懸而未決，“轉”出精彩
——“旋轉法”在解決與線段數量有關問題中的運用

☉江蘇省蘇州工業園區星海實驗中學 戴 惠

一、知識背景

旋轉變換作為幾何的三大變換之一，常常蘊含了全等、相似、勾股定理等很多知識點，對學生分析問題和解決問題的能力有較高要求，往往具有較大的難度和區分度.九年級學生經過一輪復習后，對于此類指明“旋轉”的題目基本會解決.但是對沒有出現“旋轉”字眼的題，學生對此常感到束手無策.此時我們可以試將圖形的某一部分作適當旋轉，突破思維瓶頸，找到解題思路.

二、教學目標

1.知識與技能

當已知條件比較分散時，考慮“旋轉法”，把分散的條件通過旋轉的方式重新整合，構造特殊圖形，進而解決問題.

2.過程與方法

在數學解題中，有時用“動”的觀點來處理“靜”的問題，即“化靜為動”，讓學生深刻的體會“從變化中找不變”的基本解題思路.

3.情感、態度與價值觀

從旋轉的角度思考問題，提高空間想象能力和邏輯思維能力.

三、教學過程簡錄

片斷（一） “旋轉法”的引出與認識

例1 如圖1，在正方形ABCD中，E，F是BC，CD邊上的點，且∠EAF＝45°，連接EF.

求證：EF＝BE＋FD.

圖1

設計意圖：此題以我們熟悉的正方形作為載體，線段EF、BE、FD位置分散，常用方法為“截長補短”法.啟發引導學生從旋轉的角度去思考問題，初步認識 “旋轉法”.

師：分析題目條件，你想到了什么？

生（齊）：“截長補短”法.

師：實物投影展示正確的解法.

師（啟發）：幾何畫板演示△ABE旋轉至△ADE′過程，從旋轉的角度考慮，以點A為旋轉中心，將△ABE逆時針旋轉90°，如圖2請問△AEF≌△AE′F依然成立嗎？

生：成立，∠BAE=∠DAE′，∠BAE+∠FAD=45°，可以得到∠DAE′+∠FAD=45°，即∠E′AF=45°，通過SAS證明全等.

圖2

圖3

圖4

片斷（二） “旋轉法”的探索與歸納

變式1 如圖3，在正方形ABCD中，∠EAF=45°，它的兩邊分別交CB，DC的延長線于點E、F，線段BE，DF和EF之間又有怎樣的數量關系？

設計意圖：此題為例1的變式，∠EAF從在正方形的內部變成有部分在正方形內部，同樣使用“旋轉法”可以解決問題.讓學生感知“旋轉法”的思路，體會用運動的觀點思考問題，“化靜為動”，讓學生深刻地體會“從變化中找不變”的基本解題思路.

師：這道題跟例1的區別在哪里？我們先猜測一下三條線段之間有什么數量關系？

生（齊）：DF=BE+EF.

師：怎么證明呢？我們能不能也使用旋轉的方法解決它呢？

生（齊）：將△ABE旋轉至△ADE′，如圖4.

師（追問）：旋轉的目的是什么呢？

生1：使得DE′=BE，DF-BE=E′F，只要證EF=E′F即可.師（追問）：怎么證線段相等？我們常用方法是什么？生（齊）：全等，對應邊相等.

師：證哪兩個三角形全等呢？

生2：通過SAS證明△AEF≌△AE′F.

師：幾何畫板演示△ABE旋轉至△ADE′過程，我們將這樣的方法稱為“旋轉法”.什么情況下我們可以使用“旋轉法”呢？

生：已知條件中線段的位置不交分散，有公共頂點，有相等的邊……

師：共點——旋轉中心；相等的線段——對應線段；旋轉角度——旋轉角.（板書）

通過構造全等三角形，轉移線段，尋找線段間的數量關系.

變式2 如圖5，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，且∠EAF=∠BAD.

（1）點E、F分別在邊BC、CD上，試說明EF=BE+DF；

（2）如圖6，點E、F分別在直線CB、DC延長線上，線段BE、DF和EF之間又有怎樣的數量關系？

圖5

圖6

設計意圖：此題作為學生自主練習題，是上面兩道的變式，正方形、45°角的特殊關系一般化，“半角模型”.一方面檢驗學生是否學會使用“旋轉法”，另一方面讓學生體會“從特殊到一般”的數學思想.這兩道題請兩位同學到講臺前講解，激發學生學習興趣.在解決問題的過程中，培養學生舉一反三的數學能力.

