對“證明函數不等式”問題的思考

四川省南充高級中學順慶校區 (637000) 張小丹

在高中數學導數板塊中，有一類常見問題：比較兩個代數式的大小，如證明：f(x)≥g(x),x∈D.通常我們需要構造新函數h(x)=f(x)-g(x)，借助導數這一工具，通過研究函數h(x)在D上的最小值，去解決問題.然而，并非所有問題都能如此解決，如當函數h(x)的最值不易研究，或者最值不存在時，我們需另辟蹊徑.

一、兩個問題

(1)當a=1時，求函數f(x)的單調區間和極值；

思路1：構造函數，研究最值

分析過程意圖設h(x)=f(x)-g(x)-12,x∈(0,e],則只需證明h(x)min>0構造函數,轉化問題∵h'(x)=x2-x-1+lnxx2=p(x)x2,其中p(x)=x2-x-1+lnx,x∈(0,e].直接不好判斷h'(x)的正負,引入p(x)則p'(x)=2x2-x+1x>0在x∈(0,e]恒成立,∴p(x)在x∈(0,e]上單調遞增,∵p(1)<0,p(e)>0,∴存在唯一A∈(1,e),使得p(A)=0.研究p(x)的正負,零點存在,但不可求,將其虛設出來,用A表示.且當00,所以h(x)在(0,A)上單調遞減,在(A,e]上單調遞增.p(x)的正、負范圍,對應著h(x)的增、減區間于是h(x)min=h(A)=A-lnA-lnAA-12.求出h(x)min由p(A)=0得A2-A-1+lnA=0?lnA=A+1-A2,所以h(A)=A2+A-1A-52.化簡h(A)q(x)=x2+x-1x-52,10,所以q(x)在(1,e)上遞增,…為判斷h(A)的正負,構造q(x)

我們會發現，要想判斷出h(A)的正負，關鍵在于進一步精確A的范圍，但是在沒有計算器的前提下，這并非容易之舉，尤其是在時間有限的考試過程中.當我們發現此法并非優解時，要立即更變思路.

思路2：最值比較法

考慮求左、右兩側函數的最值，看能否求出

根據同學們反饋的情況，這道題全班只有幾個同學勉強做對了，其他同學要么完全沒有做，要么就是用他想到的辦法進行了一半，發現走不下去了，就停了筆.而在這些沒有做(對)的同學中，還有好多都是班上數學成績比較優異的.

此法受阻，我們不妨考慮其他方案.

方案1最值存在與否可行與否求ex2-xlnx的最大值和xex+1e的最小值研究發現ex2-xlnx無最大值不可行

方案2最值存在與否可行與否求ex2-1e的最大值和xex+xlnx的最小值研究發現ex2-1e無最大值不可行

方案3最值存在與否可行與否求ex2-xex的最大值和xlnx+1e的最小值研究發現xlnx+1e有最小值0,且ex2-xex≤0可行

經過方案1、2、3的探討，我們最終敲定方案3，并按此執行.

二、相互關系

對于題目1，先拋開解題成功與否，就運算量而言，思路2顯然更勝一籌.但遺憾的是，f(x)>g(x)與f(x)min>g(x)max二者間的關系并非充要.換句話說，我們可以由f(x)min>g(x)max，得到f(x)>g(x)，但無法由f(x)>g(x)得到f(x)min>

g(x)max(如圖2)，即“f(x)min>g(x)max”是“f(x)>g(x)”的充分不必要條件.

圖1 圖2

三、反思與總結

對于f(x)>g(x)(或f(x)≥g(x)的證明，我們可以考慮以下思路：

①構造h(x)=f(x)-g(x)，研究h(x)的最小值；

②若①中的h(x)的最小值不容易得出，或者不存在，則考慮③；

③嘗試求f(x)min,g(x)max，看是否有f(x)min>g(x)max(或f(x)min≥g(x)max；

④若③失敗，即f(x)或g(x)最值不存在，或不易求出，則考慮將不等式f(x)>g(x)等價變形(通分、移項，或者換元等)，轉而證明不等式p(x)>q(x)，再研究p(x)min,q(x)max.