三角形被切分成兩個等腰三角形的條件及應用

廣東省廣州市第二中學 (510040) 郭旭彬

等腰三角形是一類特殊的三角形，具有非常豐富的幾何性質.一般情況下，若所討論的問題涉及等腰三角形，并且題目沒指明頂角或底角、腰或底邊，則均需要進行討論.圖形的切分是構建幾何問題的一種常見方法，例如根據直角三角形斜邊中線的性質可知，任意直角三角形都可以被斜邊中線切分成兩個等腰三角形.但是通過具體的例子不難得出，并不是任何的鈍角三角形或銳角三角形都可以被某條直線切分成兩個等腰三角形的.在日常教學中，學生如果碰到把一個三角形切分成兩個等腰三角形的問題，經常難以下手，或者很難正確地進行分類討論，給問題解決造成一定困惑.本文想通過一些嘗試，主要討論一個三角形可以被切分成兩個等腰三角形所需要滿足的條件及其應用.

一、問題探索

若要把一個三角形切分成兩個三角形，則切分的直線應該過某個頂點.如圖1，已知AD把ΔABC分成兩個等腰三角形ΔABD和ΔACD.下面分兩種情況進行討論：

1.當∠ADB=∠ADC時，如圖2，因為∠ADB+∠ADC=180°，所以∠ADB=∠ADC=90°.又因為ΔABD和ΔACD為等腰三角形，所以BD=DA=DC.所以∠BAD=∠CAD=45°,即∠BAC=90°.此時ΔABC滿足的條件是：ΔABC中含有一個角等于90°.

圖1 圖2 圖3

2.當∠ADB≠∠ADC時，不妨設∠ADB>∠ADC：因為∠ADB>∠ADC且∠ADB+∠ADC=180°,所以∠ADB>90°,∠ADC<90°.又因為ΔABD和ΔACD為等腰三角形，且鈍角不可能為等腰三角形的底角，所以BD=AD.設∠B=∠BAD=α.

(1)若∠ADC為等腰三角形的頂角，則DA=DC,如圖3，設∠C=∠DAC=β，則∠BAC=α+β.

由∠BAC+∠B+∠C=180°可得α+α+β+β=180°，即∠BAC=α+β=90°.此時ΔABC滿足的條件是ΔABC中含有一個角等于90°.

(2)若∠ADC為等腰三角形的底角，并且∠ACD也是等腰三角形的底角時，如圖4，由∠ADC=∠B+∠BAD,可得∠ADC=∠ACD=2α,設∠CAD=β，則由∠BAC+∠B+∠C=180°可得α+β+α+2α=180°.

因為β>0，所以0°<4α<180°，即0°<α<45°.故ΔABC滿足的條件是ΔABC的三個角大小為α，2α，180°-3α且0°<α<45°.

圖4 圖5

(3)若∠ADC為等腰三角形的底角，并且∠CAD也是等腰三角形的底角時，如圖5，由∠ADC=∠B+∠BAD,可得∠ADC=∠CAD=2α.

設∠ACD=β，則由∠BAC+∠B+∠C=180°可得α+2α+α+β=180°.因為β>0，所以0°<4α<180°，即0°<α<45°.故ΔABC滿足的條件是ΔABC的三個角大小為α，3α，180°-4α且0°<α<45°.綜上所述，當ΔABC滿足下列條件之一時，ΔABC可以被切分為兩個等腰三角形：

(1)當ΔABC有一個內角等于90°時，切分方式如圖3；

(2)當ΔABC的三個內角大小為α，2α，180°-3α且0°<α<45°時，切分方式如圖4；

(3)當ΔABC的三個內角大小為α，3α，180°-4α且0°<α<45°時，切分方式如圖5.

二、實例應用

根據上述討論，當且僅當一個三角形的三個內角滿足上述三個條件之一時，它才能被一條直線切分成兩個等腰三角形.當我們遇到此類問題時，可以按照這三個條件對三角形三個內角所要滿足的要求進行分類討論.下面結合三個常見的問題說明在實際解題中如何應用.

問題1 一個三角形可被剖分成兩個等腰三角形，原三角形的一個內角為36°，求原三角形最大內角的所有可能值.

解析：分下列三種情況進行討論：

1.若原三角形為直角三角形，則它的最大內角為90°，如圖6表示；

2.若原三角形三個內角的大小為α，2α，180°-3α且0°<α<45°：

(1)當α=36°時，2α=72°，180°-3α=72°,即原三角形的最大內角為72°，如圖7所示；

(2)當2α=36°時，α=18°，180°-3α=126°，即原三角形的最大內角為126°，如圖8所示；

(3)當180°-3α=36°時，α=48°，這與0°<α<45°矛盾，舍去.

圖6 圖7 圖8

3.若原三角形三個內角的大小為α，3α，180°-4α且0°<α<45°：

(1)當α=36°時，3α=108°，180°-4α=36°,即原三角形的最大內角為108°，如圖9所示；

(2)當3α=36°時，α=12°，180°-4α=132°，即原三角形的最大內角為132°，如圖10所示；

(3)當180°-4α=36°時，α=36°，3α=108°，即原三角形的最大內角為108°，如圖9所示；

綜上所述，原三角形的最大內角為72°，90°，126°，108°，132°.

圖9 圖10

問題2 有一個等腰三角形紙片，若能從一個底角的頂點出發，將其剪成兩個等腰三角形紙片，則原等腰三角形紙片的頂角大小為多少？

解析：分下列三種情況進行討論：

(1)若原等腰三角形含有一個內角為90°，則顯然無法從一個底角的頂點出發，將其剪成兩個等腰三角形的紙片；

(2)若原等腰三角形三個內角的大小為α，2α，180°-3α且0°<α<45°：

①當α=180°-3α時，解得α=45°，這與0°<α<45°矛盾，不符合題意，舍去；

②當2α=180°-3α時，解得α=36°，此時原三角形的頂角為α=36°，如圖11；

圖11 圖12 圖13

(3)若原等腰三角形三個內角的大小為α，3α，180°-4α且0°<α<45°：

①當α=180°-4α時，解得α=36°，此時原三角形的頂角為3α=108°，

因為此時若能分成兩個等腰三角形，則需要從頂角的頂點出發，如圖12，不符合題意，舍去；

問題3n個等腰三角形的頂角α1，α2，α3，…，

αn兩兩不等.它們的共同特點是：被一條直線分得的兩個較小三角形也是等腰三角形，求α1+α2+α3+…+αn的值.

解析：分下列三種情況進行討論：

(1)若原等腰三角形含有一個角為90°，則顯然可以利用斜邊中線把它分成兩個較小的等腰三角形，此時原等腰三角形的頂角大小為α1=90°；

(2)若原等腰三角形三個內角的大小為α，2α，180°-3α且0°<α<45°：

因為原三角形為等腰三角形，所以α=180°-3α或者2α=180°-3α,解得α=45°(舍去)或者α=36°，此時原等腰三角形的頂角大小為α2=36°，如圖11；

(3)若原等腰三角形三個內角的大小為α，3α，180°-4α且0°<α<45°：

在解決一個三角形可以被切分成兩個等腰三角形的問題中，如果僅憑直覺進行漫無邊際的嘗試，或者沒能把握分類討論的標準和方法，往往會浪費大量的時間和精力.如果能夠結合這個三角形三個內角所要滿足的條件，并且像問題1-3的解題過程那樣進行分裂討論，雖然有些過程稍顯復雜，但卻能幫助我們在分類討論的時候做到有法可依，不重不漏，節約大量的時間和精力.