突出選拔評價功能，導向核心素養教學
——2018年浙江省杭州市中考數學試題評析與思考

☉浙江省寧波市四眼碶中學 潘小梅

2018年，浙江省各地市仍然實施獨立命題.仔細賞析和研究2018年杭州市中考數學試題，筆者認為杭州中考卷具有“突出選拔評價功能，導向核心素養教學”的命題立意，從以下幾個方面和各位同行分享交流.

一、試題總體評析

1.創新考查數學基礎知識和基本技能

2018年杭州市中考數學學科考試時間100分鐘，試卷共23題總分120分，其中選擇題10題共30分，填空題6題共24分，解答題7題共66分.通過這三種題型，全面考查初中數學的基礎知識和基本技能.若干試卷考查基礎知識大部分都是學生曾經見過的題，本卷中出現不少“不按套路出牌”的基礎題，創新考查基礎知識和基本技能，達到了良好的效度.舉例如下：

案例1 （原卷試題4）測試五位學生“一分鐘跳繩”成績，得到五個各不相同的數據，統計時，出現了一處錯誤：將最高成績寫得更高了.計算結果不受影響的是（ ）.

A.方差 B.標準差 C.中位數 D.平均數評析：該題改變以往統計量的考查更重視計算的現象，突出對統計量意義的理解.

案例2 （原卷試題8）如圖1，已知點P是矩形ABCD內一點（不含邊界），設∠PAD=θ1，∠PBA=θ2，∠PCB=θ3，∠PDC=θ4，若∠APB=80°，∠CPD=50°，則（ ）.

A.（θ1+θ4）-（θ2+θ3）=30°

B.（θ2+θ4）-（θ1+θ3）=40°

C.（θ1+θ2）-（θ3+θ4）=70°

D.（θ1+θ2）+（θ3+θ4）=180°

評析：本題是選擇題，可以根據選擇題的特點進行解題，比如嘗試給θ1、θ2、θ3、θ4中的一些角賦值，當θ1確定時，θ2就隨之而確定，當θ3確定時，θ4就隨之而確定，再在這些特殊值下驗證4個選項哪一個選項正確.學生也可以表示△ABP的內角和是90°-θ1+θ2+80°，表示△CDP的內角和是90°-θ3+θ4+50°，利用△ABP和△CDP的內角和都是180°建立等量關系90°-θ1+θ2+80°=90°-θ3+θ4+50°，直接得到θ1、θ2、θ3、θ4之間的不變關系（θ1+θ4）-（θ2+θ3）=30°.本題突出了選擇題的解題特點，同時又較好地考查了學生運用三角形內角和等基礎知識解決問題的能力.

圖1

另有第5題比較三角形同一條邊上的高線和中線的關系，考查了一般三角形的普遍規律又關注了特殊三角形的特殊情況，第19題，第22題等圖形都是根據學生平時常見的圖形提出不同視角的考查問題，走出了“基礎題就是考知識、技能”的誤區，體現了公平性、普及性，實現了“高立意、低起點”.

2.突出考查數學核心概念和思想方法.

縱觀全卷，命題者非常重視對數學核心概念和思想方法的考查，如全卷對函數及其相關概念和思想方法的考查尤為突出.因為函數統領代數式、方程、不等式，是數與代數板塊的核心內容，同時因為函數又能與幾何建立聯系，因此函數內容又是連接“圖形與幾何”與“數與代數”的橋梁，函數的相關知識是初中數學的核心知識.杭州卷歷來重視函數知識的考查，在2018年的中考數學卷中可以說有淋漓盡致的體現.列表如下：

題號 考查內容體現 涉及分值8 在點P的運動中，考查四個角之間不變的關系，蘊含了函數思想 3 9 直接考查二次函數的最值，二次函數與一元二次方程的關系 3 10 隨著點D的位置改變，AD AB的值改變，S1 S的2 3值跟著改變，蘊含了函數思想15 以行程問題為背景考查一次函數圖象的理解與運用 4 17 以貨船卸貨為背景考查運用反比例函數解決問題的能力 6 20 考查一次函數的解析式，綜合考查反比例函數的性質 10 22 考查二次函數的性質，綜合考查運用不等式解決問題的能力 12 23 以幾何問題為背景寓函數思想，考查建立函數模型解決問題的能力 12

從以上表格可知，2018年杭州卷在函數內容的考查上確實“花大力氣，下苦功夫”，凸顯函數知識在整個初中數學的地位，同時也為初高中數學銜接教學起了很好的導向作用.

