一道美國數(shù)學(xué)奧林匹克題的另證

湖南師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院 (410081) 張 衛(wèi) 吳 樂

原題ΔABC具有下面性質(zhì)：存在一個內(nèi)部的點P使得∠PAB=10°，∠PBA=20°，∠PCA=30°，∠PAC=40°.證明：ΔABC是等腰三角形.

此題來源于第25屆USAMO，文[1]給出了此題的幾何解法.原解法是通過構(gòu)造一系列輔助線來完成的，這種解法對考生的解題技巧以及思維能力有很高的要求，一般的學(xué)生很難想到此方法.本人結(jié)合題目的特點，利用三角函數(shù)的知識，給出了此題一個很自然的解法.

下面給出此題的三角函數(shù)證明方法.

證明:記∠PBC=α，∠PCB=β，PA=a′，PB=b′，PC=c′.

另一方面，在ΔABC中，又有

故由②和③可得sin(20°+α)sin40°sin100°=sinαsin110°sin50°.④

反復(fù)利用積化和差公式以及余角公式，可最終將④式化為sinαsin10°+cosαsin80°+sinαsin50°-cosαsin40°=sinαcos60°-cosαsin60°+sinαsin70°+cosαsin20°⑤

整理得sinα(sin10°+sin50°)+cosα(sin80°-sin40°)=sinαsin70°+cosαsin20°+sin(α-60°).⑥

再注意到上式中角與角之間的關(guān)系，可在①式中取θ1、θ2為適當(dāng)?shù)闹档玫饺缦玛P(guān)系式

代入⑥，進一步化簡成sin(α-60°)=0.

由于α∈(0,180°)，所以α=60°，β=180°-∠BPC-α=20°，繼而有∠C=50°=∠A，BA=BC，得證.

評注:上述解法充分考慮了題目的特點，利用三角函數(shù)中積化和差等知識，推出三角形中存在兩內(nèi)角相等，比原解法更容易上手.