一題多解需謹慎 分層遞進是良策*

☉江蘇省無錫市錫山高級中學匡村實驗學校 周榮偉

在當前初一、初二的數學課堂上經常會看到這樣兩種現象：新授課上為了追求所謂的教學深度，簡化知識的發生過程，忽視例題的基本方法，更多關注的是一題多解、一步到位（美其名曰：深度學習、與中考接軌！）；但是到了單元習題課、章節復習課、期末復習課、乃至初三中考復習課上卻依然停留在回憶式的習題講解上，除了提高解題的熟練度，方法并沒有任何更新.筆者認為，導致這兩種現象頻發的主要根源是對一題多解教學理解的偏失.本文以蘇科版義務教育教科書數學八年級上冊的一個習題為例，談談如何基于分層遞進開展一題多解教學，以真正提高新授課、習題課以及復習課的教學效益.

一、題目呈現

已知：如圖1，在平面直角坐標系中，△OAB三個頂點的坐標分別為O（0，0），A（2，4），B（6，2）.求△OAB的面積.

圖1

圖2

二、基本解答

視點1：這是八上第5章《平面直角坐標系》第5.2節平面直角坐標系第二課時（新授課）的內容，課標要求是把一些簡單圖形置于平面直角坐標系中，探索點的坐標與線段長度之間的轉化，從而進一步感受“數形結合”的數學思想.基于此，應該引導學生得出以下兩種常用的面積分割法.

解法1：如圖2，過點A作DC⊥y軸，垂足為點C，過點B作DE⊥x軸，垂足為點E，兩條線相交于點D，則四邊形OCDE是長方形.（注：蘇科版義務教育教科書中《矩形》要到八年級下冊才出現）

解法2：如圖3，過點A作AF⊥x軸，垂足為點F，過點B作BE⊥x軸，垂足為點E，則四邊形AFEB是直角梯形.

視點2：八上第6章《一次函數》的單元復習課，課標要求是能根據一次函數的圖像，利用待定系數法確定一次函數的表達式，在經歷用一次函數解決問題中增強應用意識，并逐步加深對函數思想的理解.基于此，應該引導學生得出以下兩種常用的函數解析法：

圖3

圖4

解法3：如圖4，過點A作AF⊥x軸交直線OB于點G，垂足為點F，過點B作BE⊥x軸，垂足為點E.首先，利用待定系數法分別求出直線OA的解析式為y=2x，直線OB的解析式為y=x，然后再由A（2，4）得出G（2，），從而求出線段AG=AF－GF=4－=.

解法4：如圖5，延長線段BA交y軸于點H，過點A作AC⊥y軸，垂足為點C，過點B作BK⊥y軸，垂足為點K.首先利用待定系數法求出直線AB的解析式為y=-x+5，然后再求出H（0，5），從而得出線段OH=5.

視點3：蘇科版義務教育教科書數學八年級上冊的目錄依次為：第1章《全等三角形》，第2章《軸對稱圖形》，第3章《勾股定理》，第4章《實數》，第5章《平面直角坐標系》，第6章《一次函數》，因此到期末復習課時，又可結合前面的第1章《全等三角形》和第3章《勾股定理》的相關知識，通過判斷三角形的形狀再加以解決.基于此，應該引導學生得出以下兩種常用的形狀判定法.

圖5

圖6

解法5：如圖6，過點A作AC⊥y軸，垂足為點C，過點B作BD⊥AC，垂足為點D.

在△OAC和△ABD中，

所以△OAC≌△ABD（SAS）.

因為AC⊥y軸，所以∠ACO=90°.

所以∠OAC+∠AOC=90°，所以∠OAC+∠BAD=90°.

所以∠OAB=90°，即△OAB是直角三角形.

（注：蘇科版義務教育教科書《二次根式》要到八年級下冊才出現，這里用的是平方根的意義求解，下同）

所以OA2+AB2=OB2，

由勾股定理逆定理可知，∠OAB=90°.（下面的解法同解法5）

三、教學反思

1.一題多解的教學起點應該源于學生的認知現實

在當前的初中數學課堂教學中，無論是基于學生的想法，還是基于老師的預設，一題多解教學似乎是課堂教學的標配，某些學校（或各類評優課）甚至把它納入到課堂評價的范疇.因為一題多解教學確實能夠幫助學生夯實基礎，提高學生的認知能力，同時也可以培養學生思維的發散性和靈活性，提高學生的創新能力.但我們需要關注的是一題多解的教學起點：學生的認知現實.一題多解教學必須要在學生對有關的知識和技能熟練掌握的基礎上進行，如果學生對有關的知識和技能沒有熟練掌握，就談不上靈活運用，談不上縱向、橫向聯系，也就不能進行一題多解教學.相反，學生對基礎知識掌握得越深刻，越透徹，基本技能越嫻熟，越靈活，一題多解教學效果就越好.本課時的教學目標是探索點的坐標與線段長度的轉化.因此，對于該題的解答，比較符合學生認知現實的應該是面積分割法，即解法1和解法2.也就是說，在新授課上，該題的一題多解教學更多的應該體現在“面積分割”方法的多樣性上，而不是急于用形狀判定法，即解法5和解法6，這樣反而會導致因其他難點（形狀判定）而淡化課時目標.

