公交車排班問題探討

陳孫延 沈瑩瑩 仇佳輝

摘要：在經濟高速發展的當今社會，城市交通壓力陡增，公交系統對于滿足人們的出行需求，緩解城市交通壓力發揮著無可替代的作用。文章對于公交車排班問題進行研究，力求使用最少的公交車數量來滿足不同時間段內的運營要求，提高公交車排班的合理化，合理配置有限的資源以促進經濟社會的發展。文章中模型的建立以考慮公交車成本、乘客候車成本為基礎：問題一，在理論研究中，公交車排班問題便可看作資源的合理分配問題。在一定的約束條件下，合理安排有限的公交車的資源即運行車輛數、運行時間的調度方法確定其先后順序，采用優化模型，以獲得時間的最優化。求得徐州市2路公交車在早高峰時段（6：00～8：00）運行所需要使用的最少公交車數量為16輛。問題二，在滿足乘客需求的情況下，尋求乘客等待時間最少和運營成本最低的平衡點，以上述兩個方面為目標的公交車排班方案，采用最少的公交車數量盡量減少了運營投入。此問題為多目標優化問題，采用多元線性規劃進行求解。求得徐州市2路公交車完成一整天的運行所需要最少的公交車的數量為雙班車21輛，單班車0輛。問題三，在問題二的基礎上，要求單班車不少于3輛。在問題二已建立的模型上增加約束條件，使一整天運行所需的公交數量最少。求得徐州市2路公交車完成一整天的運行所需要最少的公交車的數量為單班車3輛，雙班車18輛。問題四，相比問題一、二、三，更為貼近實際情況，其主要的數學思想在根本上是一致的，仍然為多元線性規劃優化思想。采用搭建了主要的模型后，增加相應的約束條件并進行結合實際情況的調整的方法，求得徐州市2路公交車完成一整天的運行所需要最少的公交車的數量為單班車4輛，雙班車19輛。

關鍵詞：公交車排班問題；多元線性規劃；優化模型

一、問題重述

（一）引言

隨著經濟社會不斷發展，人們的出行需求迅猛增長，公交系統的作用日益凸顯，同時也面臨著前所未有的挑戰。城市的公交系統的優化可以緩解城市交通壓力，有利于節能減排低碳發展，同時也可以減輕公交車司機的工作負荷，避免疲勞駕駛，提高司機師傅的工作滿意度。合理編排公交車行車計劃，既符合城市公交集團人性化管理的要求，也符合提高公交車運營效率和服務質量的重要舉措。

（二）問題的提出

現代社會的發展對城市公交系統的完善提出了進一步的要求。通過合理編排公交車的行車計劃，可以更好地服務于城市居民，更好地服務于經濟社會的發展，從而達到經濟效益和社會效益的統一。如何使用最少數量的公交車來滿足不同時間段內運營要求，在深入理解公交業務需求和客運行業特點的基礎上，將題設問題抽象成一個明確、完整的數學模型，對模型進行求解，立足實際，設計出最優的排班方案。

在該問題中，公交車公司采用單班車和雙班車進行排班，駕駛員工作時間有限，公交車的行車信息表已知，如何在滿足乘車需求的基礎之上，在一定時間內采用最少數量的公交車進行排班運營。

二、問題分析

本題以簡單的環路公交路線為例，即公交車從A點出發，經過一系列站點后再次回到A點為1個班次。1輛公交車從起點出發到達終點停止為1個班次。公交車公司有兩種類型的班車：單班車和雙班車。通常情況下，均可以用于排班。

單班車：由同一個駕駛員駕駛的公交車。單班車通常要求在早高峰跑2～3個班次，晚高峰2～3個班次，一天不超過5個班次。

雙班車：由兩個駕駛員駕駛的公交車。雙班車要求上、下午各一個司機，上午和下午司機的工作時間盡可能均勻，并且都不超過8小時。每輛雙班車一天運行不超過10個班次。

（一）問題一分析

考慮到一輛公交車在早高峰時段內能夠運行不止1次的班次，因此班次的數量并不能準確地對應所需公交車的數量。由于早高峰時段的時間長度有限，在合理的模型假設的前提即忽略其他因素的條件下，本文利用簡單的時間軸分析出運行過程中實際需要的車輛數為6：00～7：20這一時間段內發出的公交車數。同時，由于在早高峰時段內單雙班車并無區別，只是當單班車運行時需要運行2個班次。由分析可知，單班車和雙班車的具體數量是有多組可行解的。

