二重在線租賃問題的競爭策略及其風險補償模型

徐維軍，陳曉麗

（1.華南理工大學 工商管理學院，廣州 510641；2.廣東金融學院 互聯網金融與信息工程學院，廣州 510521））

在日常生產和生活中，租賃是一種常見的經濟行為，作為一種僅次于銀行信貸的重要融資方式，受到眾多企業經營者的廣泛關注。然而，科技的不斷進步使得設備更新速度加快，再加上市場競爭日益激烈，以及企業對設備未來需求的不確定性，使得企業決策者只能在當前若干租賃信息的基礎上立即做出決策，使決策者面臨巨大的決策壓力。租賃決策顯示的這種在線特征為在線算法和競爭分析在這方面的應用提供了契機，使得租賃問題進入了更深層次的研究。

在線算法和競爭分析方法在在線租賃問題上的應用首次由Karp[1]提出，他以“雪橇租賃”為例介紹了在線問題及在線算法和競爭分析方法。一位滑雪愛好者去滑雪時需要使用雪橇，他可以選擇一直進行租賃，并在每期支付租金1，也可以直接以價格p購買雪橇，那么，以后滑雪就不需要支付任何費用。若不知未來滑雪次數，則該問題被稱為在線問題，反之為離線問題。Karp運用在線算法和競爭分析方法給出了最優在線策略：在前p-1期一直租雪橇，在第p期若還滑雪則購買雪橇。該策略的競爭比為2-1/p，即不管未來需求如何變化，在線成本最多是事后最優成本的2-1/p倍。該例被稱為經典的雪橇租賃問題，由于與經濟管理領域的設備租賃問題類似，故得到了租賃決策領域大量學者的青睞。此后，關于設備租賃問題的研究都是在雪橇租賃問題的基礎上進行的擴展研究。考慮到資金的時間價值，El-Yaniv等[2]首次將利率引入到在線設備租賃問題中，運用在線算法和競爭分析方法得到了最優確定策略和最優隨機性策略。考慮到現實生活中通貨膨脹形勢日益嚴峻，徐維軍等[3]基于物價指數上漲因素給出了對應在線租賃問題的最優確定性和隨機性算法，并通過數值分析說明通貨膨脹因素對在線租賃決策的影響。除了利率和通貨膨脹因素，折舊也是一個影響決策的不可忽視因素。張衛國等[4]考慮隨機選擇設備租賃或購買的方式，給出可折舊設備的最優在線租賃策略，并提出了轉化隨機策略，將隨機選擇多種獲得設備的方式轉化為隨機選擇兩種獲得設備的方式，并得到了相應的競爭比。王揚等[5]考慮二手貨市場中出售價格與設備剩余價值之間的關系，分兩種情況研究存在二手貨市場的在線租賃問題。進一步，王揚等[6]從合同因素的角度進行研究，以非線性指數函數作為回購合同中的回購價格，建立了在線租賃模型，并給出了最優的競爭策略。考慮到以往研究均假設設備的使用壽命是無限的，馬衛民等[7]研究了有限使用壽命情況下的設備租賃問題。此外，由于價格并不是永遠不變的，Epstein等[8]研究了固定時長的雪橇租賃問題的各種變形，其中滑雪總天數和雪橇的購買價格固定，但是每天的租賃價格發生變化，并給出了租賃價格是任意變化、非增和非減變化情形下的最優在線算法。從市場信息角度，Fujiwara等[9]考慮未來市場需求輸入服從指數分布，給出了平均意義上的最優競爭策略及其競爭比。從合作博弈角度，馬衛民等[10]利用合作博弈理論從雙人合作的角度研究了在線決策者與離線決策者的合作博弈模型，給出了最優競爭策略及雙方合作分擔成本時的納什均衡解。

除了從上述角度進行分析外，部分學者也考慮了決策者的風險偏好，因為并不是所有的決策者都規避風險。Al-Binali[11]最早將競爭分析方法和概率假設綜合起來，并引入在線決策者的風險偏好，提出了著名的風險補償模型，指出投資者有時有目的的增加風險以期預測成功將獲得更高的收益，即便預測失敗，其風險也在決策者可接受范圍內。進一步，許多學者在風險補償模型的基礎上進行了更深入的研究，如考慮投資者風險偏好的同時考慮利率[12]、通貨膨脹[13]以及折舊[14]等因素。