從問題解決的視角來看，全卷特別重視數學思想方法的考查，“抽象、推理、模型”三大思想滲透在試題中，并以顯性的思想方法如“數形結合思想、分類討論思想、整體思想、化歸思想”等具體體現，著力引導學生學會思考，學會學習.舉例如下：

案例3 （原卷試題15）某日上午，甲、乙兩車先后從A地出發沿一條公路勻速前往B地，甲車8點出發，圖2是其行駛路程s（千米）隨行駛時間t（小時）變化的圖像.乙車9點出發，若要在10點至11點之間（含10點和11點）追上甲車，則乙車的速度v（單位：千米/小時）的范圍是_______.

圖2

圖3

評析：本題是填空題，只需要給出答案，學生可以有不同的解決問題的方法：如用算術的方法：從圖像可知，甲車3小時行駛120千米，可見平均每小時行駛40千米（這個數據與一般公路汽車行駛速度有較大差距，不符合現實），乙車比甲車晚出發1小時，說明追及的路程為40千米，若1小時內追到，則乙車速度為40÷1+40=80（千米/小時），若2小時內追到，則乙車速度為40÷2+40=60（千米/小時），故乙車速度v的范圍是60≤v≤80.如列不等式解決，設乙車的速度為v千米/小時，則解得60≤v≤80；如畫圖像解決，則學生可畫如圖3所示的圖像，表示乙車的粗虛線與表示甲車的直線的交點M的橫坐標在2與3之間，此時點M的縱坐標在80和120之間，當點M的縱坐標為80時，說明1小時行駛80千米，速度為80千米/小時，當點M的縱坐標為120時，說明2小時行駛120千米，速度為60千米/小時，所以速度v的取值范圍是60≤v≤80，體現了運用數形結合思想解決問題的過程.

另外還有第16題以折紙問題為背景綜合考查軸對稱圖形的性質、方程思想；第23題考查了函數思想和數形結合思想等等，這些試題都較好地讓學生體驗數學思想方法在數學學習中的作用.

3.重視數學試題的教學導向功能.

《義務教育課程標準（2011年版）》指出，評價既要關注數學學習的結果，也要關注數學學習的過程，激勵學生的學習，改進教師的教學.中考屬于選拔性考試，理想的評價是能考查學生日常的學習過程和學習習慣，考查學生的學習潛能，為不同水平的學生創造合適的教育.仔細研究2018年杭州中考卷，在這方面也有努力嘗試和體現.舉例如下：

案例4 （原卷試題18）某校積極參與垃圾分類活動，以班級為單位收集可回收的垃圾，下面是七年級各班一周收集的可回收垃圾的質量頻數表和頻數直方圖（如圖4每組含前一個邊界值，不含后一個邊界值）.

（1）求a的值.

（2）已知收集的可回收垃圾以0.8元/kg被回收，該年級這周收集的可回收垃圾被回收后所得的金額能否達到50元？

圖4

評析：本題以時下的熱點話題“垃圾分類”為背景考查學生從統計表和統計圖中獲取信息分析解決問題的能力，其中第2小題與大部分統計題直接讓學生計算平均數、中位數等統計量不同，而是要求學生估計可回收垃圾被回收后所得金額，學生要在真正理解統計圖的信息后才能作出判斷：根據每一組前一個邊界值求最小值，而不是根據每組的組中值進行估計，真正考查了學生運用數據信息解決問題的能力.

案例5 （原卷試題21）如圖5，在△ABC中，∠ACB=90°，以點B為圓心，BC的長為半徑畫弧，交線段AB于點D，以點A為圓心，AD長為半徑畫弧，交線段AC于點E，連接CD.

（1）若∠A=28°，求∠ACD的度數.（2）設BC=a，AC=b，

①線段AD的長度是方程x2+2ax-b2=0的一個根嗎？說明理由；

圖5

評析：浙教版八年級下冊第2章《一元二次方程》給出了一則閱讀材料，介紹了人類歷史上尋求一元二次方程的求根公式的歷史.在歷史長河中，古希臘數學家丟番圖在公元250年前后就已經提出一元二次方程的問題，當時古希臘人用圖解法求得一元二次方程的解.以和b為兩直角邊作Rt△ABC，再在斜邊AB上截取BD=，則AD的長就是方程x2+ax=b2的一個正根.本題第2題中的第①小題判斷根的情況如出一轍：用圖解法展示了方程x2+2ax-b2=0的一個正根是線段AD.倡導日常教學重視教材閱讀材料的使用和研究，也考查了學生平時學習知識的習慣：能否較好地理解問題，這也與我們浙江省教育廳倡導各校開展拓展課程的理念吻合，體現了很好的教學導向.

這些根植于教材的試題，減少了因機械訓練、刷題對考試產生的負面影響，啟示廣大教師脫離題海，創造性地使用教材，潛心研究課堂教學，回歸教學本源.

