數學回歸與數學解題

☉廣東省深圳市沙灣中學 劉長壽

數學源于自然，源于社會與生活，無論數學怎樣發展都要回歸本原.數學學習是一個過程：數學基礎理解；數學能力提高；數學方法積累；創新思維發展；數學思想形成；分析解決問題.而所有這一切都體現在數學解題中.“古希臘著名學者阿基米德說‘只要給我一個支點，我就能撬動地球’.在理論體系的建立中，這個支點就是不定義的概念（原詞）與不證明的命題（公理）.”

中學數學作為一個完備的知識體系，所有題目的解答也存在一個支點，所有題目的解答都離不開這個支點，這就是中學數學中的定義、定理、公理、公式.無論多么難的題目只要回歸到這個支點，都可以迎刃而解.

中學生作為數學的初學者，在解題過程中，往往會出現各種各樣的問題，要么面對題目一籌莫展，要么在解題過程中顧此失彼.特別是那些能力、技巧要求較高的題目，既需要學生有扎實的數學基礎，又需要學生懂得“萬丈高樓平地起”的道理，無論多難的題目都離不開數學基礎知識及其變形與發散，即“回歸支點”.因此，數學回歸思想在數學解題中起著舉足輕重的作用.

一、數學回歸的意義

數學回歸包含著兩層含義：一是面對題目的條件與要解決的問題無法找到突破口時，將思維回歸到與題目?相關的數學定義、定理、公式、公理上去，從基礎知識切入，尋找破題的方法，然后順藤摸瓜發散思維，從而解決問題.二是當順著題意解出結果時，不要輕易下結論，要把解出的結果回歸到題目的條件中去，看結果是否符合題意，或者把結果回歸到知識點及實際生活中去，看是否符合相關知識點及實際生活.

二、“數學回歸”對數學解題結果的選擇性作用

學生解出題目的結果后往往疏于驗證結果的正確性.基于一些數學知識的條件性選擇，解題中得出的結果可能不符合題意或不滿足相關數學知識的基本條件，這時數學回歸思想就解決了解題結果的條件性選擇，從而得出正確結論.分式方程和無理方程要驗根就是典型的例子.

例1 若（m-2）xm2-2+3x+1=0是關于x的一元二次方程，則m的值為（ ）.

A.m=±2 B.m=2 C.m=-2 D.m≠2

對于本題的選擇，學生最容易出現的錯誤是只從一元二次方程的最高次數為2考慮，得出m=±2，忽視一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的基本條件a≠0，而錯誤地選擇A.當計算出結果m=±2后，必須把m=±2這一結果回歸到一元二次方程應滿足的基本條件a≠0中去，從而得出m≠2，結論m=±2中的m=2必須舍去，即本題的正確選項是C.

三、“數學回歸”讓難題變得不難

數學回歸啟發數學解題思路.當面對一道題目找不到解題突破口時，就從與題目相關的基礎知識入手，尋求解題方法.

此題初看起來很難入手，如果把思維回歸到“二次根式的被開方數為非負數”這一基礎知識上來，問題就很好解決了.

a-2014≥0，即a≥2014，

所以，2013-a＜0，即|2013-a|=a-2013，則

所以，a-20132=2014.

通過基礎知識找到基本方法，經過基礎知識的變形以及題目所給的條件“順藤摸瓜”，就能解決問題了.

回歸基礎知識：圖像上的點滿足解析式，即y1=kx1，

圖1

這里就出現了題目所求結論2x1y2-7x2y1中除了系數以外的兩項：x1y2與x2y1.將題目的結論與條件有機結合，也是解決問題的關鍵，我們要通過多練習提高解題的綜合能力.

因為x1y1x2y2=16，

（注意：x1＞0，y1＞0，x2＜0，y2＜0這個隱含條件）

所以，x1y2=x2y1=-4.所以，2x1y2-7x2y1=20.

四、“數學回歸”啟發幾何解題思路

“代數代數，錯了再做；幾何幾何，想破腦殼.”讓學生“想破腦殼”的是幾何證明和計算中找不到解題突破口.還是那句話，根據題目的條件“回歸支點”，向題目有關的基本定義、定理要方法.

例4 如圖2，△ABC與△DEF均為等邊三角形，O為BC，EF的中點，求AD：BE的值.

本題是求兩條線段的比值，而圖形中這兩條線段似乎沒有什么聯系，但當我們根據O是兩個等邊三角形一條邊的中點時，把思維回歸到等腰三角形“三線合一”性質這一基礎知識上，就順理成章地想到連接AO，DO，如此，問題就迎刃而解了.

圖2

連接AO，DO.

因為O是BC，EF的中點，且△ABC與△DEF為等邊三角形，由

而∠AOD=90°+∠AOE=∠BOE，

例5 如圖3，在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，△ABD為等邊三角形，E是AB的中點，連接CE并延長交AD于點F.

（1）求證：①△AEF≌△BEC；②四邊形BCFD是平行四邊形.

（2）將四邊形ACBD折疊，使點D與點C重合，GH為折痕，求sin∠ACH的值.

本題第（1）小題屬于基礎證明，沒有難度，關鍵是第（2）小題.

圖3

結合折疊的性質得到CH=DH，

然后利用Rt△ABC中∠CAB=30°，

而由⑴可知∠CAH=90°.

在Rt△ACH中，由勾股定理得

CH2=AH2+AC2.

（這些都是數學基礎知識）

進行等量代換，得出AD=8AH，

總之，數學解題離不開扎實的基本功和學習者自身的感悟能力，更重要的是在做題中積累解題方法，形成數學思想，反過來用這些方法和思想啟發解題思路，最終達到增強創新思維，提高分析能力和實踐水平.J