加強(qiáng)數(shù)學(xué)思想滲透 促進(jìn)綜合能力提升

吳睿玲

(合肥市第十七中學(xué) 安徽合肥 230022)

引言

在利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性時(shí)，往往存在一種類(lèi)型的問(wèn)題：含參數(shù)不等式的分類(lèi)討論問(wèn)題。導(dǎo)函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中的一個(gè)難點(diǎn)，而分類(lèi)討論又是難點(diǎn)中的難點(diǎn)，往往位于壓軸題中。學(xué)生在分類(lèi)討論這塊尤為薄弱，不清楚該怎樣去分類(lèi)，甚至無(wú)從下手。于是，老師的講解顯得尤為重要!題型分析的條理性可直接影響學(xué)生的解題思路。

我們?cè)谘芯窟@一問(wèn)題時(shí)，抓住其本質(zhì)離成功就更進(jìn)了一步。本質(zhì)上就是含參數(shù)方程及不等式的解的分類(lèi)討論。大部分情況下，求導(dǎo)之后，經(jīng)過(guò)整理、化簡(jiǎn)，所得的方程(不等式)基本上可歸納為：含參一次、二次型不等式及含指、對(duì)數(shù)的不等式。這樣分析下來(lái)，我們知道對(duì)函數(shù)的單調(diào)性的討論其本質(zhì)即是對(duì)含參不等式f′(x)>0(f′(x)<0)解的討論。找到了解決這類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵，后面的教學(xué)也就順理成章了。結(jié)合這些年的教學(xué)實(shí)踐，要做好這塊的教學(xué)工作，有如下幾點(diǎn)需要注意。

一、層層滲透，在基礎(chǔ)教學(xué)中注重細(xì)節(jié)教學(xué)

含參不等式、方程的求解，自我們高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的開(kāi)始，便有所涉及。甚至初中我們便學(xué)習(xí)過(guò)含參的一次方程的求解問(wèn)題。高一上學(xué)期，我們基本上都在學(xué)習(xí)函數(shù)，里面就有很多含參的一次、二次方程的求解問(wèn)題，課本復(fù)習(xí)題中也有所涉及。如必修一課本中第44頁(yè)的復(fù)習(xí)題第四題及第九題，均是含參問(wèn)題。其中第四題是含參的一次方程問(wèn)題，而第九題則與二次函數(shù)有關(guān)。教學(xué)中，我們可以立足這些問(wèn)題，讓學(xué)生回憶總結(jié)，我們?cè)偌右砸龑?dǎo)、拓展。將這些問(wèn)題拓展成一個(gè)專(zhuān)題，對(duì)學(xué)生而言，足以留下一個(gè)較深的印象。

教師在教學(xué)時(shí)應(yīng)該有意識(shí)地加重這塊的教學(xué)力度，讓學(xué)生足夠的重視，從而打下第一重基礎(chǔ)。在指、對(duì)數(shù)的教學(xué)中，也可穿插一些含參的不等式與方程，于教學(xué)中層層滲透分類(lèi)討論的思想。從高一時(shí)期開(kāi)始便讓學(xué)生接觸并去嘗試分類(lèi)討論，利用所學(xué)去解決問(wèn)題，提高學(xué)生解決這類(lèi)問(wèn)題的信心與能力。這樣，當(dāng)我們?cè)谥v解與導(dǎo)函數(shù)相關(guān)的題型時(shí)，不會(huì)感到過(guò)分的陌生，也有了解決這類(lèi)含參問(wèn)題的信心，給我們的教學(xué)減輕了不少負(fù)擔(dān)。

二、問(wèn)題提出須層層遞進(jìn)，增強(qiáng)學(xué)生分析問(wèn)題的能力

課堂教學(xué)中，教師的提問(wèn)很有講究。層層遞進(jìn)式的提問(wèn)，能激發(fā)學(xué)生思考問(wèn)題、探究問(wèn)題、解決問(wèn)題的積極性。教師主導(dǎo)好課堂，有效地去發(fā)問(wèn)，讓學(xué)生隨著問(wèn)題的提出去思考，逐步去解決問(wèn)題。