二、特色試題研究

2018年杭州中考數學全卷23題，全卷總體難度不大，采用多點壓軸的方式，現選取筆者認為最有區分度的兩道試題深入研究它們的解法和命題特點.

案例6 （原卷試題10）如圖6，在△ABC中，點D在AB邊上，DE//BC，與邊AC交于點E，連接BE，記△ADE，△BCE的面積分別為S1，S2，（ ）.

A.若2AD＞AB，則3S1＞2S2

B.若2AD＞AB，則3S1＜2S2

C.若2AD＜AB，則3S1＞2S2

D.若2AD＜AB，則3S1＜2S2

試題研究：本題是本卷的選擇最后一題，以學生常見的一個三角形為背景提出了4個相關聯的命題，筆者從解題思路歷程和命題策略兩個視角進行研究和剖析.

圖6

（1）解題思路歷程：看到A，B，C，D四個選項都有條件“2AD＞AB”與“2AD＜AB，想到采用特殊值法試一試，如取，選項A正確；如取，選項D正確；于是在選項A與D之間徘徊然后從最特殊的2AD=AB入手考慮，此時點D，E分別是線段AB，AC的中點，＜，當2AD＜AB時，點D在線段AB中點上方，S減小，S12增大，說明選項D一定正確，于是選項C，B明顯錯誤，選項A不確定，但由于選項D是一定正確，可以確定選擇D，并斷定選項A成立有一定的條件.繼續研究何時選項A成立，設=x（0≤x≤1），=y，△BDE的面積為S3，則

（2）命題策略賞析：粗看本題的4個選項，似乎A與B，總有一個是正確的，C與D也總有一個是正確的.這種經驗可能源于學生平時的生活和學習經驗，因為他們經常會碰到這樣的4個命題：

命題1：若x＞2，則2x＞4；命題2：若x＞2，則2x＜4；

命題3：若x＜2，則2x＞4；命題4：若x＜2，則2x＜4.

在這4個命題中，有2個真命題.

事實上，在以上的4個命題中，條件“x＞2”是結論“2x＞4”的充分必要條件，所以命題4也是正確的.如果我們試著將以上的4個命題改為以下4個命題：

命題1：若x＞2，則2x＞3；命題2：若x＞2，則2x＜3；

命題3：若x＜2，則2x＞3；命題4：若x＜2，則2x＜3.

由于“x＞2”是結論“2x＞3”的充分條件，所以以上4個命題只有命題1正確.本題正是利用這樣的現象進行命題.本題的4個選項從“2AD與AB”的關系與“3S1與2S2”的關系提出4個命題，既有聯系又有區別，充分發揮了選擇題的優勢，體現了選擇題的特點，可稱選擇題中的“精品”！稍顯遺憾的是，若學生能夠從特殊情況得到選項D一定正確，則其他3個選項就失去了它的考查功能.

圖7

圖8

圖9

圖10

案例7 （原卷試題23）如圖7，在正方形ABCD中，點G在邊BC上（不與點B、C重合），連接AG，作DE⊥AG于點E，BF⊥AG于點F，設=k.

（1）求證：AE=BF；

（2）連接BE、DF，設∠EDF=α，∠EBF=β，求證：tanα=ktanβ；

（3）設線段AG與對角線BD交于點H，△AHD和四邊形CDHG的面積分別為和，求的最大值.

試題研究：本題是本卷的最后一題，以學生常見的一個正方形為背景衍生了3個小題，筆者從解題思路歷程和命題策略兩個視角進行研究和剖析.

（1）解題思路歷程：讀到該題，先看到一個正方形的基本圖形，易證△AED≌△BFA可知AE=BF，第（1）小題得證，同時我們也可以得到DE=AF.接著考慮第（2）小題，如圖7，注意到α，β都已經在一個直角三角形中，可以直接轉化為線段比，直接從左邊證到右邊，

以上解法從面積問題的“補”聯想到“割”，進一步聯想到“比”，一步步走向優化，體現問題本質.

