三次函數有關極值的一個性質及應用

湖南省岳陽市華容縣東山鎮聯校 (414203) 聶新軍

設三次函數f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0),記f′(x)=3ax2+2bx+c的判別式為Δ=4(b2-3ac).我們有如下結論:

命題1 對于f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0),若Δ=4(b2-3ac)≤0,則f(x)無極值.

證明:因Δ=4(b2-3ac)≤0,當a>0時,f′(x)≥0,當a<0時,f′(x)≤0,均使f(x)為單調函數.故f(x)無極值.

命題2 對于f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0),若Δ=4(b2-3ac)>0,記f′(x)=0的兩根分別為x1,x2(x10時,f(x)的極大值M為f(x1),極小值m為f(x2),且M>m;當a<0時,f(x)的極大值M為f(x2),極小值m為f(x1),且M>m.

證明:當a>0時,由條件知當xx2時,f′(x)>0,當x10,a>0.

即M>m.

同理,當a<0時,f(x)的極大值M為f(x2),極小值m為f(x1),且M>m.

綜上可知,我們有如下推論:

推論函數f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)有極值的充要條件是方程f′(x)=0有兩個不相等的實根.

下面舉例說明上述結論在解題中的應用.

例1 已知f(x)=ax3+bx2+cx,a+b+c=0,g(x)=f′(x),若g(0)g(1)>0,求證f(x)有兩個極值.

例2 函數f(x)=x3+3ax2+3bx+c在x=2處有極值,其圖像在x=1處的切線平行于直線6x+2y+5=0,求極大值與極小值的差.

解：f′(x)=3x2+6ax+3b,f′(x)=0有根x=2,所以4+4a+b=0①,由于圖像在x=1處的切線平行于直線6x+2y+5=0,于是f′(1)=-3,即3+6a+3b=-3②,聯立①,②解得a=-1,b=0,從而f(x)=x3-3x2+c.

令f′(x)=0,得另一根為0,由命題2知,當x=0時函數取極大值,當x=2時取極小值.于是所求之差為f(0)-f(2)=c-(8-12+c)=4.

例3 已知f(x)=3ax3+9bx2+9cx+15(a>0)在x=-2和x=4處取得極值,而極大值與極小值之差為27,求a,b,c的值.

故b=-a,c=-8a.

例4 設函數f(x)=x3-3x2-8x,g(x)=x+a.若f(x)與g(x)的圖像恰有三個交點,求實數a的取值范圍.

解:f(x)與g(x)的圖像恰有三個交點,即方程x3-3x2-8x=x+a恰有三個不等實根.令F(x)=x3-3x2-8x-x-a=x3-3x2-9x-a,只需F(x)的圖像與x軸有三個不同交點.F′(x)=3x2-6x-9,易知F′(x)=0有兩個不等實根x1=-1,x2=3,