例1 已知函數(shù)f(x)=x3-ax-1，試討論f(x)的單調(diào)性。

解：先求導(dǎo)f′(x)=3x2-a，

令f′(x)=0得3x2-a=0，

這個(gè)方程的根的情況如何？有的學(xué)生可能會(huì)本能性地直接移項(xiàng)得3x2=a，

這個(gè)方程有沒(méi)有解?大家很容易會(huì)想到要將a跟0作大小比較。這樣解無(wú)可厚非，卻忽略了問(wèn)題本質(zhì)，錯(cuò)失歸納此種問(wèn)題的良好時(shí)機(jī)。學(xué)生都有先入為主的思想，教師的講解最好從通用的方法開(kāi)始，將這類(lèi)問(wèn)題歸為一類(lèi)，這樣學(xué)生下次碰到相似類(lèi)型時(shí)就會(huì)知道往一個(gè)方向去想。所以此處我們可先讓學(xué)生從方程的角度來(lái)思考：這是什么方程？一元二次方程的解又可以用什么來(lái)判斷呢？學(xué)生便可很自然地歸納、總結(jié)這類(lèi)問(wèn)題。具體可設(shè)計(jì)如下：

問(wèn)：這個(gè)方程是關(guān)于x的什么方程？

生：一元二次方程。

問(wèn)：更準(zhǔn)確地來(lái)說(shuō)，是個(gè)什么樣的一元二次方程？

生：含參的一元二次方程。

問(wèn)：回憶二次不等式的求解過(guò)程，我們先得看相應(yīng)的二次方程是否有根，那么，如何判斷二次方程的根的情況呢？

生：根的判別式。

于是學(xué)生很容易想到含參二次方程的求解方法，從而進(jìn)行分類(lèi)討論。

具體過(guò)程如下：Δ=12a,

(1)Δ≤0即a≤0時(shí)，f′(x)≥0恒成立，故f(x)在R上單調(diào)遞增，無(wú)單調(diào)遞減區(qū)間;

(2)Δ0即a0時(shí)，f(x)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減。

在這題中，我們進(jìn)一步提問(wèn)：結(jié)合必修五含參一元二次不等式的恒成立問(wèn)題，你能說(shuō)說(shuō)這個(gè)函數(shù)在定義域中是否可以具有單調(diào)性？問(wèn)題一經(jīng)提出，學(xué)生們會(huì)不由自主地去回憶關(guān)于這塊知識(shí)點(diǎn)的知識(shí)儲(chǔ)備，促進(jìn)了知識(shí)點(diǎn)的縱向遷移與內(nèi)省，從而達(dá)到升華。這道題在導(dǎo)函數(shù)的分類(lèi)討論中只能算作一道簡(jiǎn)單題，在講解中很容易因?yàn)樗暮?jiǎn)單而一帶而過(guò)。但是我們完全可以引導(dǎo)，甚至進(jìn)一步加以變形，讓難度一步步加深，做到由點(diǎn)及面，將問(wèn)題完整化。

三、注重函數(shù)的概念課教學(xué)

概念課是數(shù)學(xué)課教學(xué)中的一個(gè)難點(diǎn)，函數(shù)的概念課教學(xué)又是相當(dāng)難的一個(gè)難點(diǎn)，也是學(xué)生剛踏入高中大門(mén)便遇到的數(shù)學(xué)問(wèn)題中的第一個(gè)難點(diǎn)，尤其對(duì)于初中函數(shù)沒(méi)學(xué)好的學(xué)生而言，更是災(zāi)難。往往概念模糊不清，三要素理解不到位，如何求解函數(shù)的定義域與值域一知半解，等等這些終將是后期學(xué)習(xí)的一個(gè)巨大隱患。尤其在導(dǎo)函數(shù)的學(xué)習(xí)中，可能會(huì)隨時(shí)犯錯(cuò)，出現(xiàn)問(wèn)題。如作與對(duì)數(shù)函數(shù)相關(guān)的圖像時(shí)不注意定義域而使圖像與y軸相交，不熟悉指數(shù)函數(shù)的值域，而致使圖像上下無(wú)限制的延伸等等。而在到函數(shù)的分類(lèi)討論問(wèn)題中，函數(shù)的定義域也是常常被學(xué)生所忽略。

例2 已知f(x)=lnx+ax2+(2a+1)x，討論f(x)的單調(diào)性。

化簡(jiǎn)導(dǎo)函數(shù)后，發(fā)現(xiàn)分子可直接因式分解。

對(duì)于這兩個(gè)根，我們都得考慮一個(gè)問(wèn)題：是否在定義域范圍內(nèi)？倘若忽略，直接影響到后面單調(diào)性結(jié)論的總結(jié)。那么這道題的得分也就失之可惜了。

四、加強(qiáng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合思想的培養(yǎng)