2.一題多解的教學節奏應該基于課標的分層遞進

《義務教育數學課程標準（2011年版）》在第一部分前言的課程基本理念中明確指出：“課程內容的呈現應注意層次性和多樣性.”第四部分實施建議的教材編寫建議中也提出：“重要的數學概念與數學思想要體現螺旋上升的原則.”這就要求我們要樹立與新課程相適應的教學觀：在不同學習階段重復呈現特定的學科內容（也包括解題方法），同時利用學生日益增長的心理的成熟性，使學科內容不斷拓展與加深——分層遞進，螺旋上升.因此，一題多解的教學節奏也應該基于課標要求，從“一步到位”向“分層遞進”轉變.分層遞進的基本策略主要有三條：一是教師的教要適應學生的學，學生的學是有時空差異的，教師的教也要有分層差異；二是每一個學生都有充分發展的潛能，要促進他們在原有基礎上得到較好的發展；三是學生之間的差異是一種可以開發利用的教育資源.筆者認為，對于求解此類三角形面積問題，解法1和解法2比較適用于新授教學課，解法3和解法4比較適用于單元習題課，解法5和解法6則適用于期末復習課，而到了初三中考復習課，應該是在復雜圖形背景下對上述6種解法進行綜合運用，如2017年江蘇蘇州中考壓軸題第28題第（3）小題：

如圖7，二次函數y=x2+bx+c的圖像與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，OB=OC.點Q在函數圖像上，CD∥x軸，且CD=2，直線l是拋物線的對稱軸，E是拋物線的頂點.

（1）求b、c的值.

（2）如圖7，連接BE，線段OC上的點F關于直線l的對稱點F′恰好在線段BE上，求點F的坐標.

（3）如圖8，動點P在線段OB上，過點P作x軸的垂線分別與BC交于點M，與拋物線交于點N.試問：拋物線上是否存在點Q，使得△PQN與△APM的面積相等，且線段NQ的長度最小？如果存在，求出點Q的坐標；如果不存在，說明理由.

圖7

圖8

3.一題多解的教學追求應該終于數學的整體理解

在學生了解多種解題方法之后，學生的解題思維不能到此完結，因為學生此時對各種解題方法的認識還不是非常深刻：哪些是一般的解法，哪些是創新的巧法，哪種是最簡便的解法等，這些都需要逐步引導學生自己去思考，進一步去認識.復習課需要重復但又不能簡單的重復，需要知識技能再認識，思想方法再升華，活動經驗再積累，核心素養再落實，應重而不復.比如，在初三中考復習階段，把本例的條件“B（6，2）”改為“B（5，2）”，那么通過判斷三角形形狀的解法5及解法6就行不通了.而對于利用面積分割的解法1及解法2，其實是源于初一年級（甚至在小學階段）的網格圖，也不應該是初三中考復習的教學追求.那么對于初三年級的孩子，該題的教學追求究竟是什么呢？不妨先看2017年蘇州中考第28題第（3）問的略解：

設點P坐標為 （n，0），則PA=n+1，PB=PM=3－n，PN=－n2+2n+3.作QR⊥PN垂足為R.

因為S△PQN=S△APM，

當點Q在直線PN的左側時，Q點的坐標為（n－1，n2－4n），R點的坐標為（n，n2－4n），N點的坐標為（n，n2－2n－3）.在Rt△QRN中，NQ2=1+（2n－3）2，所以n=時，NQ取最小值.此時Q點的坐標為 （， －）.

當點Q在直線PN的右側時，Q點的坐標為（n+1，n2－4），同理，NQ2=1+（2n－1）2，所以n=時，NQ取最小值.此時Q點的坐標為 （，－）.

“一覽眾山小”，站在初三中考要求、課標要求、以及學生數學核心素養要求的高度來審視此類三角形面積求解問題，強化學生函數建模能力的解法3和解法4是更容易揭示問題的本質結構的最優解法.這就相當于是在認知與元認知兩個層面都有所提升、有所收獲，這應該是該題一題多解的教學追求.

總之，一題多解的教學，應根據學生的年齡特征與知識積累，在遵循科學性的前提下，宜采用分層遞進、螺旋上升的原則，而且在深度、廣度等方面都要有實質性的變化，即體現出明顯的階段性要求.所以，如果真正能夠做到把一題多解的教學作為一個分層遞進的整體來思考，通過新授課首呼、習題課中聯、復習課尾應，那么，必定可以在學習數學的過程中掌握“四基”，在應用數學的過程中提高“四能”，最終在學習與應用數學的兩個過程中整體達成“六核”的數學學科核心素養目標.