兩類導數證明題型方法探究

2018-08-30 06:39:44江蘇省常熟外國語學校215500劍江蘇省常熟市中學215500吳旭紅

中學數學研究(江西) 2018年8期

江蘇省常熟外國語學校 (215500) 丁劍江蘇省常熟市中學 (215500) 吳旭紅

在導函數復習和測試的過程中，有兩類導數證明題學生在處理上有一定的困難，本文針對這兩種題型，進行剖析，歸納出解題的一般方法，供同行和學生參考學習．

題型一用已知函數單調性證明

(1)求函數f(x)的單調區間；

例2 2017-2018學年第一學期高三期中調研23(2017.11)

(1)若不等式(x+1)ln(x+1)≥ax對任意x∈[0,+∞)恒成立，求實數a的取值范圍；

解析：(1)易求得a≤1.

例3 已知函數f(x)=ex,g(x)=lnx+1(x≥1).

(1)求函數h(x)=f(x-1)-g(x)(x≥1)的最小值；

(2)已知1≤ylnx-lny;

(2)由(1)可知，當x≥1時，h(x)=ex-1-lnx-1≥0,∵1≤y

∵1≤ylnx-lny.

剖析：此類證明基本使用前一問的條件，賦值，滿足范圍即有單調性，則可以用上一問結論．例1若沒有第二問鋪墊，直接證第三問，可能加深難度．例2測試時利用第一問結論進行論證的不多，少部分同學按法1用裂項完成，極少數移項構造數列根據單調性證明．例3兩次利用前面的結論，結合了不等式的遞推性質證得．

題型二與兩個零點相關不等式型的證明

(一)和型

例4 (不含字母指數型)過點P(-1,0)作曲線f(x)=ex的切線l.

(1)求切線l的方程；(x-y+1=0)

設f(x)=(x+1)ex，則f(x1)=f(x2)．f′(x)=(x+2)ex，當x<-2時，f′(x)<0，當x>-2時，f′(x)>0；

∴f(x)在(-∞,-2]上單調遞減，在[-2,+∞)單調遞增．

∵x1≠x2，不妨設x1<-2,x2>-2.

設g(x)=f(x)-f(-4-x)，則g′(x)=f′(x)+f′(-4-x)=(x+2)ex(1-e-2(2+x)),當x>-2時，g′(x)>0，g(x)在(-2,+∞)單調遞增，∴g(x)>g(-2)=0，即當x>-2時，f(x)>f(-4-x).∵x2>-2,∴f(x2)>f(-4-x2),則f(x1)>f(-4-x2).∵x1<-2,x2>-2,∴-4-x2<-2,且f(x)在(-∞,-2)單調遞減，∴x1<-4-x2，即x1+x2<-4．

例5 (含字母指數型)已知函數f(x)=(x-k-1)ex(e為自然對數的底數，e≈2.71828,k∈R)．

(1)當x>0時，求f(x)的單調區間和極值；

(2)①若對于任意x∈[1,2]，都有f(x)<4x成立，求k的取值范圍；

②若x1≠x2，且f(x1)=f(x2)，證明：x1+x2<2k.

解：(1)(2)①略．

②由已知f(x1)=f(x2)(x1≠x2)，結合(1)可知k>0,f(x)在(-∞,k)上單調遞減，在(k,+∞)上單調遞增，又f(k+1)=0，∴xk,2k-x1>k.故要證x1+x2<2k，只要證2k-x1>x2，只要證f(2k-x1)>f(x2)．