數(shù)學(xué)是具有很強(qiáng)邏輯性的一門(mén)學(xué)科，各知識(shí)點(diǎn)間的聯(lián)系非常緊密。函數(shù)作為高中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，與其他的知識(shí)點(diǎn)更具有著密不可分的聯(lián)系，學(xué)好函數(shù)有利于其他知識(shí)點(diǎn)的融合與拔高。而想要學(xué)好函數(shù)，數(shù)形結(jié)合的思想是少不了的。須在平時(shí)的教學(xué)中加以滲透。如與指、對(duì)數(shù)有關(guān)的無(wú)論是方程還是不等式,求導(dǎo)化簡(jiǎn)后,都得結(jié)合這兩種函數(shù)的性質(zhì)來(lái)解。如對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域,指數(shù)函數(shù)的值域都是不能忽視的。在此基礎(chǔ)上,結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性來(lái)解不等式。等等這些都少不了圖像。

例3f(x)=ex(ex-a)-a2x，

討論f(x)的單調(diào)性。

解：求導(dǎo)并整理f′(x)=2e2x-aex-a2=(2ex+a)(ex-a)，

令f′(x)=0，即2ex+a=0或ex-a=0。

師:上面兩個(gè)方程應(yīng)該怎么解?指數(shù)函數(shù)的函數(shù)值有什么特點(diǎn)?

生:函數(shù)值均為正數(shù)

這道題中的方程就不太好解，得結(jié)合指數(shù)函數(shù)y=ex的圖像及性質(zhì)，來(lái)解決這類(lèi)的含參問(wèn)題。此時(shí)，圖像就顯得尤為重要！這樣看下來(lái)，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)，平時(shí)的拓展與滲透非常的重要。平時(shí)的教學(xué)中，在解題的同時(shí)注重函數(shù)圖像的畫(huà)法教學(xué)，強(qiáng)調(diào)數(shù)形結(jié)合，在導(dǎo)函數(shù)的教學(xué)中，畫(huà)圖，從圖中研究性質(zhì)就不顯得那么難以理解了。

五、立足課本，注重課本例題、習(xí)題的講解

我們的高考具有一個(gè)共同點(diǎn)：與課本聯(lián)系很緊密，很多試題來(lái)自于課本例題與習(xí)題的改編。幾乎每年都會(huì)出現(xiàn)與課本例題或習(xí)題特別接近的題型。如2012、2016年的填空題的最后一道均來(lái)自于課本的例題的改編，還有2015年的統(tǒng)計(jì)題同樣是書(shū)本例題的改編，等等。既立足于課本又高于課本。在與導(dǎo)函數(shù)有關(guān)的題型中，有時(shí)甚至是直接用到了課本例題及習(xí)題中的結(jié)論。

(1)當(dāng)a=2時(shí)，求曲線(xiàn)y=f(x)在點(diǎn)(3，f(x))處的切線(xiàn)方程

(2)設(shè)函數(shù)g(x)=f(x)+(x-a)cosx

討論g(x)的單調(diào)性并判斷有無(wú)極值，若有，求出極值

求導(dǎo)g′(x)=x2-ax-(x-a)sinx=(x-a)(x-sinx)(x>0)

令g′(x)=0，得x1=a,x2=0,

(這里有個(gè)重要結(jié)論的應(yīng)用：當(dāng)x>0時(shí)，x>sinx；當(dāng)x<0時(shí)，x

這個(gè)重要結(jié)論其實(shí)就是來(lái)源于課本選修教材第99頁(yè)B組習(xí)題的證明題(1)。此外，同樣是這組證明的其他小題，依舊備受命題老師的青睞，往往被拿來(lái)變形，或是直接利用，成就一道高質(zhì)量的高考題。所以說(shuō)，立足于課本真的有它的必要性，注重課本中例題與習(xí)題的講解，為學(xué)生積累些知識(shí)儲(chǔ)備，做到厚積薄發(fā)。教師在平時(shí)的授課中，也可作適當(dāng)?shù)母木帲岣邔W(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

通過(guò)上面的分析、歸納與解題實(shí)踐可以看出，含參的函數(shù)的單調(diào)性的討論其實(shí)并沒(méi)有那么復(fù)雜。教師平時(shí)做到層層滲透，注重學(xué)生各方面能力的培養(yǎng)，打好學(xué)生的基礎(chǔ)。在上課時(shí),合理地設(shè)置好問(wèn)題,循循善誘引導(dǎo)學(xué)生去思考是非常重要的!只要?dú)w好類(lèi)，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為含參的方程或不等式問(wèn)題，再借助一些相關(guān)基本初等函數(shù)的性質(zhì)，是不難解決的。知道了解決這類(lèi)問(wèn)題的常規(guī)方法，實(shí)現(xiàn)對(duì)這部分內(nèi)容的突破也并非難事。