間的差異也隨目標增量的增加而增加。但對于單獨補貼企業A和直接補貼消費者之間，則需要進一步考慮目標銷售增量的大小。當目標增量較小時，即圖1 中小于8的部分，選擇單獨補貼企業A所需的補貼總額較少；而當目標增量大于某一值（圖1 的算例中為8）之后，則選擇直接補貼消費者所需的補貼總額將較少，兩者之間的差異隨目標增量的增加，先增加然后降低為0，之后又逐漸增加。因此，在補貼方式的選擇上，為在補貼增量低于某一門檻值時，選擇單獨補貼企業A，高于該門檻值之后，選擇直接補貼消費者，與定理5的結論一致。

圖2考慮第2種情況，即c A＜c B時。其中參數取值分別為a=100，b A=0.8，b B=0.16，c A=10，c B=30，此情況下若無補貼，產品A、B的最優銷售量分別為=41.69，Condition=7.6＞0，對應于定理5中的第1部分的討論。圖2呈現了當目標增量從1增至7.5時，各補貼方式所需補貼總額之差。此情況下，面對相同的目標銷售增量，單獨補貼企業A所需的補貼總額總是高于直接補貼消費者所需的總額，且兩者之間的差異隨著目標增量遞增。同時，單獨補貼企業A所需的補貼總額在目標增量較小時，也高于單獨補貼企業B所需的補貼總額，但當目標增量較大時，此算例中為大于4.5的部分，則前者所需的補貼總額少于后者，兩者之前的差異先增大后減少為0，此時較優的選擇發生改變，后又逐漸增大。而單獨補貼企業B和直接補貼消費者相比，前者只有在目標增量較小時所需的補貼總額較少，即算例中小于2的部分，前者優勢逐漸減少為零后，后者的優勢逐漸增大。由上述分析可知，在補貼方式的比較上，存在兩個門檻值，此算例中為補貼企業A和B之間的8，及補貼企業B和消費者之間的2；在補貼方式的選擇上，只需考慮較小的門檻值，低于該值時，選擇補貼企業B，高于該值后則選擇直接補貼消費者，亦與定理5的討論一致。

圖2 a=100，b A=0.8，c A=10，bB=0.16，c B=30時，各補貼方式所需總額之差

同時比較圖1、2兩個算例可以發現，盡管具體的優劣有所區別，但是兩者之間整體的趨勢是非常相似的。在目標增量超過一定要求后，三者相比，都是直接補貼消費者最優，補貼企業A次優。而在目標增量較小時，都應當選擇某個企業進行補貼；同時，值得注意的是，選擇補貼企業的優勢都呈現了先增加后減少的趨勢。

3.2 敏感性分析

由上文的分析可知，在補貼對象的比較和選擇上，存在一個門檻策略，接著將對各個參數進行敏感性分析，進一步檢驗和理解門檻策略在不同參數環境下的變化，以供決策者在選擇和制定具體補貼方式參考。

首先討論關于參數a的敏感性分析，依舊在b A≥b B的基礎假設下，考慮c A≥c B和c A＜c B兩種情況。圖3展示了兩個典型算例的結果。圖3（a）為c A≥c B的一個算例，參數分別為：b A=0.8，b B=0.4，c A=10，c B=20。運算結果顯示，當a從56 增加至65時，Condition、ΔQAB和ΔQCB均呈遞減趨勢，且均由一個正值減至一個負數；與此同時，ΔQCA由一負值遞增至一正數。如定理5 討論結果一致，四者的正負變更點一致。圖3（b）為c A＜c B的一個算例，參數分別為：b A=0.6，b B=0.048，c A=10，c B=9。運算結果顯示，盡管具體數值結果不同，但是整體趨勢與左側算例是相同的。

綜合兩個算例的結果可知，作為可選的補貼對象，企業或消費者并沒有哪一個是在所有參數環境下都占優勢的，且如定理5的討論結果所述，目標增量較小時，補貼企業為較優的選擇，而目標增量較大時，應當選擇直接補貼消費者。同時，可見，當參數a增大時，由定理5中第1部分討論結果逐漸轉變為第2部分討論的結果，即目標增量較小時，單獨補貼企業B的方式從占有優勢，到逐漸失去優勢至最終被單獨補貼企業A的方式所替代。并且，在最優選擇不變的情況下，若最優選擇為先補貼企業A，后直接補貼消費者，則該目標增量的門檻值隨著a的增加而增加；而若是最優策略為先補貼企業B，門檻值則是隨著a的增加而遞減的。

