數學解題中常見的心理性失誤案例剖析

安徽省樅陽縣錢橋中學 (246732) 吳靈梅安徽省樅陽縣浮山中學 (246736) 唐錄義

很多學生進行試卷分析時，都會將失分歸因為兩類：第一類是由于知識和能力不足而導致的，第二類是具備了解決這個問題的可能性卻沒有得到正確的答案.對于“第一類失誤”學生往往會比較認真地對待，尋找自己需要提高的地方；而對于“第二類失誤”很多學生卻不以為然，往往給這類失誤簡單地下個結論，如粗心大意或是歸結到狀態不好，導致不知怎地就錯了.所以他們對第二類失誤并不太在意，以至于在屢次考試中不能改善，即使考試時非常小心也總會出錯，然后因認為自己犯了不該犯的錯誤而垂首頓足，這使學生變得沮喪，嚴重影響到他們學習數學的態度和信念.長此以往，將會使學生學習數學的積極性受到嚴重挫傷.其實這種現象的背后往往隱藏著深層次的心理原因，如思維抑制，粗心大意，思維慣性，思維定勢，審題習慣不好等都可能是造成這種失誤的原因，我們把這類失誤稱之為心理性失誤．

1.思維抑制，導致低級錯誤

在考試中由于臨場過分焦慮緊張甚至出現慌張，心理壓力過大以至于出現暫時性思維障礙，稱為思維抑制．這種情況下，面對題目，往往大腦一片空白，不知所措，平時常用的知識和方法記不清了，想不起來了，題目也容易看錯，簡單的運算也會發生錯誤，這種情況常常出現在考試開始階段．另外，在考試中途因某題較難而求解遇挫，也會引起情緒緊張，心里慌亂，從而干擾思維的正常運行，導致會而不對，對而不全．造成思維抑制的根本原因是情緒過于緊張，思想壓力過大，心理負擔過重，或者是對考試中的困難和應對策略缺乏必要的心理準備．

考點涉及：函數的圖像，數形結合的數學思想.

錯解呈現：當x>0時，f(x)=f(x-1)，所以當x>0時，f(x)是周期函數，周期為1.當x≤0時，則f(x)=x-[x]，這時函數也為周期函數.作出圖像如圖1：

圖1

錯點查找：(請仔細閱讀上面的“錯誤呈現”，并將其中錯誤之處勾畫出來)以上解答將合理地分析試題結構，正確地畫出函數圖像.但是沒有注意到題意，題中要求f(x)與y=ax有三個不同的交點，而不說f(x)與y=ax至少有三個不同的交點，即只能有三個交點而不能有四個交點.

出錯歸因：思維抑制，導致低級錯誤，本題中的錯解源自于對題意的誤解.

反思總結：思維抑制，導致低級錯誤.問題比較復雜，做題對圖像的刻畫較為慎重，問題的分析也比較周到.但最后犯了較為低級的錯誤，試題中的要求是“三個不同的交點”而不是“至少三個交點”，從而導致錯解.

2.思維慣性，思維定勢，思維僵化

我們在長期的工作、學習和生活中，對經常發生的事情，在思考過程中，往往會產生思維慣性，形成固定的思維模式，即思維定勢.思維定勢對常規思維是有利的，它可使思考者在處理同類問題的時候少走彎路.然而，思維定勢也有它的弊端，特別是當我們處理一些新情況的時候，思維定勢就會變成“思維枷鎖”，阻礙我們用新觀念、新方法、新思路去創造性地解決問題，使人失去創新和發展的源泉和動力.

考點涉及:數學歸納法.

錯解呈現:(1)當n=1時，不等式成立.

就是說當n=k+1時不等式成立.由(1)(2)知原不等式成立.

出錯歸因:思維慣性，思維定勢，思維僵化導致出錯.

這就是說，當n=k+1時，不等式成立.

由(1)(2)知原不等式成立.

3.審題浮淺，理解膚淺

粗心大意源于不良的學習習慣，包括閱讀習慣，審題習慣．閱讀不專注，思考不深入，淺嘗輒止，未窺及深潛，忽略隱含條件，粗心大意，看錯或看漏條件，或者只考慮問題的某個方面，忽略了問題的其他方面，顧此失彼．

案例3 已知f(x)是定義在R上的奇函數，當x>0時，f(x)=x2-4x+5，求f(x)在R上的解析式.

考點涉及：函數的奇偶性及其性質應用.

錯點查找：(請仔細閱讀上面的“錯誤呈現”，并將其中錯誤之處勾畫出來)上述解法中，只注意到函數的奇偶性，而忽略了函數的定義域，f(x)是定義在R上的奇函數，所以必須要考慮到x=0時的情況.

出錯歸因：理解不透，忽略隱含條件.本題中函數f(x)在x=0時有定義，但函數在x=0時又是間斷的，解題容易疏忽.