此外，考慮到實際租賃市場中還存在除純購買和純租賃形式之外的多種可選租賃形式，Lotker等[15-16]研究了只有純租賃和部分購買兩種租賃形式下的隨機算法，并推廣到多租賃選擇的決策問題，給出了最優隨機策略及最優競爭比。Fujiwara等[17-18]通過求解多個租賃選擇下的最優化模型，得到了確定性最優選擇策略及最優競爭比下界，并討論了包括純購買在內的只有2種和3種租賃選擇下的最優競爭比上界。另外，以可選租賃形式的個數為輸入，給出了一個計算競爭比下界的算法，并得到了2～10 個租賃選擇情況下具體的競爭比下界。

但是對于多種租賃選擇情形，他們并未給出當租賃選擇的數量確定時具體的競爭比表達式，更未考慮決策者的風險偏好。考慮到實際租賃活動中除純租賃外，還可以先支付一部分費用，然后享受較優惠的租賃價格，類似于購買一張會員卡。因此，本文基于只有租賃和部分購買兩種租賃選擇情形下的在線租賃問題[15-16]，提出二重在線租賃問題。并將投資者的風險偏好及對未來設備使用時長的概率預期引入，建立二重在線租賃問題的風險補償策略，為多租賃選擇下風險補償策略的研究提供參考。

1 風險補償模型

在在線租賃問題中，假設在線人有一個可選的策略集S=｛S（1），S（2），…｝，對于在線人給出的一個策略S（t）及離線對手發出的任何不確定輸入σ∈Σ，其中Σ為離線對手發出的不確定輸入序列集，記在線人決策策略的總成本為coston（σ；t），離線對手的設備租賃總成本為costoff（σ）。如果存在一個與σ無關的常數β，使得對于任何輸入σ∈Σ均有coston（σ；t）≤βcostoff（σ）成立，則稱策略S（t）是β競爭的。

令R（t）表示策略S（t）的競爭比，則有

設在線策略S（t）的風險 為λ（t），根據Al-Binali[11]的定義可知，λ（t）=R（t）/R*，即為策略S（t）的競爭比與最優競爭比的比值。設在線人的風險容忍度為λ（λ≥1），則在該風險容忍度下的可選策略集Iλ=｛S（t）|R（t）≤λR*｝。而對于離線對手的不確定輸入，風險偏好者往往有自己的預期，令F?Σ為風險偏好在線人的預期，如果預期成功，則得到的競爭比稱為約束競爭比，記策略S（t）在預期F下的約束競爭比為

根據Al-Binali[11]關于預期成功時的風險補償的定義可知，當F預期成功時，策略S（t）的風險補償為。若在線人有多個預期Fi（i=1，2，…），則滿足Fi∩Fj=φ（i=j）且∪Fi=Σ，每個預期Fi的概率為P i，且ΣPi=1。那么，在預期｛（Fi，Pi）|i=1，2，…｝下，策略S（t）的約束競爭比為。在概率預期｛（Fi，Pi）|i=1，2，…｝下，Al-Binali的風險補償模型為：

通過求解上述模型，就可以得到在一定概率預期下的最優決策時間。

2 問題陳述及確定性在線競爭分析

二重在線租賃問題：承租人在進行設備租賃時，有兩種可選租賃方式：①直接在每一期以租賃價格r0進行租賃；②先支付一部分購買費用B，然后每期以較低的價格r1進行租賃。本文稱這兩種租賃方式分別為Fashion A 和Fashion B，面對未來設備使用時長的不確定性，承租人是選擇Fashion A 租賃設備還是Fashion B 租賃設備，或者是先采用Fashion A 租賃設備一段時間后再用Fashion B 租賃設備，哪種方法最為劃算？

為了方便，將上述二重在線租賃問題簡記為Fashion A-B。在Fashion A-B中，假設T為總的設備使用時間，則最優離線成本函數為

式中，T*為離線對手采用Fashion A 或Fashion B的臨界時間點，令Fashion A 和Fashion B 產生的成本相等，即r0T*=B+r1T*，可得T*=B/（r0-r1）。這里假設T*≥1，即B-r0+r1≥0；否則，Fashion B永遠優于Fashion A，承租人也不會選擇Fashion A，即退化為只有一種租賃方式可以選擇的租賃問題，此處不作考慮。

設在線承租人采取的策略S（t）為：在前t-1期采用Fashion A 進行租賃，第t期開始采用Fashion B進行租賃。記在線策略S（t）的成本為

根據式（1）、（2），并根據競爭分析方法和在線算法，可得策略S（t）關于T的競爭比為

下面分兩種情況進行討論：

（1）當t＜T*時，由于r0＞r1，故當T＜T*或T≥T*時，R（t；T）關于T單調遞減。此外，經計算知，那么，R（t；T）關于T連續，所以當T≥t時，R（t；T）關于T單調遞減，離線對手為了使競爭比達到最大，對策略S（t）做出的最優選擇是T=t，則可得競爭比：

