事件的獨立性的案例選擇初探

金芳 郭冰陽 吳承遜

摘要：如何選取與設計合適概率論與數理統計課程教學案例尚在探究中，本文針對《隨機事件的獨立性》內容特點，結合案例教學實踐，對隨機事件的獨立性這節課的內容進行了案例選擇，加強培養學生解決實際問題的數學能力。

關鍵詞：獨立性；案例教學；概率

概率論與數理統計作為數學的一門分支，在生產、科研、經濟等領域有著廣泛的應用，與人們日常生活密切相關，是具有強烈實際背景的數學課程，為課程引入案例教學提供了相當有利的條件。案例教學是指教師根據教學目的選擇或編寫案例，提供具體真實的場景，讓學生把自己納入案例場景，并在教師組織與指導下，通過自主積極思考，討論或者研討，提出解決問題的方法來進行學習的一種教學方法.它強調以學生為主體，以培養學生的自主學習能力、實踐能力和創新能力為目的。隨機事件的獨立性，描述了一種隨機事件之間的特殊關系，在概率論與數理統計中具有舉足輕重的地位.如何針對概率論與數理統計課程特點，選取與設計合適的教學案例，解決學生在學習中出現的難理解、缺乏興趣等問題，目前尚在探索之中.下面結合在實際教學中的體會，探討設計事件獨立性的教學的要點和方法。

A，B是相互獨立，說明兩事件之間沒有關聯或關聯很微弱，一事件發生與否并不影響另一事件發生的概率.在抽象問題中，一般根據定義去判斷事件的獨立性，而在實際問題中，一般根據事件的實際意義去判斷事件的獨立性.在教學過程中，挑選貼近學生實際生活，具有一定教育意義的案例是較憂選擇.根據多年來對課程的理解和創新試驗，發現以下實例是相對比較成功的案例。

案例1（系統可靠性問題）

設有多個元件，每個元件的可靠性均為0.9（元件能正常工作的概率）， 按如下兩種方式組成系統， 試比較兩個系統的可靠性.

系統一：串聯系統 系統二：并聯系統

解 設 A=“系統一能正常工作”；B=“系統二能正常工作”；Ci=“系統二第i個能正常工作”，i=1，2.且事件 C1， C2 相互獨立.則P（Ci）=0.9.

P（A）=P（C1C2）=P（C1）P（C2）=0.92=0.81；

通過案例1，我們既可以熟悉兩個事件的并和交的計算區別與聯系，又可以結合物理知識，得到并聯系統比串聯系統可靠性更好。

案例2（三個臭皮匠，頂個諸葛亮）

如果某問題諸葛亮能解出的把握80%，臭皮匠老大的把握有50%，老二的把握只有45%，老三解出的把握只有40%，四人解題相互不受影響，那么三個臭皮匠能勝過諸葛亮嗎？

解 設A=“諸葛亮能解出某問題”，B=“老大能解出某問題”，C=“老二能解出某問題”，D=“老三能解出某問題”，則事件A，B，C，D相互獨立，且

P（A）=0.8，P（B）=0.5，P（C）=0.45，P（D）=0.4.

那么，三個臭皮匠能夠解出某問題的概率為：

則 .即三個臭皮匠能勝過諸葛亮。

通過案例2，我們既可以理解和應用三個事件獨立性的性質、計算和應用，又可以鍛煉學生數學建模的能力，培養創新思維，還可以對學生進行思想教育：三個才能平庸的人，若能同心協力集思廣益，也能提出比諸葛亮還周到的計策.團結力量大，21世紀將是一個團隊協作的時代。

案例3 （三人行，必有我師焉）

俗話說“三百六十行，行行出狀元.”我們不妨把一個人的才能分成360個方面.因為孔子是大學問家，我們假設他在每一行的排名都處在前的可能性為99%，從數學角度出發，分析下“三人行，必有我師”有道理嗎？

解 設一共有孔子、甲、乙三人， =“孔子在第 行超過甲”， =“孔子在第 行超過乙”.則

則孔子在在第 行同時超過甲乙的概率為： ，

那么，孔子在360行全部超過甲乙的概率為：

.

因此，這兩個人在某一方面可以做孔子老師的概率為99.93%.從概率論與數理統計的角度分析，孔子的話是有道理的。

通過案例3，我們既可以理解和應用n個事件獨立性的性質、計算和應用，又可以體會文學與數學交融之美，感受學習的樂趣，還可以對學生進行思想教育：擇其善者而從之，其不善者而改之”，注意學習他人的長處，以他人缺點引以為戒，多看他人的長處，與人為善，待人寬而責己嚴，你將越來越好。

案例4（選擇題的取巧問題）

一張英語試卷，有10道選擇題，每題有4個選擇答案，且其中只有一個是正確答案，某同學投機取巧，隨機填空，試問：

（1）他答對2道的概率是多大？

（2）他至少填對6道的概率是多大？

解 每答一道題有兩個可能的結果，設A=“答對”，P（A）=0.25. 答10道題可當作10重伯努利試驗.

（1）

（2）設 “他至少填對6道”，則

通過案例4，我們既可以理解和應用n重伯努利試驗的性質、計算和應用，又可以培養學生數學研究能力，還可以讓學生自己深刻感受認真學習的重要性.同時，和學生一起總結出小概率原理（或稱實際推斷原理）：概率很小的事件（稱為小概率事件或稀有事件），在一次試驗中幾乎是不可能發生的.故如本例所說，該同學隨意猜測，能在10道題中猜對6道題以上的概率是很小的，在實際中幾乎是不會發生的。

總結：

選取與設計合適概率論與數理統計教學的案例，是本課程開展案例教學的基礎，是有效進行案例教學的關鍵環節.案例選取與設計思想：要以學生為本，以教學計劃為指導，難易適中，能清晰說明一個概念、定理法則或方法，使教學案例成為各重點相關概念的結合點，成為引導學生探討應用概率論與數理統計思想方法、定理、公式的平臺，成為提升學生解決實際問題的數學能力的著力點。

基金項目：

湖南城市學院2016年教學改革研究項目（No.20），2016年湖南城市學院高等教育科學研究課題（No.JK15B040）；

湖南省教育科學十二五規劃2015年度一般資助項（No.XJK015BGD008）；

湖南城市學院2015年教學改革研究項目（No.37）；

2016年教學改革研究項目（No.20）；

2016年湖南城市學院高等教育科學研究課題（No.JK15B040）。