遵循正確策略，科學探尋規律
——以一道中考幾何規律題的探究為例

☉浙江省寧波市鄞州區云龍鎮中學 曹世賢

圖1

幾何規律探尋題在近幾年中考中出現的頻次很高，該類問題一般以平面直角坐標系為背景，結合大量的文本操作，以考查學生對于圖形認識，信息提取，規律探究的能力.本文將以一道中考幾何規律探尋題為例開展思路探究，并進行相應的學習思考，以期對讀者的學習帶來一定的啟示.

一、試題呈現及簡析

例題 （2018年山東威海市中考卷第18題）如圖1所示，在平面直角坐標系中，點A1的坐標為（1，2），以點O為圓心，以O長為半徑畫弧，交直線y=x于點.過B點1作B1A2∥y軸，交直線y=2x于點A2，以O為圓心，以OA2長為半徑畫弧，交直線y=x于點；過點作BA∥y軸，23交直線y=2x于點A3，以點O為圓心，以OA3長為半徑畫弧，交直線y=x于點；過B點作BA∥y軸，交直線y=2x于334點，以點O為圓心，以O長為半徑畫弧，交直線y=x于點B4，…按照如此規律進行下去，則點B2018的坐標為__________.

簡析：上述題目是一道典型的平面直角坐標系中的規律探尋題，題目涉及到作平行線、畫弧等操作，考查了扇形、三角形、相似、點坐標等知識，是數形結合思想、歸納轉化、模型思想的綜合考查.解答本題目除了需要理解題目中的作圖過程，還需要結合幾何性質來確定關鍵點的坐標.其中結合問題條件確定點A1、B1的坐標是問題探究的起點，然后以上述兩點為基礎來總結后續點獲得的方法，形成規律，歸納通解式.

二、試題求解過程探究

1.識圖讀題，提煉基本圖形

對于一般含有大量文字信息的幾何題，都是采用“先讀題，再讀圖”的策略，即從題目的文本信息入手，理解題意，再對幾何圖形進行探究，但這樣的解題策略對于幾何規律探究而言并不完全適用，因為探究題一般結合了必要的操作過程，如果首先讀取文本信息，很難獲得有效信息.在此建議首先觀察圖像，讀取圖形中的典型特點，初步探尋其中可能存在的性質.對于本題目從幾何圖形來看，在直角坐標系中存在兩條正比例函數直線，多條平行于y軸的直線，以及兩類常見的圖形，扇形和三角形.顯然，通過觀察圖像可以獲得較為直觀的幾何認識，借助直角坐標系研究圖形的性質對于后續的規律探究是十分有利的.然后再詳細地閱讀題目文本，提取其中的關鍵信息，例如“以點O為圓心，以OA1長為半徑畫弧，…過B1點作B1A2∥y軸，交直線y=2x于點A2，…按照如此規律進行下去”，文本中主要有兩個關鍵作圖步驟，一是以原點O畫圓弧，二是過標有序號的點B以規律長線段作y軸的平行線.如果按照這樣的方式進行持續作圖，圖中必然會出現較多的平行線、同心弧，其中的邊長和角度之間也存在一定的關聯.

2.圖文對應，確定初始數據

根據題目中所描述的作圖過程，以及初始點坐標，可以獲得兩個較為明顯的數據：根據點A1的坐標（1，2），可求得OA1=；由O長畫圓弧，則O=O=，而根據位于直線y=x上可以設出點的坐標為 （a，a）.除了上述的線段長以及坐標關系沒有更多可以提煉的數據，因此其他數據的獲得需要結合作圖過程以此來生成，另外文本中關于平行線的作法可以獲得相應的坐標關系，如B1A2∥y軸，則可以推得B1的橫坐標與A2的橫坐標相等，在求解時可以適度地將這些數據標注在對應的點和線段上，從而明確哪些為已知條件，哪些是可推得的信息，哪些是待探究的信息.這樣可以準確把握后續問題的探究方向，避免“走彎路”.

3.適度拓展，推導銜接數據

根據上述的幾何關系和求出的初始數據，可以通過簡單的計算來獲得一些具有銜接性的拓展數據，如點O，點的坐標 （a，a）可以建立關于參數a的求解方程a2+ （a ）2=（）2，解得a=2，可得B（12，1）；進一步根據xB1=xA2=2，以及點A2位于正比例函數y=2x上可以求得點A2的坐標為（2，4）.此外結合幾何的相似原理可知圖像中存在一些相似圖形，如其中的扇形OA1B1、OA2B2、OA3B3互為相似，則根據相似性質可知其中的邊OA1、OA2、OA3…OAn，OB1、OB2、OB3…OBn之 間必然存在一些比例關系，利用這些推導的數據可進一步開展研究.

