等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)及前n項(xiàng)和性質(zhì)及應(yīng)用

寧夏彭陽縣第四中學(xué) (756599) 李艷玲

文[1]通過對(duì)等差數(shù)列前n項(xiàng)和的研究得出了一條結(jié)構(gòu)優(yōu)美、形式簡潔的性質(zhì)，同時(shí)用此性質(zhì)簡解了一些與性質(zhì)相關(guān)的數(shù)列習(xí)題.讀文頗受啟發(fā)，但遺憾之處，感覺到形只影單，筆者對(duì)等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)及前n項(xiàng)和進(jìn)行系統(tǒng)研究得到了與文[1]性質(zhì)相類似的幾個(gè)性質(zhì).

性質(zhì)1 已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，則有(r-t)am=(m-t)ar-(m-r)at，其中m,t,r∈N*且t≠r.

性質(zhì)3 已知數(shù)列{an}是正項(xiàng)等比數(shù)列，則有(r-t)logaam=(m-t)logaar-(m-r)logaat，其中a>0，m,t,r∈N*且a≠1，t≠r.

性質(zhì)4 已知Sn是等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，q≠1為{an}的公比，則有(qr-qt)Sm=(qm-qt)Sr-(qm-qr)St，其中m,t,r∈N*且t≠r.

例1 在等差數(shù)列{an}中，am=n，an=m，且m≠n，求am+n.

解:令m=m+n，t=m，r=n代入性質(zhì)1得(n-m)am+n=(m+n-m)m-(m+n-n)n，化簡得(n-m)am+n=0，又m≠n，所以am+n=0.

例2 設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若Sk-1=-2，Sk=0，Sk+1=3，則k=( ).

A.3B.4C.5D.6

例4 各項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若Sn=2，S3n=14，則S4n等于( ).

A.80B.30C.26D.16

例5 設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若S3+S6=2S9,求數(shù)列{an}的公比q.

解:由已知q≠1，令m=9,t=6,r=3代入性質(zhì)4得(q3-q6)S9=(q9-q6)S3-(q9-q3)S6?S9=-q3S3+(q3+1)S6?S9-S6=q3(S6-S3).(*)