由一道課堂練習題引發的探究

摘 要：由一道課堂練習題引發的探究，利用初等數學的知識推導出三角形面積公式的坐標表示，并分享解題的心路歷程。

關鍵詞：探究；三角形面積公式；坐標表示

通性通法的難點是化簡7-43，部分學生望而生畏，甚至懷疑此法是否可行。老師剛講完，就有學生提出新的解法，并上臺演板，利用面積割補法順利解決問題，贏得了大家的掌聲。學生的生成超出了老師的預設，回避了向量和三角函數的相關知識點，從圖形的角度解決問題，以形輔數簡化運算。師生互動的教學情境、思想方法相互生成的過程給筆者留下了深刻的印象。筆者在自己班上課時也把這個問題交給學生回答，有兩位平時閱讀廣泛、能力強的學生提出利用向量的叉乘的幾何意義和坐標公式，可以快速解決問題。解法如下：

點評：解題思路簡單，用到三角形的面積公式、同角三角函數基本關系式和余弦定理，但是代數式看著復雜，令人望而生畏不敢動筆演算，這是學生目前存在的普遍現象。因此，通過本題的訓練，幫助學生觀察代數的結構特點，運用平方差公式將代數式轉化，真正幫助學生戰勝內心的恐懼，抓住代數運算的特點與規律，不怕算，算不怕。

這兩個問題都是書本上的問題，問題1是人教A版必修4第82頁的探究題，問題2是人教A版必修5第20頁的練習題。通過思維導圖（下圖所示）：

筆者得到了問題1的四種解法：方法一、利用三角形法則的幾何意義解題；方法二、模取平方，將線性運算轉化為數量積運算；方法三、利用坐標運算，設而不求，整體代換，加強代數求解；方法四、利用坐標運算，結合三角函數的定義將坐標特殊化，簡化運算。問題2是推導海倫公式，知識明了，思路清晰。這兩個問題的解題方法都體現出運算推理難度較大，但都是提高學生運算能力的好素材。這些解題的心路歷程，可以幫助老師和學生共同成長，也能讓學生清晰地認識到理解知識的來龍去脈的重要性，要知其然，知其所以然。下面這道高三復習題，能夠體現本文通過探究所起到的作用，真正做到觸類旁通的效果。

正是因為學生提出的問題，推動老師進一步地探究，在教師專業化發展的方向上起到了助推作用。正是因為平時的積累才會有思維的火花，才能觸類旁通，舉一反三。高三復習要將課堂適度交給學生，通過老師的預設和學生的生成，達到教學相長的目的。高三復習要回歸課本，通過思維導圖多探究，建立知識網絡，將方法融會貫通，逐步提高運算推理求解的能力，落實數學的核心素養。高三復習要精選題組，通過題組訓練題的強化演練，幫助學生掌握解題的通性通法，真正實現熟能生巧的效果。

參考文獻：

[1]A版數學必修4教師教學用書.人民教育出版社.

[2]A版數學必修5教師教學用書.人民教育出版社.

作者簡介：陳辛清，福建省福州市，福建省羅源第一中學。