4.深度關聯，猜想通解規律

由上述數據可以進一步推導后續點的坐標，B2（4，2）、A3（4，8）、B3（8，4），考慮到xBn=OBn·cosα，yBn=OBn·sinα （α為直線y=x與x軸的夾角 ） ，=O·cosβ，=OAn·sinβ（β為直線y=2x與x軸的夾角），可知點坐標之間的比例關系與線段之間的比例關系相同，因此根據OA1∶OA2∶OA3=1∶2∶4，OB1∶OB2∶OB3=1∶2∶4可猜想OA1∶OA2∶OA3∶…∶OAn=1∶2∶4∶…∶2n-1，OB1∶OB2∶OB3∶…∶OBn=1∶2∶4∶…∶2n-1，則點坐標之間也必然存在這樣的比例關系，可以猜想點B的坐標有如下推導公式：xBn=xB1·2n-1=2n，yBn=yB1·2n-1=2n-1，于是可以猜想點Bn（2n，2n-1）.

5.形成數系，合理檢驗通式

與點B的坐標通式猜想相同，可以獲得點A的推導式An（2n-1，2n），然后建立相應的點系，如點A系：A1（1，2）、A2（2，4）、A3（4，8）；點B系：B1（2，1）、B2（4，2）、B3（8，4）.這種推導方式屬于不完全歸納，是否適用于一般情況還有待論證，可以結合幾何坐標以及相關性質進行進一步點的計算，然后與通式的結果進行比較.如求得點B3（8，4）后可以繼續取n=4，利用通式可得B4（16，8），而根據圖像中的規律可知xA4=xB3=8，點A4位于y=2x上，則yA4=16，即A4的坐標為（8，16），畫弧可得點B4的坐標，設其為（b，b），根據半徑相等可得b2+ （b ）2=82+162，解得b=16，所以點B4的坐標為（16，8），上述采用的是函數解析法的求解方式，同樣可以獲得點B4的坐標，且與猜想的通式結果相一致，因此坐標通式是正確的，使用通式Bn（2n，2n-1）可以計算出點B2018的坐標為（22018，22017）.

三、試題求解的感悟

1.遵循特定策略，挖掘信息條件

中考中的幾何規律探尋題，除了會給出具有規律性的文字描述外，還會配合對應的幾何圖像，而對規律的探尋需要以分析數據變化為主，而這些數據的變化充分體現在直觀的圖像上，如上述點坐標之間的比例關系由幾何線段之間的長度比例來體現，因此對于結合了直角坐標系的坐標規律探尋題需要從文本、圖像兩個方面來完成信息提取，圖文配合挖掘隱含條件.另外在解題時需要采用正確的解題策略，遵循“識圖—讀文—對應”的分析步驟，深刻認識圖形特征，把握初始數據，圖文對應理解問題的作圖過程，獲得幾何元素之間的隱含聯系，會后續的思路分析，猜想證明作基礎.

2.多維數據提取，合理實施猜想

數學規律的探尋是建立在對問題信息條件的理解之上，即首先理解問題的作圖過程，掌握規律的形成方法，然后懂得如何使用文中方法獲得后續的數據.因而在剖析問題時，需要充分提煉題干的關鍵信息，如幾何的性質條件、基本數據，然后對提煉的信息進行整理，從中獲得利于后續思路推導的有用信息.對于與問題不相關的信息可以適當的刪減，如上述考題中可以提煉出幾個相似的三角形，但考慮到線段的邊長難以獲得，因此可以將其刪除.數據的提煉是為后續的猜想作準備，在該環節需要充分結合幾何性質，深入分析信息之間的關聯性，可以將對應的數據放入直觀的圖像中，結合幾何線段、角度來分析，參考數學上數形結合的方式進行.幾何規律探尋題是特定情景下的規律探究，雖然信息給出的形式呈現多樣化，但同時也為問題解決提供了多種途徑，進行圖文配合，多維度提煉數據是解題的有效方法，將特定數據放置在具體的圖形中，更能檢驗其可靠性，為合理猜想鋪平道路.

3.科學驗證猜想，上升理論高度

規律探尋題的另一個關鍵環節是對猜想的證明，該過程相對而言較為復雜，但卻是檢驗猜想必不可少的過程.在具體的實施中可以采用多思路驗證的方式，即從不同的角度來拓展數據、驗證數據，如幾何探尋題可以參照題干方法來進一步推導數據，然后與猜想所獲得數據相對比，從而完成結論的論證過程，上述考題就是利用幾何性質來進行數據拓展與驗證的.結論驗證的過程是多樣的，但必須遵循一定的原則，即論證過程必須具有邏輯性、嚴謹性和一般性，不能采用循環自證的方式，而應是不同理論指導下的科學推導.對于幾何規律探尋題需要充分利用幾何中的性質定理，按照科學的證明思路來完成推理，確保結論的獲得是建立在理論基礎之上.總之，猜想是對問題特征的感性思考，結合理性的推理驗證才能上升到理論高度，從而獲得最終答案的通解.

四、結束語

幾何規律探尋題是中考數學的重點題型，雖然其難度梯度差別較大，但其中存在一定的推理方法，本文所論述的是其中一種較為有效的解題策略——把握幾何特征，提煉文本信息，圖文配合推理，科學嚴謹論證，依照該思路開展規律探究，可實現問題的高效求解.