（二）問題二分析

所謂排班問題就是為了某一目的面對共同使用的資源實行時間分配，通常可表示為在一組或幾組不等式的約束條件下，求解目標函數的優化。城市公交車輛運輸系統相應的排班問題有如下特點：每輛公交車在一整天的運行過程中只遵循一種運行模式，不會中途變化；每輛車按時發出，根據不同的運行時段，準時完成運行任務。

問題二要求給出徐州市2路公交車完成一整天的運行所需要最少的公交車數，其數學模型采用的優化指標為：在不影響乘客出行的前提下，乘客的等待時間和公交車運行班次最少，并避免出現較大的發車時間間隔，采用多元線性規劃模型解決公交車排班問題。

（三）問題三分析

問題在的模型按照題中所提要求即在問題二建立的模型的基礎上增加相應的約束條件。考慮到實際問題的現實性，因此在增加約束條件得到相應的額可行解后，還應按照實際條件做出調整。

（四）問題四分析

拋開問題一、二、三的限制，建立一個更為貼近實際的數學模型，但同時又是在研究完上述問題的基礎上建立模型，其主要的數學思想在根本上是一致的，仍然為多元線性規劃優化思想。搭建了主要的模型后，增加相應的約束條件并進行貼近實際的調整，最終得到數學模型的現實求解。

三、模型假設

影響公交車排班的因素眾多，且其中很多因素都是隨機的，為研究造成了諸多不便。為了抓住重點，簡化模型的建立與求解，現作出以下的假設：在同一時間段內，相鄰兩車的發車時間間隔在無特殊情況下相等；公交車運行的單程時間，已經包含乘客在各站（包括起點和終點）的上下車時間；每輛公交車可以運行一整天不需要加油；公交車按照行車時間表準時進站和出站，途中沒有堵車和意外事故；公交車回到終點后不需要停留，可以繼續進行下一班次的運行；發車間隔以分鐘為最小單位；以13：30劃分雙班車司機的上午與下午的工作時間段；在車站等待的絕大數人不會離去。

四、符號說明（見表1）

五、模型建立

（一）模型Ⅰ（問題一的模型）

1. 確定目標函數

由于不同班次可由同一輛公交車完成，結合時間分配，通過求該時間段內最少班次，在不等式的約束條件下，繼而求在早高峰時段（6：00～8：00）運行所需要使用的最少公交車數量。

S1為第一時間段即早高峰時段（6：00-8：00）內需要的班次，T1為第一時間段即早高峰時段的時間長度為120分鐘，Δt1為第一時間段即早高峰時段（6：00～8：00）的發車間隔。

2. 確定約束條件

（1）最大最小發車時間間隔約束

任意相鄰兩車之間的發車間隔要滿足最大最小發車時間間隔約束，即：

（二）模型Ⅱ（問題二的模型）

1. 確定不同時間段的最優發車間隔

（1）確定目標函數

公交車排班以服務乘客為前提，但是在排班過程中必須兼顧到經濟效益。公交車排班應該是在滿足乘客需求的前提下，盡可能少的使用公交車，減少不必要的投入。因此，這是一個多目標規劃問題。

①考慮一天內總的班次最少

將問題二中的一整天劃分為4個時間段來簡化模型的建立，便于理解。

②考慮一天內乘客等待的時間最短

這兩個目標是既相互聯系又相互矛盾的，不可能使兩者同時達到最小。這樣就需要尋求一個平衡點，得到總體的最優。現在將兩項加權合并為單目標函數，考慮將這兩項算成一種費用。

第一項發車班次總和折算成公交公司的運輸費用。由徐州市公交公司的調研數據可知，平均每車每公里的成本是320元，這個費用包括了司機的勞動工資、耗油、折舊、維修與管理等各項費用之和。因此，一天之內公交車發車的班次總和其價值可以進行如下折算：

