平面幾何命題建議：回歸教材與堅守課標
——從2018年北京中考卷第27題說起

☉江蘇省泰州市姜堰區實驗初級中學 許小燕

每年全國各地中考試卷幾百份，真是盡顯中國文化的豐富多樣.僅就平面幾何這一塊的考查來看，各地的考查重點、難點真可謂“天上人間”，國家層面的“課標”對平面幾何的教學要求似乎都被一些地方的命題專家們忽視，只是在填寫命題“雙向細目表”時，才想起把自己刻苦、深入鉆研出來的幾何難題貼上教材上某頁某題是原型的標簽.然而，作為首都北京的中考試題，在全卷倒數第二題竟然考查了一道教材上的經典幾何題，讓很多人不解，認為北京這是在降難度、送分給學生.然而筆者有不同看法，本文就從北京這道幾何綜合題說起，提出一些自己的思考，拋磚引玉.

一、從北京考題說起

考題 （2018年北京卷，第27題）如圖1，在正方形ABCD中，E是邊AB上的一動點（不與點A，B重合），連接DE，點A關于直線DE的對稱點為F，連接EF并延長交BC于點G，連接DG，過點E作EH⊥DE交DG的延長線于點H，連接BH.

（1）求證：GF=GC；

（2）用等式表示線段BH與AE的數量關系，并證明.

圖1

圖2

思路簡述：

（1）根據“點A關于直線DE的對稱點為F”想到連接DF，這樣待證的“GF=GC”在△CDG和△FDG中，只要證它們全等即可.這樣思路就連通如下：

先證△ADE≌△FDE，可得AD=DF，∠DFE=90°，再借助于正方形ABCD的邊長溝通出DF=DC，∠DFG=90°，于是Rt△CDG≌Rt△FDG.從而問題獲證.

（2）先由（1）問“成果擴大”，在圖2中，△ADE≌△FDE可帶來∠ADE=∠FDE，Rt△CDG≌Rt△FDG可帶來∠CDG=∠FDG，于是∠EDG=∠ADC=45°，進一步，可確認△DEH是等腰直角三角形.這時我們將問題刪減無關線條，得出圖3這樣的簡化圖形，當然這也是一個熟悉的“教材圖形”（八年級平行四邊形一章中有類似習題）.

圖3

圖4

圖5

一個典型證明思路：如圖4，在AD上截取AM=AE，構造等腰直角三角形AME，再證出△DME≌△EBH.即可把BH轉化為ME，從而實現問題突破BH=ME=AE.

二、回顧反思

北京卷出來后，有些老師對這道考題很是不解，說北京卷“倒二”怎么考了一個“老掉牙”的考題？熟題出現在這么重要的位置，似乎有些不可思議.筆者有不同見解，以下先對兩個小問所涉及的基本圖形梳理如下：

第（1）問涉及的所謂“半角模型”，如圖5，設E、G為正方形邊BC、CD上的點，則下列命題等價：

①∠EAG=45°；②△CEG的周長等于正方形ABCD周長的一半；③EG=BE+DG.

第（2）問涉及一道教材經典問題，如圖6，四邊形ABCD是正方形，點E是邊AB上一點，∠DEG=90°，EG交正方形外角的平分線BG于G.求證：DE=EG.

圖6

圖7

圖8

這道經典問題各種版本教材上都有，除了上面提供的構造思路是有效的，以下兩思路也是常見的：

思路1：如圖7，在DA延長上截取AN=AE，構造等腰直角三角形ANE，再證△DAE≌△BAN，進一步證出平行四邊形BGEN；

思路2：如圖8，連接BD，作EH//AD，交BD于H點，可證△DEH≌△EGB，獲證.

