橢圓共軛直徑的幾個充要條件───幾道高考題的啟示

重慶市第八中學校 (400030) 李長江 羅 毅

我們知道經過橢圓E:b2x2+a2y2=a2b2(a>b>0)(以下文中的橢圓E均指此橢圓)中心的弦AC稱為橢圓的直徑.

特別地,若一直徑所在的斜率為0,另一條直徑的斜率不存在時,也稱這兩直徑為共軛直徑.

筆者在翻閱近幾年的高考題時,其中2015上海卷理科21題的第(Ⅱ)問與2011年山東卷理科22題第(Ⅰ)問引起筆者極大的興趣.原題節選如下：

圖1

將上述兩結論結合起來,不難發現kAC·kBD=

筆者經過一番探究,肯定了自己的猜想,得到了如下結論:

圖2

(充分性)記AB所在的直線為l.

第二種情形:當l的斜率存在時,不妨設l:y=kx+m,聯立直線l與橢圓E的方程可得

(a2k2+b2)x2+2a2kmx+a2(m2-b2)=0①,則

Δ=4a2b2(a2k2+b2-m2)>0②,x1+x2=

(必要性)顯然成立.

(1)求橢圓的離心率;

根據結論2的證明過程,易證如下結論：

圖3

(1)求該橢圓的標準方程;