第二項乘客總的等車時間可以折算為乘客等車損失的費用。由徐州市統計局相關資料可知，徐州市2全部職工的每月平均工資為4947.75元。假設平均每天的工作時間為8小時。

目標函數包括了公交車公司和乘客兩方的利益，由于這兩個目標存在著相互沖突性，兩個目標函數就存在一個權值的問題，體現在目標函數中兩項的加權系數的大小。在同一線路的不同時間段加權系數的最優值是不同的。例如：從公交車公司的角度考慮，早高峰時段是多數乘客的上班時間，這段時間內所需要的公交車輛數最多的。從乘客的方面考慮，早高峰對于乘客的利益影響較大，乘客希望此時的時間比較短，這個時候乘客等車時間加權系數較大。初始化時取加權系數為0.2和0.8，在計算中根據結果逐步進行比較、調整。

（2）確定約束條件

最大最小發車時間間隔約束。任意相鄰兩車之間的發車間隔要滿足最大最小發車時間間隔約束，即：

2. 確定所需公交車的最少數量

（1）確定目標函數

問題二要求建立適當的模型求解出徐州市2路公交車運行一整天需要的最少公交車數量，總的公交車數量為單班車與雙班車的數量之和。由此確定目標函數：

（2）確定約束條件

①考慮問題二是在問題一的基礎上

②考慮單班車自身的約束條件

單班車通常要求在早高峰跑2～3個班次，晚高峰2～3個班次，一天不超過5個班次。

早晚高峰中單班車必須要運行2個班次，總的單班車、早高峰期單班車、晚高峰期單班車數量一致。

限制單班車運行的班次在早晚高峰期所需的總班次內。

限制每輛單班車一整天的運行班次不超過5個班次。

③考慮單班車和雙班車總的約束條件

滿足單班車和雙板車運行的班次足夠運行完一整天的4個時間段的總班次，即保證一整天的公交系統的正常運行。

④考慮不同時間段內發車間隔的約束

此模型中的不同時間段的發車時間間隔采用各個時間段的最優發車時間間隔模型中求解得知的各個時間段的發車間隔。

（三）模型Ⅲ（問題三的模型）

問題三的模型即在問題二的模型上增加約束條件

x1≥3

滿足問題三中的單班車不少于三輛的要求

模型Ⅲ：

（四）模型Ⅳ（問題四的模型）

1. 確定不同時間段的最優發車間隔

（1）確定目標函數

確定不同時段的最優發車間隔模型是一致的，參數的個數以及設置不同導致最終的求解不同。目標函數為：

（2）確定約束條件

最大最小發車時間間隔約束，同時段內任意兩車之間的發車間隔要滿足最大最小發車時間間隔約束，即

2. 確定所需公交車的最少數量

（1）確定目標函數

求解處運行一整天所需的最少的公交車數量為目標，因此目標函數為：

minN=x1+x2（24）

（2）確定約束條件

①考慮單班車自身的約束條件

單班車在早晚高峰必須要運行2-3個班次

x1=x13=x15（25）

總的單班車、早高峰期、晚高峰期單班車數量一致。

限制單班車運行的班次在早晚高峰所需的總班次內。

限制每輛單班車一整天的運行班次不超過5個班次。

②考慮雙班車自身的約束條件

③考慮單班車和雙班車總的約束條件

保證一天的公交車系統的正常運行。

④考慮不同時間段內發車間隔的約束

六、模型求解

（一）模型Ⅰ的求解

將函數及數據帶入MATLAB計算，得：

即最少需要24班次。

但是由于班次無法對應公交車數量，因此做出如圖1（時間軸）的分析。

……

由所繪時間軸可知，運行中實際需要的公交車數量為6：00～7：20這一時間段內發出的公交車數量。修改（1）式模型有：

利用MATLAB求解有

Δt1=5S1′=16

得出最終結果：徐州市2路公交車，在早高峰時段（6：00～8：00）運行所需要使用的最少公交車數量為16輛。單班車、雙班車在早高峰時段可看作同種運行模式，單雙班車的具體數量如表2所列。