易知，R1（t）關于t單調遞減，那么，在線人為了使競爭比達到最小，會選擇t=T*-1，則此時的最優競爭比為R1（T*-1）。

（2）當t≥T*時，由于T≥t，故

關于T單調遞減，離線對手為了使競爭比達到最大，對策略S（t）做出的最優選擇是T=t，因為T=t≥T*，所以costoff（t）=B+r1t，則可得競爭比：

容易驗證，R′2（t）＞0，即R2（t）關于t單調遞增，那么，在線人為了使競爭比達到最小，會選擇t=T*，則此時的最優競爭比為R2（T*）。

因為

所以，在線人為了得到最小的競爭比而選擇t=T*及策略S（T*），得到最優競爭比為

則有如下定理成立：

定理1在有Fashion A 和Fashion B 兩種租賃方式的二重在線租賃問題中，最優在線策略為：前T*-1期采用Fashion A 進行租賃，在第T*期開始采用Fashion B 進行租賃，即最優決策時間為T*。由此得到最優競爭比為

其中：r0為Fashion A 的租賃價格；B為Fashion B的部分購買價格；r1為對應的租賃優惠價格；T*=B/（r0-r1）。

通過定理1可知，在二重在線租賃問題中，在線決策者采用策略S（T*）能夠達到最優的競爭比，花費的成本最多是最優離線決策者成本的1+（r0-r1）（B-r0+r1）/（Br0）倍。此外，一方面，當r1=0時，二重在線租賃問題就轉化為經典的雪橇租賃模型；另一方面，通過定理1可知，當r1=0時，二重在線租賃問題的最優競爭比為R*=2-r0/B，且最優決策時間T*=B/r0，與經典的雪橇租賃問題一致。由此說明，本文給出的二重在線租賃問題是經典雪橇租賃問題的一種自然地推廣。

3 風險補償策略

在本節中，將風險補償模型引入到二重在線租賃問題中，給出兩種概率預期下的最優決策時間和最優競爭比，為風險偏好投資者提供一個最優的競爭策略。

假設預期F1=｛T：T＜T*｝和F2=｛T：T≥T*｝的概率分別為P1和P2，其中，P1+P2=1，在線承租者的風險容忍度為λ，且λ≥1。根據定義可知，在風險容忍度λ下的可選策略集

在預期｛（F1，P1），（F2，P2）｝下，策略S（t）的約束競爭比為

通過求解上述模型，即可得到最優的決策時間，從而得到最大的風險補償。

定理2給定風險容忍度λ（λ≥1），當預期F1=｛T：T＜T*｝和F2=｛T：T≥T*｝的概率分別為P1和P2時，策略S（t）的最優風險補償為最優決策時間為

其中，t1、Δ和函數的表達式參見證明過程。

證明首先，根據R（t）≤λR*計算出風險容忍度λ下的可選策略集Iλ。

（1）當t＜T*時，有

通過求解可得

通過比較可知，t1≤T*，則此時的可容忍策略集I1=｛S（t）|t1≤t＜T*｝。

（2）當t≥T*時，有

則式（3）可轉化為W1t≤W2，易知，W2≥0。通過求解可得，當W1＞0 時，式（3）的解為T*≤t≤此時的可容忍策略集

當W1≤0時，不等式W1t≤W2恒成立，此時的可容忍策略集I3=｛S（t）|t≥T*｝。

綜合（1）、（2）可知，當W1＞0時，在風險容忍度λ下的可選策略集

當W1≤0時，在風險容忍度λ下的可選策略集

然后，計算在預期｛（F1，P1），（F2，P2）｝下，策略S（t）的約束競爭比為

最后，求解在預期｛（F1，P1），（F2，P2）｝下的風險補償模型：

由此可知，當t≥T*時單調遞增，在t=T*時取得最小值。接下來討論當t＜T*時的單調性。令

易知，當t＞0時，D（t）單調遞增，令D（t）=0，可得

則當0＜t＜Δ時，D（t）＜0；當t＞Δ時，D（t）＞0。則：①當Δ≥T*，即時，在t1≤t＜T*時單調遞減；②當Δ＜T*，即時，若t1＜Δ，則在t1≤t＜Δ時單調遞減，在Δ≤t＜T*時單調遞增；若t1≥Δ，則在t1≤t＜T*時單調遞增。根據關于t的單調性可得圖1～3。

