競賽中的二次函數(shù)問題

安徽省碭山中學 (235300) 李秀麗

二次函數(shù)是一類常見函數(shù)模型，并且二次函數(shù)與二次不等式、二次方程相互聯(lián)系、相互滲透組成了一個特殊的“知識板塊”，這個“知識板塊”內容豐富，技巧性強，能較好地考察學生的能力，在近年數(shù)學競賽中屢見不鮮，現(xiàn)把二次函數(shù)有關問題總結如下，僅供參考.

1.求二次函數(shù)解析式

評注:在求二次函數(shù)解析式時，要充分挖掘其圖像的幾何性質，然后靈活選用二次函數(shù)解析式，可優(yōu)化解題過程.

2.二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值

3.二次函數(shù)與二次不等式

例3 已知當x∈[0,1]時，不等式x2cosθ-x(1-x)+(1-x)2sinθ>0恒成立，試求θ的取值范圍.

評注:二次不等式恒成立問題是難點問題之一，在求解此類問題時若巧妙借助二次函數(shù)圖像與性質，可簡化解題過程.

4.二次函數(shù)與二次方程根的分布

令f(t)=2t2-4at-a+1,

評注:解一元二次方程實根分布問題借助二次函數(shù)圖像與性質，建立相應的不等式(組)求解，可使問題直觀、簡捷.

5.構造二次函數(shù)模型

評注:二次函數(shù)是一類常見的函數(shù)模型，巧妙地構造二次函數(shù)，常會使一些數(shù)學難題迎刃而解，達到出奇制勝，事半功倍的效果.