圖3 參數a的敏感性分析

為了對參數b和c進行敏感性分析的討論，定義

令a=30，b A=0.8，c A=10，圖4～7呈現了當θb從0.01 遞增至0.91、θc從0.7 遞增至1.5 時，Condition、ΔQAB、ΔQCA以及ΔQCB的運算結果。與圖1的結果相同，不存在唯一的補貼方式在所有參數環境下最優。

由圖4結果可知，給定b A和c A時，Condition隨著θb的增大先減小后增大，且呈負值的區間隨著θc的增大而減小。同時，Condition的值隨著θc的增大由負值單調遞增至正值，并且，由負變為正的這一邊界值隨著θb的增加先增大后減小。這意味著在b B相對中等、c B相對較小時，補貼產品A是相對比較好的選擇，這也符合前文的分析，因為此刻產品A的市場占有率不是特別高，每單位補貼所能帶來的銷售增量將更為有效；而當b B與b A的差異較大，或c B較大時，補貼產品B成為了更好的選擇。

圖4 參數b和c 關于Condition的敏感性分析

圖5 參數b和c 關于ΔQAB 的敏感性分析

圖6 參數b和c 關于ΔQCA 的敏感性分析

觀察圖5～7可知，ΔQAB和ΔQCB隨參數b、c的變化趨勢與Condition是一致的，而ΔQCA則相反。原因在于，當目標增量較大時，不管產品A、B之間的具體競爭關系如何，直接補貼消費者都將是最好的選擇；而當目標增量較小時，總是應當在補貼A或B中進行選擇。當Condition為負值時，意味著選擇補貼企業A是較優的，對于ΔQAB和ΔQCB而言也是如此，而對于ΔQCA則恰好相反。

圖7 參數b和c 關于ΔQCB 的敏感性分析

分析圖6中的數據可知，當最優決策為先補貼企業A后直接補貼消費者時的目標增量門檻值隨c B的增加而減小，隨b B的增加先增加后減小。而圖7中的結果則表明，當最優決策為先補貼企業B后直接補貼消費者時，目標增量的門檻值隨c B的增加而增大，隨b B的增加先減小后增大。上述觀察結果與圖5所呈現的結論相同，僅比較補貼企業A、B兩種方式時，補貼企業B占優勢的目標增量范圍，亦隨著c B的增加而增大，隨著b B的增加先減小后增大。

4 結論

本文研究了在雙寡頭競爭情境下，以增加一定的總銷售量的基礎上最小化補貼總成本為目的時，如何在補貼企業和消費者中進行選擇并制定相應的單位補貼額度。研究表明，在補貼方式選擇上存在門檻策略，即當目標增量低于門檻值時，應當選擇補貼給企業；而高于門檻值時，則應當直接補貼消費者。在不失一般性的情況下，假設企業A、B之間的產品替代性關系為b A≥b B。數值分析結果顯示，當市場容量a相對較大，或兩者替代性的差異程度中等、或產品B的成本相對較低時，應當選擇先補貼企業A后直接補貼消費者的方式，反之則應選擇先補貼企業B。同時，若根據市場參數環境，最優方式先補貼企業A后補貼消費者，則目標增量的門檻值隨a的增加而增大，隨c B的增加而減小，隨b B的增加先增大后減小。而若最優補貼方式為先企業B后消費者，該門檻值的敏感性則與前者恰好相反，將隨a的增加而減小，隨c B的增加而增大，隨b B的增加先減小后增大。

根據研究結果可知，在實踐中，政策制定者首先應當對補貼產品相關信息進行調研，然后根據具體的市場環境參數、企業的具體運營情況以及補貼所期望達到的效果，參考上述研究結果，進行綜合考量并制定相應情境下較優的補貼方式。

盡管混合補貼方式，即可以靈活選擇多個補貼對象的方式，必將優于單一補貼方式，但是由于本文的目的在于較為深入地比較各補貼對象，分析其優劣及適用環境，為實踐中補貼方案的制定提供一定的參考。同時，考慮到實踐中混合補貼方式實施的難度，故集中討論了單一補貼方式。若實踐條件允許采取混合補貼方式時，研究結論同樣可提供參考價值。如對產品A、B同時每單位補貼w C，將與對消費者每單位補貼w C有相同的效果。而且結論具有一定的可推廣性，當市場中競爭的企業多于兩家時，雖然在企業之間比較和選擇時需要更多的討論，但是先企業后消費者的整體框架不會改變。主要的局限性在于對市場競爭的刻畫較為單一，因為考慮到面對的是需要拓展市場需求的產品，所以只討論了線性需求假設下的雙寡頭競爭模型，未來可以作進一步拓展。同時，文中假設為確定性需求，若加上隨機性，將對運營和管理帶來新的思考和挑戰，這也是后續需要展開的研究。