（二）模型Ⅱ的求解

1. 模型Ⅱ.a的求解

利用MATLAB編程求解可得出以下結論如表3所示。

考慮到MATLAB求解出的可行解不一定滿足實際問題的要求，在車輛的實際排班過程中還需要對不同的實際情況做出微調。經過實驗，最終將晚高峰時段的最優發車時間間隔調整為4分鐘。

2. 模型Ⅱ.b的求解

利用MATLAB編程求解可得出以下結論。

最少公交車數量為20輛，其中單班車0輛，雙班車20輛。

根據模型Ⅱ的求解，可得到的徐州市2路公交車排班計劃表，其中總車輛數20輛，雙班車總數量20輛，單班車總數量為0，所有車的總班次數208次。

（三）模型Ⅲ的求解

利用MATLAB編程求解可得出以下結論。

最少公交車數量為21輛，其中單班車3輛，雙班車18輛。

根據模型Ⅲ的求解，可得到徐州市2路公交車排班計劃表，其中總車輛數為21輛，總雙班車數量18輛，總單班車數量3輛，所有車的總班次數199次。

（四）模型Ⅳ的求解

1. 模型Ⅳ.a的求解

利用MATLAB編程求解可得出以下結論如表4所示。

考慮到MATLAB求解出的可行解不一定滿足實際問題的要求，在車輛的實際排班過程中還需要對不同的實際情況做出微調。經過實驗，最終將晚高峰時段的最優發車時間間隔調整為4分鐘。

2. 模型Ⅳ.b的求解

利用MATLAB編程求解可得出以下結論。

最少公交車數量為23輛，其中單班車4輛，雙班車19輛。

根據模型Ⅱ的求解，可得到徐州市2路公交車排班的計劃表，其中總車輛數23輛，總雙班車數量19輛，總單班車數量4輛，所有車的總班次數195次。

驗證模型Ⅳ求解得到的徐州市2路公交車排班表：

（1）單班車司機不安排吃飯，所有雙班車司機都安排吃飯（早餐和晚餐），每餐飯需要20分鐘用餐時間。早餐8：00開始供應，10：00截止；晚餐18：00開始供應，20：00截止。——即在8：00～10：00以及18：00～20：00這兩個時間段內雙班車的班次中至少有1次在終點站停站超過20分鐘。

（2）雙班車輛運行5班次以后，上午、下午班司機進行換班，換班時間最少為20分鐘（含最短停站時間）。——即雙班車輛運行5班次以后，雙班車在終點站停站超過20分鐘。

驗證可知模型Ⅳ求解得到的徐州市2路公交車排班表符合問題四的約束條件。

七、模型的擴展與評價

公交車排班是影響公交運營系統運行成本、效率和服務能力、水平的重要內容，是公共交通系統著重研究核心內容之一。其中，公交行車計劃編制，包括發車頻率、發車時刻表、運力和司乘配置計劃是公共交通系統靜態調度的主要內容。

在公交靜態調度優化的研究中，為了滿足乘客出行需求盲目增加運營車輛將導致企業運營成本的增加，線路上投入車輛過多，引發滿載率過低也是一種不必要的資源浪費。所以，在問題二、三中通過分析公交企業利益即公交企業運營成本和出行者利益即出行者候車成本，建立以企業運營成本最小和出行者候車成本最小的車輛發車間隔模型，利用多元線性規劃方法，借助MATLAB進行模型求解。

本文中，采用多元線性規劃模型在題設約束條件下較為完整地解決了公交車排班的問題，得出了符合要求的徐州市2路公交車排班計劃表（即為表3～2、表4～1）。由此可見，采用多元線性規劃模型及優化模型對公交車進行排班，制定出排班計劃表，有效合理地配置了公交車輛資源，提高了公交公司的人性化管理水平。

但是，本文中的公交車排班計劃僅對于原始的靜態情況進行排班，未考慮道路狀況和突發狀況等實際情況，對實際問題進行了簡化和抽象，所以，與實際問題存在一定的差異，有待于更進深入地研究，模型也有待于更進一步地優化。

參考文獻：

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[2]臧輝，成俊.基于遺傳算法的公交車輛智能排班研究[J].武漢職業技術學院學報，2007（03）.

[3]王慶榮，等.基于遺傳算法的公交智能排班系統應用研究[J].計算機仿真，2011（03）.

（作者單位：南京郵電大學）