基于二次曲線交點問題的命題與解題
——一道2016年浙江卷高考題的變式研究

廈門大學(xué)附屬實驗中學(xué) (363123) 吳賽瑛

解析幾何，又叫做坐標(biāo)幾何，早先也被稱作笛卡爾幾何，是使用代數(shù)方法進(jìn)行研究的幾何學(xué).解析幾何的本質(zhì)是用代數(shù)的方法研究圖形的幾何性質(zhì).本文自一道2016年浙江卷的高考題的解答出發(fā)，從函數(shù)的視角對試題進(jìn)行分析解答，并通過對試題進(jìn)行變式，來談二次曲線交點問題的命題與解題.

1.試題及解答展示

(Ⅰ)求直線y=kx+1被橢圓截得的線段長(用a、k表示)；

(Ⅱ)若任意以點A(0,1)為圓心的圓與橢圓至多有3個公共點，求橢圓離心率的取值范圍.

(Ⅱ)假設(shè)圓與橢圓的公共點有4個，由對稱性可設(shè)y軸左側(cè)的橢圓上有兩個不同的點Ρ，Q，滿足|AP|=|ΑQ|．記直線AP，ΑQ的斜率分別為k1，k2，且k1，k2>0，k1≠k2．

2.試題分析與另解

參考解答利用橢圓的對稱性及圓的半徑長為定值，巧妙的將四個交點的問題轉(zhuǎn)化為線段長相等，繼而利用弦長公式進(jìn)行列恒等關(guān)系，討論方程解的存在性進(jìn)行解題.本題有個特殊的條件——圓心在橢圓上，方便了條件的轉(zhuǎn)化.解曲線的交點問題的通常方法是聯(lián)立方程組，利用方程解存在性及個數(shù)來進(jìn)行分析交點的存在性及個數(shù).利用聯(lián)立方程組解二次曲線間的交點問題，不需要用到圓心在二次曲線上的特殊條件，但應(yīng)該注意二次曲線變量的有界性，防止增根的出現(xiàn).下面函數(shù)與方程的視角給出本題第(II)問的解答.

另解:設(shè)圓的方程為x2+(y-1)2=r2(r>0)，假設(shè)存在圓與橢圓的公共點有4個.

設(shè)f(y)=(1-a2)y2-2y+1+a2-r2，②

要使得圓與橢圓的公共點有4個，則存在r使得方程①在區(qū)間(-1,1)有兩解，也就是存在r使函數(shù)②在區(qū)間(-1,1)有兩個零點，因為1-a2<0，即存在r滿足條件

3.試題變式及解答

解: 設(shè)圓的方程為(x-2)2+y2=r2(r>0)，假設(shè)存在圓與雙曲線右支的公共點有4個.

(1+b2)x2-4x+4-b2-r2=0，①

設(shè)f(x)=(1+b2)x2-4x+4-b2-r2，②

要使得圓與雙曲線的公共點有4個，則存在r使得方程①在區(qū)間(1,+∞)有兩解，也就是存在r函數(shù)②在區(qū)間(1,+∞)有兩個零點，

由此知，當(dāng)b2<1時，存在r使得③式成立，即存在圓與雙曲線右支有4個公共點，因此，任意以點A(2,0)為圓心的圓與雙曲線右支至多有3個公共點的充要條件為b>1.

變式2 設(shè)拋物線y2=2px(p>0),若任意以點A(1,0)為圓心的圓與拋物線至多有3個公共點，求p的取值范圍.

解:設(shè)圓的方程為(x-1)2+y2=r2(r>0)，假設(shè)存在圓與拋物線的公共點有4個.

設(shè)f(x)=x2+(2p-2)x+1-r2，②

1-(1-p)2

當(dāng)p<1時，有1-(1-p)2<1.

由此知，當(dāng)p<1時，存在r使得③式成立，即存在圓與拋物線右支有4個公共點.

因此，任意以點A(1,0)為圓心的圓與雙曲線右支至多有3個公共點的充要條件為p>1.