一道征解題的探究

安徽省安慶市大別山科技學校 (246600) 胡淑芳安徽省岳西縣湯池中學 (246620) 楊續亮

《數學通訊》(上半月)刊“問題征解”欄目，每期精選5道試題進行征解，隔一期展示部分優秀解答，這些試題具有新穎、有趣、實用、靈巧，富有啟發性的特點，能夠啟迪學生思維，開發學生智力，深受廣大師生的歡迎.本文選取其中一道試題進行探究.

一、征解題的證明

不妨設b介于a,c，則(b-a)(b-c)≤0,即b2-(a+c)b+ac≤0.

而由絕對值不等式可得|a-b|+|b-c|+|c-a|≥|a-b+b-c|+|c-a|=2(a-c),

此結論要強于征解題，右端的項(a-c)2也可以換成(a-b)2或(b-c)2，同時可以得到

2005年巴爾干數學奧林匹克試題：

下面對這一結論做些推廣.

二、征解題的推廣

評注：安振平老師在《數學通訊》2006年第9期《一道巴爾千數學奧林匹克競賽試題的推廣》中給出了證明.本題還可以進一步弱化得到1984年高中數學聯賽試題：

針對指數可以作如下推廣

注：當m=2,k=1為推廣2.當m=2,k=1,n=3為2005年巴爾干數學奧林匹克試題.

而對分母增加元數進行推廣可以得到：

以上三個推廣可以形成統一的形式：

由二元權方和不等式可得

針對335號證解題有如下推廣

更有一般性的命題結論：

請有興趣的讀者給出以上不等式的證明.