建立數學模型思想，提升問題解決能力
——以初中數學線段和的最值問題為例

☉江蘇省蘇州市相城區春申中學 周麗芳

《義務教育數學課程標準》把“獲得適應社會生活和進一步發展所必需的數學的基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經驗”列為課程總目標之首，并從“從知識技能、數學思考、問題解決、情感態度”四個方面闡述了具體的內涵.由此可見，數學教學過程不僅是知識與技能的學習過程，而且是問題解決策略與數學思想方法形成的過程，還是激發學習興趣、體驗成功樂趣、養成學習習慣、形成科學態度的過程.下面結合初中數學新課程教學實踐案例，以線段和的最值問題為例，僅就建立數學模型思想，提升問題解決能力的問題作初步的探討.

一、初中數學模型思想的內涵

初中數學模型思想是指運用數學模型方法處理和解決實際問題的一種思想，它是學生體會和理解數學與現實世界聯系的橋梁.建立和求解模型的基本過程包括“從現實生活或具體情境中抽象出數學問題，用數學符號建立方程、不等式、函數等表示數學問題中的數量關系和變化規律，求出結果并討論結果的意義.”數學模型思想的學習能有效提高學生學習數學的興趣，強化應用意識，初步形成建模學習策略.

二、模型思想在解決線段和最值問題中的應用

最值問題是初中數學的重要內容之一，也是中考的熱點問題.它是一類綜合性較強的問題，主要考查學生綜合遷移所學知識來解決實際問題的能力.無論是代數還是平面幾何，在學習中都會遇到最值問題，其中常見的就是線段和的最值問題.此類問題常可歸于兩類基本模型：一是幾何模型，多為在存在動點或者不確定的位置關系的情況下求最值，一般有兩種解題思路，一個是通過幾何圖形的性質實現對位置的確定；另一個是通過數量關系實現最值問題的解答.二是函數模型，常可根據已知條件，將問題轉化成兩個變量之間的關系，進而構造二次函數解析式，通過配方利用二次函數的對稱性及增減性，確定某范圍內函數的最大或最小值.

1.幾何模型中的線段和最值問題

圖1

圖2

例1 如圖1，已知正方形ABCD的邊長為4，M在邊DC上，且DM=1，N是對角線AC上一動點，則DN+NM的最小值是________.

分析：此題為單動點求兩條線段和的最值問題.D、M是兩個定點，N是AC上一動點.由正方形本身具備的軸對稱性可知，點B、D關于AC對稱，BN=DN，DN+NM=BN+NM，由“兩點之間線段最短”（三角形的任意兩邊之和大于第三邊）可知BN+NM≥BM.所以只要連接BM交AC于N，此時DN+MN的值最小為BM的長（如圖2）.再由已知條件可知BC=4，CM=3，由勾股定理可知，BM=5，所以DN+NM的最小值是5.

本題在“將軍飲馬”模型中植入了正方形的背景，利用軸對稱性質，將直線同側的兩條線段轉化為異側的兩條線段，簡化問題，求得答案.

圖3

圖4

變式：如圖3，AB是⊙O的直徑，C為半圓AB上的一個四等分點，D為弧BC上的三等分點，已知⊙O半徑為1，則PC+PD的最小值為________.

分析：本題由案例1變式而來，在模型中植入了圓的背景，學生只要熟悉“將軍飲馬”模型，就很容易作出如圖4中的輔助線，得出PC+PD的最小值為線段CD′的長.根據圓的相關性質及軸對稱性可求得∠COD′=60°，△COD′為等邊三角形，CD′=OC=1，所以PC+PD的最小值為1.

拓展：在幾何模型中植入坐標背景.

如圖5，已知在平面直角坐標系xOy中，點A（6，8），B（-2，y），C（x，0），且BC⊥AC.

（1）求y與x之間的函數關系式，并求出y的最大值；

（2）如圖6，當y取最大值時，一條線段EF在x軸上運動，EF=2，連接AF、AB、BE，求在運動過程中四邊形ABEF周長的最小值.

分析：本題（1）可過點B、A分別作BD⊥x軸，AM⊥x軸垂足為D、M，由“K”字型可知△BDC∽△CMA，由相似三角形對應邊成比例易得y=-x2+x+，經配方得y=-（x-2）2+2，所以當x=2時=2.

第（2）題中已知A（6，8），當y取最大值時可得到B（-2，2），易求得AB=10，在AB、EF長度均為定值下，要求四邊形ABEF的周長最小值，就可轉化成求BE+AF的最小值.與案例1相比，本題不再是兩定點一動點，而是E、F兩動點同時移動，這是困擾學生的難點.這時可啟發學生在EF的長是定值時，能否考慮將E、F兩個動點轉化為一個動點，從而將問題轉化到“將軍飲馬”模型中去解決.通過討論，引導學生得出問題解決的關鍵，就是將線段AF向左平移EF的長度至A′E的位置，使得A′E=AF，將求BE+AF的最小值轉化成求BE+A′E的最小值（如圖7）.通過兩點之間的距離公式求得BE+AF=BE+A′E=A′B′=2，AB=10，EF=2，所以四邊形ABEF周長的最小值為12+2.

圖5

圖6

圖7

反思：以上求兩線段和最值問題均可利用“將軍飲馬”模型來解決.一般都是利用軸對稱性將所求線段進行轉化，再根據“兩點之間線段最短”來求得兩條線段和的最值問題.在這種模型中植入不同的背景可以延伸出不同的題型.但萬變不離其宗，其數學思考都是利用圖形本身的軸對稱性將同側線段和轉化為異側線段和，即化“折”為“直”，進而引導學生能清晰地抓住求兩條線段和最短問題的本質：依據“兩點之間線段最短”，利用共線點最小值解決最值問題.

2.函數模型中的線段和最值問題

分析：因為點P不在直線上運動，點E也是一個動點，在無法套用“將軍飲馬”模型來解決問題時，我們可以利用兩點之間的距離公式，將兩條線段的長用函數解析式表示出來，再利用函數的性質來求線段和的最小值.具體解答如下：

圖8

綜上所述，PD+PE的最小值為2.

圖9

分析：本題P、D、Q三點隨點M的運動而運動，同樣無法套用“將軍飲馬”模型來解決.這時可引導學生將線段PD、DQ的長度用含x的代數式來表示，通過構造函數解析式來解決問題.具體解答如下：

所以A（4，0），C（0，-3），

所以OA=4，OC=3，AC=5.

因為∠AOC=90°，DQ⊥AC，

反思：利用函數模型解決線段和的問題，在初中數學中，一般都是將問題轉化成二次函數解析式，通過配方求得線段和的最大或最小值.方法雖比較簡單，但計算一般都較繁雜.且這類問題一般都出現在綜合題中，將線段長用解析式表示出來是一個難點，但只要學生有扎實的基礎理論知識，理解并熟知簡單數學模型的特性，把握數學思想（如化歸思想、轉化思想等）的本質，化繁為簡，化動為定，結合特定圖形的性質就能夠順利解決問題.

總之，初中數學最值問題看似復雜多變，但其中都蘊含著基礎的模型思想.解這類題目的關鍵是要結合題意，借助相關的概念、圖形的性質，通過一定的方法和手段，把幾何和函數中的最值問題轉化為基本的模型來解決.教師要從學生的數學實際出發，聯系學生的外部世界精心創設問題情境，引導學生在建立和求解數學模型中，積累數學活動經驗，建立數學模型思想，提升問題解決能力.