向量視角下的三角形面積公式及運(yùn)用

四川省內(nèi)江師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 (641100) 王昌林 許鳳姣 劉成龍

眾所周知，由兩邊及夾角可以確定一個(gè)三角形.因此，從向量的角度看，兩個(gè)共點(diǎn)的向量可以確定一個(gè)三角形.進(jìn)而由兩個(gè)共點(diǎn)的向量可以表示所確定三角形的面積.[1]本文給出向量視角下三角形面積的兩個(gè)公式及運(yùn)用.

一、向量視角下的三角形面積公式

圖1

為便于進(jìn)一步給出面積公式的表征形式，先引入向量積的概念，如下：

二、公式的應(yīng)用

高考向量部分對三角形面積的考查主要有兩個(gè)方面：直接求三角形的面積；四邊形面積問題可轉(zhuǎn)化為三角形面積來處理.[1]下文介紹三個(gè)公式在高考解題中的應(yīng)用.

例1 (2018年全國Ⅲ卷理科第6題)直線x+y+2=0，分別與x軸，y軸交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P在圓(x-2)2+y2=2上，則ΔABP面積的取值范圍是( ).

A.[2,6]B.[4,8]

評注：例3即是公式一，選C.

評注：例2將平行四邊形的面積轉(zhuǎn)化為兩個(gè)面積相等的三角形，借助公式二即可得到問題的解.

圖2

圖3

圖4

例8 (2017年全國Ⅰ卷文科18題)在四棱錐P-ABCD中，AB∥CD，且∠BAP=∠CDP=90°.

(Ⅰ)證明：平面PAB⊥平面PAD；

圖5

解:(Ⅰ)略；