三、關于幾何綜合題命制的思考

第一，嚴守課標，中考平面幾何的命題不宜創新

《義務教育階段數學課程標準（2011年版）》對第三學段平面幾何的各個知識點都有明確的要求，比如關于“圖形的相似”有如下表述：“了解相似三角形的判定定理：兩角分別相等的兩個三角形相似；兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似；三邊成比例的兩個三角形相似.”可以發現，相似三角形的判定只是“了解”要求，而檢索各地中考試卷最后一道大題，涉及復雜相似的綜合題不在少數，有些涉及需要多次相似，而且需要添加輔助線構造相似來處理，對比課標“了解”要求，似乎都有些超標了.這樣來看，中考平面幾何的命題考題，就不必過分創新，特別是由某個平幾圖形出發，深入挖掘圖形中的很多奇異性質，并精心偽裝，讓學生通過較為復雜的輔助線構造，才能轉化為一種所謂的模式圖形或基本圖形，也許這些探究在平時的教學或課外拓展挑戰中更加適合一些，而對于中考這樣的全員參與式的“畢業、升學”兩考合一的考試命題來看，還是應該嚴守課標不走樣，不打擦邊球，特別是不能憑著命題組個別成員的平面幾何興趣，設計出一些個性化成分很高的較難平幾題，這是對課標的理解和執行不到位，需要對照課標啟動問責的命題行為.在這里我們還可提及這樣一種事實：高考數學試卷中，往往也有一道平幾何試題，但是難度只相當于中考試卷中的幾何的中檔題的難度；那些較難的平幾難題基本都是出現在高中數學競賽試題中，而高中數學競賽參與的學生只有極少數.在這個人數比來看，有些中考試卷中設計出一些很難的平面幾何題作為把關題實在是出力不討好的尷尬做法.筆者就曾聽很多高中老師抱怨：“你們初中教了那么多的平幾難題，我們高中又不再學習，何苦浪費很多學生時間，影響學生數學學習的信心與興趣呢？”

第二，回歸教材，重視教材經典問題的變式考查

如上分析，嚴守課標的平面幾何命題不宜過分創新，那么一個重要的操作方法就是回歸教材，重視教材經典問題的變式考查.具體來說，初中教材上有很多例題、習題都有大量的經典問題，這類問題教材上練過、講過.有些命題者一方面在寫“命題雙向細目表”時每道題都對應著教材上相關例、習題，然而另一方面對所謂教材原型問題改編得面目全非，所謂原型出在教材第幾冊第幾頁，只是標簽式的解釋，不值一駁.而北京卷這道正方形考題就給我們提供了如何把教材問題進行變式考查的示范.也就是在經典問題的呈現方式上進行適度包裝，待學生解讀條件之后就會有熟悉的經典問題出現，從而順利解決問題，重在整理規范的幾何推理語句進行表述和推理書寫.

第三，理解數學，平幾教學價值著力點在于推理

根據章建躍博士提出的“三個理解”，其中理解數學是第一位的，不只是課堂教學需要理解數學，對于命題（中考、期末、學業水平測試等各級考試命題）都需要把理解數學放在第一位.很多命題中的亂象，根本上說就是理解數學出了問題.比如平面幾何的命題，這些年不少地區以函數圖像為背景、平面直角坐標系為平臺，引出平面幾何的一些復雜模型、各種變換后探求某些點的存在性，本質上說這些問題都是平面幾何問題，與所給的坐標系、函數圖像無甚聯系，雖然最后也要求點的坐標、或某函數圖象的解析式，然而問題的真正難點是“超越課標要求”的幾何模型與輔助線構造，這就使得學生負擔加重，進入題海，大量練習這些偽坐標系考題，到頭來出現一些學者眼中的“怪怪的試題”（北京 賀信淳老師），既不是函數題，也不是平面幾何題.我們現在的義務教育階段仍然保留了平面幾何教學內容，但隨著數學的發展，平面幾何中也有很多繁難內容需要舍棄，保留很多經典內容的教育價值主要為了發展學生的邏輯推理能力，而不是繁雜或奇異幾何性質的學習.因為義務教育階段平面幾何是普適性，面向全體學生，從這個角度看，“課標（2011年版）”再次降低平面幾何的要求，特別是對圓的很多內容、相似的要求不斷削弱是值得肯定的.相應的，各級命題人員應積極跟進，嚴格執行國家層面課標要求，降低中考對平面幾何的考查要求，回歸教材經典習題的考查.對個別地區無視國家課標要求的，“個性化”命制超標幾何題的命題行為，教育行政主管部門要加強命題培訓和試題評審，讓命題超標現象越來越少.