有趣的“木頭堆放”問題

李蓉

人教版數學教材五年級上冊中有這樣一道習題，如圖1所示。

在教學時，學生很快得出：（2+6）×5÷2=20（根）。我問：“為什么這么做，你是怎么想的？”學生自信地說：“根據木頭堆放的形狀來看是個梯形，用梯形的面積計算公式就可以。如果不信的話直接數，也可以得到是20根。”學生的回答有理有據，其他學生也認為這本來就不是一道難解決的習題，尤其是有些同學看了書中括號里的提示，更容易想到。

但是，有一位孩子提出質疑：“老師，用面積公式算出的是面積大小，為什么這里可以計算木頭的根數呢？”“是啊，為什么？”我反問，并表揚這個孩子的細致思考。學生們都陷入沉思。不一會，有學生說可能只是巧合，建議再用別的數據試試。

于是，大家舉了例子，如：底層7根，頂層2根；底層9根，頂層3根……都驗證了這種方法是可以的，因為堆放情況從橫截面看像梯形，所以用梯形面積公式求根數，學生們對此都沒有異議。

接著，我出示另一種堆放情況（如圖2），提問：“這堆木頭的橫截面近似三角形，那我們可以用三角形的面積公式計算根數吧？”大多數學生認為可以，很快得到6×6÷2=18（根）。沒過一會兒，有幾個同學不約而同地反對：“老師，實際根數是21根，這個答案不對！”

同學們都非常詫異，這相差的3根木頭哪兒去了？我趁機說：“這真是個有趣的題目，實在是按橫截面的形狀來求的，怎么這次的求法就不對呢？”學生也被這種奇怪又有趣的現象激起了探究欲望。接著，我和孩子們對這一問題展開了一場刨根問底式的探究。

學生分析：求面積離不開面積單位，如果用求面積的方法算，就必須找到面積與木頭數量（根數）的關系。平面圖形的面積指的是含有單位面積的多少。把每根木頭的橫截面面積看作一個單位面積，那木頭堆成的橫截面有多少個這樣的單位面積，木頭就有多少根。這就是兩者的相等關系！

為了讓學生看得更清楚、理解得更透徹，我將木頭化曲為直、化圓為方（如圖3）：每個正方形的面積=每個圓的面積=一個單位面積。再用割補法將橫截面轉化為規則的梯形，這個梯形的上底為2個單位長度，下底為6個單位長度，高為5個單位長度。所以，梯形的面積=（2+6）×5÷2=20（單位面積），也就是堆放的根數。學生們頓時恍然大悟！

至于圖2用化圓為方的方法，它的橫截面就不是近似的三角形，而是近似的梯形（如圖4）。此時，計算根數的方法應該是梯形的面積計算公式：（1+6）×6÷2=21（根）。所以，丟了的3根不是不能用面積公式算，而是用錯了公式。

老師們在教學中經常這樣變一變，讓學生這樣辨一辨，學生思考問題的方式和思維能力定能得到發展！

（作者單位：長沙市芙蓉區東郡小學）