圖1 Δ≥T*時（t）的單調性

圖2 t1＜Δ＜T*時（t）的單調性

圖3 Δ≤t1時（t）的單調性

根據圖1可知，當t＜T*時在t=T*-1處取得最小值；而當t≥T*時在t=T*處取得最小值。又因為當P1≥B/（2B-r0+r1）時，，所以，此時的最小值在t=T*處取得。根據圖2可知，當t1＜Δ＜T*時，的最小值在t=Δ或T*處取得，即為。根據圖3 可知，當Δ≤t1時，的最小值在t=t1或T*處取 得，即為。綜上可知，在預期｛（F1，P1），（F2，P2）｝和風險容忍度λ下，策略S（t）在t*處的補償收益達到最大，即最優決策時間為t*，最大的補償收益為

推論1給定風險容忍度λ（λ≥1），當預期F1=｛T：T＜T*｝的概率為1時，最優決策時間為t=T*，最優的風險補償為r（T*）=R*；當預期F2=｛T：T≥T*｝的概率為1時，最優決策時間為t=t1，最優的風險補償為

4 算例分析

根據前面分析得到的概率預期下的風險補償模型，本節將通過算例進一步說明風險容忍度和概率預期的引入對最優約束競爭比和收益補償的影響。假設某公司需要使用一塊場地用來做產品宣傳，但是需要根據產品銷售績效來決定何時結束宣傳，也即公司并不能確定場地的具體使用時長，租賃方給出兩種租賃選擇：①以每天200元的價格進行租賃；②支付2 000元的預付款，然后以每天150元的價格進行租賃。那么，承租公司應該采取怎樣的策略才是最優的？ 另外，如果承租公司的決策者是一個風險偏好者，那么，又要如何進行決策？ 針對該問題，可以采取本文給出的風險補償策略，對應的參數取值為：r0=200，r1=150，B=2 000。則有T*=40，確定性策略的最優競爭比R*=1.243 75。設公司決策者的風險容忍度為λ，對總時間的預期有F1=｛T：T＜T*｝和F2=｛T：T≥T*｝，相應的概率分別為P1和1-P1。表1即是根據決策者的風險容忍度和概率預期得到的對應最優決策時間t*和補償收益r（t*）。同時，為了說明有預期時的最優約束競爭比相對于無預期時的最優競爭比有所改善，參考文獻[12]，采用表示當預期成功時獲得的最優約束競爭比相對于確定性最優競爭比R*的改善幅度。

表1 不同風險容忍度和概率預期下的風險補償策略

根據表1可知，在給定的風險容忍度λ下，最優決策時間不遲于無預期時的最優決策時間，有概率預期時的競爭比均小于無概率預期時的競爭比R*，如果預期成功，則可得風險補償r（t*）＞1。特別地，當預期F1=｛T：T＜T*｝的概率P1=1時，如果預期成功，則在線決策者的成本不會低于離線決策者的成本，該預期下的約束競爭比為=1。此外，在相同概率預期下，隨著風險容忍度的增大，得到的最優約束競爭比逐漸減小，得到的收益補償也逐漸增大，相應競爭比的改善幅度也逐漸增大，如P1=0.1時，隨著風險容忍度λ從1.1變化至1.4，收益補償從1.054增加至1.089，最優競爭比的改善幅度也從26.08%增加至41.54%。這說明，在相同概率預期下，決策者的風險容忍度與他得到的風險補償成正比。

5 結語

Karp[1]的“雪橇租賃”問題作為運用在線算法和競爭分析方法研究在線設備租賃的經典問題，僅僅假設決策者有兩種獲得設備的方式，一種是純租賃方式，另一種是直接購買設備的方式。而在現實租賃市場中，有很多種設備設施租賃方式，所以研究其他租賃方式下的最優租賃策略是很有必要的。本文考慮了純租賃和支付部分購買費用后再租賃這兩種租賃方式，利用在線算法和競爭分析方法得到確定性最優在線策略，并給出了最優競爭比。此外，考慮到決策者并不都是風險厭惡的，他們往往更希望利用風險獲得更高的收益；再者，決策者往往可以根據經驗或市場其他信息對設備使用時長進行預期。因此，本文將決策者風險容忍程度及投資者的概率預期引入在線算法中，得到了二重在線租賃問題的風險補償模型。并通過算例分析，說明風險容忍度的引入能夠提高策略的競爭性能，而且當決策者對總的設備使用時間的預期正確時，決策者能夠獲得一定的補償收益。

然而，本文并未考慮市場上其他因素的影響，如通貨膨脹、利率、設備折舊等因素。另外，本文僅考慮了兩種不同租賃方式下的風險補償策略，對于多種不同租賃方式下的風險補償模型還有待研究。