數(shù)列極限不同求解方法及應用

摘 要：我們在學習數(shù)學分析這一基礎(chǔ)學科時，始終伴隨著極限思想。極限是數(shù)學分析的基石，是微積分的基礎(chǔ)。掌握極限的相關(guān)概念、性質(zhì)及求解方法是學好數(shù)學分析的基礎(chǔ)和前提。求極限的題型多種多樣，求極限的方法也各不相同，靈活掌握它們，可以使一些數(shù)學問題更加簡單。所以本文總結(jié)了數(shù)列極限的定義、性質(zhì)、存在的條件和一些求法，比如定義法、分步法等。希望本文能夠?qū)τ趯W習數(shù)列極限的人有所幫助。

關(guān)鍵詞：數(shù)列極限；求解方法；應用

數(shù)學分析里有很多概念，數(shù)列是其中較為常用的一個，也是解決眾多數(shù)學問題必不可少的元素。尤其是數(shù)列極限更是一個非常重要的部分，從最基礎(chǔ)的數(shù)列極限的求解，到數(shù)學建模里的應用，都需要我們進一步了解數(shù)列極限。學好極限知識能夠幫助我們更好地理解和掌握數(shù)學分析相關(guān)知識。

一、數(shù)列極限的概念

設{an}是一個數(shù)列，a為定數(shù)。若對任給的正數(shù)的ε，總存在正整數(shù)N，使得當n>N時有|an-a|<ε，則稱數(shù)列{an}收斂于a，定數(shù)a稱為數(shù)列{an}的極限，并記作或者an→a（n→∞）。否則稱數(shù)列{an}不收斂，或者稱為發(fā)散數(shù)列[1]。

對于一個數(shù)列，當n→∞時，則也無限地趨近于0，那么我們就稱數(shù)列為收斂數(shù)列。也就是說，當n的數(shù)值為∞時，數(shù)列的通項an與常數(shù)a之差的絕對值可以無限小.

二、收斂數(shù)列的性質(zhì)

（1）唯一性。如果說一個數(shù)列是收斂數(shù)列的話，那么極限必然只有一個。

（2）有界性。收斂的數(shù)列必有界。

（3）保號性。設an是以a為極限的收斂數(shù)列，我們有：若a>0，則對；，N，使得當n>N時，有；若a<0，則對；，N，使得當n>N時，有。

（4）保序性。設數(shù)列{an}與{bn}收斂，若存在整數(shù)N0，使得當n>N0時有an≤bn，則有：.

（5）迫斂性。設三個數(shù)列{an}，{bn}和{cn}有1. an≤bn≤cn，（n=1，2，3…）； 2. 。這樣的話{cn}一定是一個收斂的數(shù)列，而且能夠知道這個數(shù)列的極限其實同樣是a。

（6）可加、可乘性。設數(shù)列{an}，{bn}是收斂數(shù)列且， 則①；②；③，其中。

注意：bn為常數(shù)C時有。

三、數(shù)列極限的求法

（1）極限定義求法。按照定義來求極限是求數(shù)列極限最基礎(chǔ)的方法，但是也有其局限性。這種方法適用已經(jīng)可以看出極限值的情況，我們只是證明其就是所求數(shù)列的極限而已。

具體過程如下：設{xn}是數(shù)列，A為常數(shù)，對任意的正數(shù)ε，存在正數(shù)N，當n>N時，有|xn-A|<ε成立，則稱{xn}以A為極限，或者{xn}收斂于A，記作。

需注意：N的取法并不唯一，N與ε的取值有關(guān)，由ε決定。

（2）極限運算法則法。其實雖然理論上來說定義法能夠解決所有求極限的問題，但是為了實際運算的時候比較簡單明了，也是為了能夠減少出錯的機會，要是能夠知道一部分極限值的話，其實通過運算法則能夠讓這個求解的過程變得比較簡單。

（3）夾逼準則求法。將所求極限的數(shù)列做適當?shù)姆糯蠛涂s小，如果放大和縮小后得到的變量的極限相等，那么原極限存在，并且等于此公共值。

（4）單調(diào)有界定理求法[2]。在我們想研究復雜一點的數(shù)列極限問題的時候，應該先考慮數(shù)列是否存在極限。如果存在的話，我們才能繼續(xù)考慮如何求解數(shù)列的極限。那么如何能夠確定數(shù)列極限的存在性呢？對于某一個具體的數(shù)列的極限，我們不可能把所有的實數(shù)驗證一遍來看數(shù)列是不是存在極限。這個時候就可以通過單調(diào)有界定理進行提前判斷。如果一個數(shù)列是單調(diào)的，并且是有界的，那么一定存在極限。

（5）函數(shù)極限法。我們已經(jīng)知道，任何的一個數(shù)列都能夠被看作是一個函數(shù)，所以數(shù)列的極限和函數(shù)的極限之間必定有某種特殊的關(guān)系。我們根據(jù)兩者的定理就能夠看出，數(shù)列極限也可以看做是函數(shù)在自變量趨于正無窮的時候的一種特殊情況。

四、數(shù)列極限的應用——求方程的數(shù)值解

是一個非常典型的無理數(shù)，那么我們想要做的是通過有理數(shù)實現(xiàn)對于的逼近過程，而且如果精確度有所要求的話，我們應該要怎么做才能夠滿足要求？可以看到我們能過把這個無理數(shù)當成是的正根。從而我們能夠把通過有理數(shù)實現(xiàn)對于的逼近變成是求解方程。

我們對于上面的問題進行一般化闡述，也就是說任意a>0，想要通過有理數(shù)實現(xiàn)對于的逼近。現(xiàn)在我們知道x0>0是近似等于的，那么給出，這里面，不可能都大于或者都小于。也就是說應該位于這兩個數(shù)中間。所以說我們可以推斷和的差別更小，這樣的話能夠?qū)崿F(xiàn)對于的更為精確的逼近。其實：

其實x0不管取什么值，x1都為過剩近似值。這樣的話我們可以讓x0為過剩近似值，所以就有。這樣的話有。重復就有，其中。因為。所以。這樣的話我們就能夠?qū)崿F(xiàn)對于的逼近。

回到最初的問題，還是看如何實現(xiàn)對于的逼近。第一步我們讓，然后進行迭代，能夠得到

這樣我們就能夠得到比較接近的方程的數(shù)值解。

五、結(jié)語

數(shù)列極限是數(shù)學分析中最為基礎(chǔ)的概念之一，需要我們在學習的時候投注更多的精力。并且我們在具體學習中需注意到在一些求極限的題目中并不是對一種求解方法的應用，而有可能需要應用多種方法。我們要具體問題具體分析，活學活用。

參考文獻：

[1]楊雄.數(shù)列極限的求解方法探討[J].佛山科學技術(shù)學院學報（自然科學版），2018（1）：44-47.

[2]吳楠.單調(diào)有界定理和壓縮映射定理在求解遞推數(shù)列極限中的應用[J].考試周刊，2018（8）：66-67.

作者簡介：林潘能（1990—），男，漢族，廣東茂名人，本科，主要研究方向：數(shù)學與應用數(shù)學。