橢圓外切四邊形的一個性質
2018-08-30 06:35:38江蘇省常州高級中學213003
中學數學研究(江西) 2018年8期
江蘇省常州高級中學 (213003) 陳 武
我們知道圓外切四邊形兩組對邊的和相等，由此可得結論：如圖1，設四邊形ABCD是圓O的外切四邊形，則SΔABO+SΔCDO=SΔBCO+SΔDAO.
圖1 圖2
圓本質上是橢圓的一種退化形式(即橢圓的兩個焦點重合而成圓心)，那么橢圓的外切四邊形是否也有與這個類似的結論呢？經過探究，得到結論：如圖2，四邊形ABCD是橢圓的外切四邊形，F1、F2為橢圓的兩個焦點，則SΔABF1+SΔABF2+SΔCDF1+SΔCDF2=SΔBCF1+SΔBCF2+SΔDAF1+SΔDAF2.
為了便于敘述，該結論的證明分為三部分．
引理1 已知平面上不共線的三點A、B、C坐標分別為(x1,y1)、(x2,y2)、(x3,y3)，則SΔABC=
結論2的證明：設點E、F、G、H分別為四個切點，則由引理2得SΔAEF1+SΔAEF2=SΔAHF1+SΔAHF2，SΔBEF1+SΔBEF2=SΔBFF1+SΔBFF2，SΔCGF1+SΔCGF2=SΔCFF1+SΔCFF2，SΔDGF1+SΔDGF2=SΔDHF1+SΔDHF2，從而SΔABF1+SΔABF2+SΔCDF1+SΔCDF2=SΔAEF1+SΔBEF1+SΔAEF2+SΔBEF2+SΔCGF1+SΔDGF1+SΔCGF2+SΔDGF2=SΔAHF1+SΔBFF1+SΔAHF2+SΔBFF2+SΔCFF1+SΔDHF1+SΔCFF2+SΔDHF2=SΔADF1+SΔADF2+SΔBCF2+SΔBCF2.