正解參考：由題意f(x)是定義在R上的奇函數，當x<0時，f(x)=-f(-x)，這時-x>0，所以

反思總結:函數奇偶性的性質①奇、偶性是函數的整體性質，對整個定義域而言；

②如果一個奇函數f(x)在x=0處有意義，則f(0)=0，對偶函數而言，對定義域中的任意x，有f(x)=f(|x|)；③奇、偶函數的定義域一定關于原點對稱，如果一個函數一定不具有奇偶性，稱之為非奇非偶函數；④如果函數既是奇函數又是偶函數，則叫做既奇又偶函數.例如f(x)=0；⑤任意常函數(定義域關于原點對稱)均為偶函數，只有f(x)=0是既奇又偶函數；⑥奇函數在其定義域上的對稱區間上具有相同的單調性，偶函數在其定義域上的對稱區間上具有相反的單調性.

4.觀察不仔細，認識不全面

觀察,是研究數學問題的起點,其重要性不言而喻.觀察數學問題的關鍵是細致入微，洞若觀火，不放過任何細節和線索，這樣才能深入全面地獲取解題信息.否則，觀察不仔細，粗心大意，丟三落四，認識不全面，就會導致錯誤.

案例4 以下四圖，都是同一坐標系中三次函數及其導函數的圖像，其中正確的序號是( ).

(A)①② (B)③④ (C)②③ (D)①④

考點涉及:導數與原函數的單調性的關系，函數圖像.

錯解呈現:在圖④中，原函數在導數的零點處改變它的單調性，故④正確；在圖③中剛開始時，原函數與其導函數單調性步調一致且單調性恰好相反，故③正確；本題正確的答案為B.

錯點查找:(請仔細閱讀上面的“錯誤呈現”，并將其中錯誤之處勾畫出來)錯解沒有理解清楚原函數在區間上的單調性與對應的導數的關系，即函數在區間上單調遞增時，導數大于零；函數在區間上單調遞減時，導數小于零.

出錯歸因:心理性失誤，觀察不仔細，認識不全面，導致推理失誤.本題中的錯解源自對原函數與其導數的關系理解混亂.

正解參考:由圖像可知，在圖①，②，在每個區間上函數的單調性與導數的符號是對應的，即函數增區間的導數大于零，單調減區間的導數小于零；在圖③中圖像顯示在區間(0,b)上導函數的值總為負值，而相應區間上的函數圖像顯示不單調，二者不一致，所以③不正確；圖④中圖像顯示在區間(a,b)上導函數的值總為正值，而相應區間上的函數圖像卻顯示為減函數，而該區間上的函數圖像顯示不單調，二者不一致，所以不正確；二者不一致，所以④不正確.故選A.

反思總結:判斷一個函數在某個區間是否為增函數時要看導函數在該區間是否大于0，而不是看導數的單調性與原函數的單調性是否一致(單調性相同或者相反).其次我們要掌握三次函數圖像的特點，三次函數的導數如果有兩個不同的零點，則其圖像呈“N”或者倒立的“N”；三次函數的導數如果有兩個相同的零點或者沒有零點，則其圖像是我們熟悉的立方拋物線.

5.缺乏韌勁，知難而退

水流千里意志堅，人無韌勁半路亡.跌倒了并不意味著失敗，關鍵在于是否能忍著疼痛，漂亮地重新站起來，只要有夢想那么你永遠都不會輸！人有很多時候不是敗給了別人，而是輸給了自己.韌者，柔而固也.固而不柔則脆，柔而不固則弱，柔而固則韌.歌德說，世上只有兩條路能通往成功的目標并成就偉大的事業，那就是力量和堅韌.堅韌從來不負眾望，因為它沉默的力量將隨著時間的推移一天天壯大，直到所向披靡，無以抗拒.古人云：“鍥而舍之，朽木不折；鍥而不舍，金石可鏤”．毅力也是成功之本，是一種韌勁.數學解題如果缺乏韌勁，遇到思維難度稍大一點的問題就不深入思考，遇到運算量繁冗一點的題目就望而卻步，知難而退，輕言放棄，就會錯失成功的機會.

考點涉及:利用導數求函數單調性，分類討論的數學思想.

因為函數f(x)=2lnx+x2-5x在區間上為單調函數，所以

出錯歸因：看到復雜的結構式，遇到運算量繁冗一點的題目就望而卻步，知難而退，輕言放棄，就會錯失成功的機會，屬心理性失誤.

反思總結：同學們在解導數問題，特別是含有lnx類的函數單調性問題，不單要結合函數的定義域來解題，而且要關注函數在開區間端點處的取值，培養讀題，審題，解題，反思的解題習慣，培養嚴謹的解題行為，考慮問題要全面，做到不重不漏.