若干2018年國內外數學奧林匹克不等式題的精彩證明

南昌大學附屬中學 (330047) 陳一君

例1 (2018年哈薩克斯坦數學奧林匹克)已知a,b,c,d∈(0,1)，求證：(ab-cd)(ac+bd)(ad-bc)+min{a,b,c,d}<1.

證明：不妨設x=min{a,b,c,d}，則(ab-cd)(ac+bd)(ad-bc)+min{a,b,c,d}=(bd(a2+c2)-ac(b2+d2))(ac+bd)+x≤bd(a-c)2(ac+bd)+x≤(a-c)2(ac+bd)+x≤(1-x)2(ac+bd)+x≤(1-x)2(1+x)+x=1-(1-x)x2<1.

注1：減元是解答此題的核心.

注3：例2、例3中都是嚴格不等式.同樣可證：

例4 (2018年羅馬尼亞數學奧林匹克)已知1

(xy-1)(xy-10)2≥0，綜上，原不等式成立.

注4：去對數、減元等等，都是我們解題教學中的口頭禪.

例7 (2018年上海高中數學競賽)設a,b,c,d是實數，求a2+b2+c2+d2+ab+ac+ad+bc+bd+cd+a+b+c+d的最小值.

解：由柯西不等式，可得[(a+b+c+d)2+(a+1)2+(b+1)2+(c+1)2+(d+1)2](1+1+1+1+1)≥(a+b+c+d-a-b-c-d-4)2=16，a2+b2+c2+d2+ab+ac+ad+bc+bd+cd+a+b+c+d=

注7：考慮問題的一般情形，筆者得到(證明從略)：