從開課情境創設走向“問題驅動”研究
——由“直線和圓的位置關系”情境創設說起

☉江蘇省泰興市西城初中 錢 洋

近讀《中學數學》（下），王梨潔老師以一節勾股定理應用“青優課”為例對“非數學本質偽情境”的商榷引發筆者感慨和共鳴，一是在當前不少教研活動中的“點贊”式的教研氛圍下，能提出作者獨立觀點，并有理有據的商榷評課，值得敬佩；二是就很多“非數學本質偽情境”來說，確實應該成為“過街之鼠”，影響了高品質數學教學的追求.受到王老師的啟發，本文也從一節“青優課”的教學情境說起，對教學情境提出自己的一些實踐與思考，提供研討.

一、“直線和圓的位置關系”的情境創設概述

直線和圓的位置關系 相交 相切 相離公共點個數 2 1 0圖形 l O O O l公共點名稱 交點 切點直線名稱 割線 切線l

情景導入：欣賞博鰲美景和《海上日出》視頻，如果把太陽看成一個圓，把地平線看成一條直線，太陽升起的過程就體現了直線和圓幾種不同的位置關系，直線與圓到底有哪幾種位置關系呢？

教學組織：以欣賞視頻開課，通過學生觀賞亞洲論壇、玉帶灘的美景和“海上日出”視頻，讓學生體會數學來源于生活，增強學生熱愛家鄉的情感.

構建新知，提出問題：①直線和圓有幾種位置關系？

②類比點和圓的位置關系，思考“直線和圓的位置關系可以用哪些量的數量關系來表示”？

③怎樣判斷直線和圓的位置關系？

教學組織：以設“問”的方式讓學生自學，讓學生在自學過程中解決問題，從而提高學生的自學能力.在教師問題引導之下學生應該可以回答出直線和圓有相交、相切、相離三種位置關系；進而師生合作歸納出下表：

類比探究：上面從“形”的角度表示了直線和圓的位置關系，那么，還可以用哪些量的數量關系來表示直線和圓的位置關系呢？

引導問題：想想點和圓有幾種位置關系？點和圓的位置關系對應了怎樣的數量關系？

我們也可用圓心到直線的距離d和圓的半徑r的數量關系來表示和對應直線和圓的位置關系，

類比點和圓的位置關系中d與r的數量關系，為探究直線和圓的位置關系中的數量關系做鋪墊.

師生活動：請大家在直線和圓的三種位置關系的圖形中，畫出圓心到直線的距離，然后小組合作探究，當直線和圓相交、相切、相離時，圓心到直線的距離d與半徑r有怎樣的數量關系？

學生探究后歸納（教師板書）：

直線和圓相交?d＜r；直線和圓相切?d=r；直線和圓相離?d＞r.

接著進入驗證、證明、例習題應用與講評，不是后文關注的重點，限于篇幅，這里略去.

二、關于教學情境創設的一些思考

第一，基于數學知識邏輯連貫的視角優選“開課情境”

以文1批判的“非數學本質的偽情境”來看，本文所選課例中的開課情境（播放視頻、欣賞風景）也屬于一種非數學本質的生活情境.從章建躍博士前幾年一直倡導的基于數學知識的邏輯連貫的視角來看，直線和圓的位置關系是承接點和圓的位置關系而來，開課情境可優選從點和圓的位置關系出發引導學生研究直線和圓的位置關系.更“上位”來看，涉及平面幾何所研究圖形的三個要素：形狀、大小和位置.從七年級幾何入門階段就研究了點和點的位置關系，點和直線的位置關系，直線和直線的位置關系.舉例來說，有些學生對尺規作圖中的過一點作已知直線的垂線適應性不好，究其根本，是對點與直線有兩種位置關系沒有辨明，所以當提出過一點作已知直線的垂線時，往往沒有先進行分類討論，想清有兩種不同的位置，而兩種不同的情形作垂線的作法步驟是有區別的.這樣來看，就直線和圓的位置關系來看，也就屬于兩種圖形之間的位置關系，在這基礎上還可引導優秀學生繼續拓展思考圓和圓的位置關系.

第二，從“數形結合”的觀點看直線和圓的位置關系

我們知道，中學數學與小學數學相比有很多不同的學段特點，比如小學更多的是常量數學，而初中開始有變量參與，突出體現在代數、方程、函數這些知識領域；還有，以函數為例，突出體現了“數形結合”的數學思想，這是中學數學最具學段特征的數學思想方法，將原來的方程、方程組、不等式或不等式組都在平面直角坐標系中以函數圖像得到高觀點的理解.從“數形結合”的觀點來深刻理解點和圓和位置關系、直線和圓的位置關系以及圓和圓的位置關系，就能獲得一個更高觀點的概念理解.因為學生在高中階段還會繼續研究圓的解析式，將圓放置在平面直角坐標系中，從“數”（圓的方程）的角度進行研究.從這個角度來看，雖然是在平面幾何的體系下研究圓，但教學時要十分重視“以數馭形”的數學思想的滲透.

第三，從“開課情境”的創設走向“問題驅動”的研究

南京大學哲學系鄭毓信教授新近在文4中指出：“問題引領”與“問題驅動”應當被看成“中國數學教學傳統”十分重要的一個方面，更為廣大一線教師改進教學指明了努力方向.從這個角度來看，很多初任教師把教研精力都過多的放在所謂“開課情境”的設計上，結果像上文課例中一樣以一些視頻或圖文引入新課，看是“有趣”、活躍了課堂的氛圍，吸引了學生的眼球和興趣，但是卻弱化了與本課教學內容的聯系，有些視頻的內容甚至會對學生“靜心”于本課所學內容產生干擾作用，比如有些視頻中有一些優美、激昂的音樂，有些有一些故事情節夾雜情境之中，學生沒有能隨著老師的眼光抽象出本課需要學習的數學概念，卻還沉浸、陶醉于視頻其他內容之中，這就適得其反了.我們的建議是，認真傾聽鄭毓信教授關于“問題驅動”的教學研究，即精心選取那些能夠驅動全課教學進程的問題情境，具體來說，以直線和圓的位置關系為例，返樸歸真的問題情境可以這樣設計：課前先在黑板上畫出三個圓，開課階段安排學生復習點與直線的位置關系，并讓學生到黑板上畫出示意圖以及點到圓心的距離與點和圓的位置關系之間的對應關系，在此基礎上，引導學生思考從點到線，自主探究直線與圓的位置關系，再安排學生類比點和圓的位置關系“數形結合”的進行小結歸納.

值得一提的是，“問題驅動”并不是一個新的理念，恰恰相反，問題驅動、任務驅動在我國數學教育課例實踐研究中已有很多比較成熟的做法，這里不妨列舉兩個典型的研究方向：其一，全國著名特級教師、南通市啟秀中學李庾南老師及其團隊倡導的“單元教學”，往往也是以一個典型問題驅動新課，實施“先見森林、再見樹木”的單元教學；其二，華東師范大學汪曉勤教授及其團隊倡導的HPM課例研究，也是基于數學史的考證研究，精選歷史上一些數學概念或性質或典型問題的歷史源流，恰當改編融入到數學教學之中，成為驅動整節課或某個單元數學知識的有效背景與載體.

三、寫在后面

教學情境是一個很大的話題，我們從一個具體的直線和圓的位置關系的“開課情境”說起，闡釋了一些個性化認識，既不一定準確，更不一定正確，只是想表明，在情境創設這個大話題面前，我們還有很多值得思考的視角，包括一些知名數學教育學者的觀點值得我們借鑒和踐行.