片斷（三） “旋轉法”的運用與鞏固

例2 如圖7，在等邊三角形△ABC內有一點P，PA=2，PB=，PC=1，求∠BPC的度數.

設計意圖：此題具備了數學的簡潔之美，條件之間沒有直接聯系，不再問邊的關系，而是換成了角度，學生對此束手無策.但當我們從旋轉的角度去思考該問題時，轉移相關線段，就會豁然開朗，柳暗花明.

圖7

圖8

生（齊）：勾股定理

師：這里有直角三角形嗎？

生（齊）：沒有.

師（啟發）：那這里是不是也可以旋轉呢？通過旋轉某個三角形，轉移某些線段，進而構造直角三角形呢？大家試一試.

生1：將△PBC進行旋轉，如圖8.

師：如圖8，幾何畫板演示旋轉過程.我們想要的直角三角形出現了嗎？

生（齊）：沒有，再連接PP′.

師：很好，將我們要求的∠BPC轉化成兩個角的和，此時∠P′BP=60°且BP=BP′，我們得到△P′PB是等邊三角形，得到∠BP′P=60°.另外一個角∠AP′P又是多少度呢，你會嗎？

生2：90°，根據勾股定理的逆定理得到.

師：非常好，一起告訴我∠BPC的度數.

生（齊）：150°

師：你感受到了旋轉法的奇妙之處了嗎？

圖9

變式1 如圖9，在正方形ABCD內有一點P，∠BPC=135°，BP=，PC=1，求AP的邊長.

設計意圖：此題作為學生練習題，載體等邊三角形換成正方形，已知條件既有邊的關系，又有角的關系，在解決問題的過程中，培養學生融會貫通的能力.

片斷（四） “旋轉法”的拓展與提升

例3 （2015·常州）如圖10，在⊙O的內接四邊形ABCD中，AB=3，AD=5，∠BAD=60°，點C為弧BD的中點，則AC的長是__________.

設計意圖：展示中考題，激發學生攻克難題的決心.學生通過積極思考和探索，把握命題規律，提煉問題本質.一題多解，通過比較讓學生切實體會旋轉法的奇妙作用，調動學習積極性.

師：哪位同學來挑戰一下這道中考題？

生1：C為弧BD的中點可以得到CB=CD，將△ACD進行旋轉，如圖11.

圖10

圖11

師（追問）：這里四邊形ABCD有什么特殊性使得我們可以選擇使用“旋轉法”.

生1：⊙O的內接四邊形對角互補，符合我們的“旋轉法”.

師（追問）：然后我們如何做呢？

生1：在△AA′C中作AA′邊上的高.

師：接下來我們利用三角函數、等腰三角形性質等就可以解決.

設計意圖：問題再次升級，將學生剛剛已經熟悉邊角關系以直線解析式的形式呈現，給人耳目一新的感覺.難度提升一個臺階，對學生的能力要求進一步提高.通過 “轉化的思想”，通過直線解析式可以得到邊角關系，同樣使用“旋轉法”可以解決問題.

圖12

圖13

師：在圓中，圓周角90°，我們常作什么輔助線？

生（眾）：連接AC，AC為直徑.

師：EC-EA如何處理呢？“旋轉法”好用嗎？

生2：以O為旋轉中心，將△OAE逆時針旋轉90°，如圖13.

師：EC-EA=EE′，△OEE′為等腰直角三角形，則EE′∶EO為.能否將△OAE，以A為旋轉中心順時針旋轉90°呢？課后思考.

四、教后反思

對于“空間與圖形”的教學，《數學課程標準》的理念是：觀察感知、動手操作、深化理解.“向學生提供充分參與數學活動的機會，幫助他們在自立探索和合作交流的過程中真正理解和掌握數學思想和方法，獲得廣泛的數學活動經驗”.這節課作為初三專題復習課較好地體現了《數學課程標準》的新理念，教會學生用旋轉的思想去解決問題.

教學設計中比較注重數學思想的滲透與點拔，注重引領學生認識和體會數學內在的美感.如“旋轉點”“基本形”等數學語言所體現的簡約美；旋轉變換帶給學生的奇妙感覺，讓學生感受數學的推力，激發學生進一步學習數學的欲望；幾何畫板的使用讓是整個運動過程比較直觀具體.練習圖形的旋轉過程，既讓學生演示了順時針旋轉，又進一步引導學生動手實踐逆時針旋轉等不同方法，培養學生的思維廣闊性.J