（2）命題策略賞析：本題以學生熟悉的正方形為考查的載體，通過點G在正方形BC邊上的位置改變，探索圖形中主要元素位置關系和數量關系的變化過程，是一道寓函數思想的動態性試題：把點G的位置改變數量化為k（=k）值的變化，k值的變化相當于自變量的改變.接著展開了層級遞進的設問：設問“1求證AE=BF”，起點低，學生易于進入解題狀態，同時也讓學生感悟點G位置改變時圖形中數量關系的不變性，這一問也為后續2問的解決作了較好的鋪墊；第（2）問實質是表明“=k”，在這個式子中，隨著點G的位置改變，α，β，k這三個量都隨著改變，但它們卻能和諧地相融在式子=k中，讓學生進一步感悟“運動中不變性”的美妙！第（3）問設問隨著點G位置的改變，的變化規律，體悟線段AG右側四邊形被對角線BD分割成的兩塊圖形的面積會隨著k值的變化而變化，并在點G為BC的中點時達到最大.從以上的解法歷程可知，都需要把“形”轉化為“數”來刻畫，潛移默化地滲透了數形結合思想.筆者在第一次獲得問題解的過程中，感覺這3問雖梯度明顯，具有較好的區分度，但這3問“自立山頭”，沒有層級遞進的關聯，考查學生綜合運用信息解決問題能力的效度降低.但隨著問題解決方法的逐漸優化，逐漸體會它們之間的關聯：第（1）問的結論屢次用在（2）、（3）兩問中，毋庸置疑.第（2）問的結論雖未滲透到第（3）問中，但是解題方法卻如出一轍：上述解題思路歷程中第2問將“”變形為”與第（3）問優化思路“”變形為“類似，這種解題方法的關聯更能考查學生的能力；再者學生若發現第2問tanα=1-k，tanβ=，也可以啟發學生聯想第（3）問也是一個與k相關的代數式，從而確定尋求問題解決的方向.

筆者認為，本題遵循了寓函數思想的動態性試題的命題特點，考查了學生綜合運用四邊形、相似、函數等初中數學核心知識解決問題的能力，具有良好的區分度和效度，體現了命題的導向.

三、命題與教學啟示

1.重視教材的使用與挖掘，夯實基礎知識和基本技能

基礎知識和基本技能指的是學生通過初中三年需要掌握的必備知識和能力，是檢驗初中學生達成初中學業水平的基本指標.各地中考試卷一直通過試題倡導教師落實基礎知識和基本技能，據不完全統計，2018年杭州中考試卷中有70%的題目都有教材習題的影子，以教材原題為母題提出不同視角的設問或者適當改編，考查學生是否真正理解知識并會靈活運用知識.落實基礎知識和基本技能，不意味著反復訓練，而是要求老師要重視教材的使用和挖掘，將教材內容作為原始資源進行開發和利用，在通過教材深入挖掘提高教師研究能力的同時，扼制題海戰術，減輕學生的課業負擔.

2.重視數學思考操作體驗，培育數學思想和活動經驗

在日常教學中，許多老師為趕進度將數學知識灌輸給學生或偽探究草草收場，注重結論的使用技巧而忽略知識的形成過程；復習教學中，很多老師把數學復習等同于做題目，把大量的時間花在解題和講題上，但是在講題的時候沒有展示解題思路是如何形成的，解決方法是如何構想的，答案的獲得對學生來說有種說不出的神秘感，這樣的教學使得學生以操練經驗代替理性思考，善于模仿而不善于思考，一遇到陌生的問題情境就一籌莫展，數學思維能力得不到實質性的提高.比如本卷第22題第（2）小題“二次函數y=ax2+bx-（a+b）（a，b是常數，a≠0）的圖像經過A（-1，4），B（0，-1），C（1，1）三個點中的其中兩個點，求該二次函數的表達式”，經過三個點中的兩個點，貌似需要分類討論，實則從解析式可知二次函數必過定點（1，0），根據平時二次函數圖像的學習經驗，二次函數的圖像不可能經過橫坐標相同的兩點，因此經過A，B兩點成為必然.這一點學生在平時不止一次地碰到過，學生仍然不會做，歸根結底是沒有學會思考，教師在教學時對數學思想方法的滲透停留在表面.所以，數學教師要在學生思維能力的培養上下功夫，不能只注重學生對知識的掌握、技能的訓練及方法的傳授，不能僅僅關注學生解題的層面，而應關注學生是否通過解題明白了一些原理，真正讓學生從數學的精神、思想中提高數學素養.

3.重視培養學習品質，提高數學核心素養

數學學習的最終目的是以數學知識為載體，發展學生適應社會發展和終身發展的必備品格和關鍵能力，形成核心素養.在數學學習過程中形成的意志品質和學習習慣對學生今后的為人處事等都會產生深刻的影響.解題教學中，教師通過對問題的分析、可能結果的預測、解決方法的探尋、嚴格的解答這些程序去培養學生處理問題的預見能力和有條理的思維能力，通過教學生解題培養學生的意志力.幾何學習中“嚴謹思維、規范表達”是學生平時學習過程中日積月累養成的習慣，很難通過短暫的復習階段作出明顯的改進.這就要求我們教師從學生進行幾何的入門教學之初開始，就要培養學生良好的思考和解題習慣：比如從直觀到推理、從推理到論證循序漸進地培養學生幾何說理、證明、表達的習慣，培養學生能自如地將文字語言、圖形語言、符號語言進行轉換.面對不同程度的學生，可以適當放慢學習的進度，不僅要求學生在課堂中學會口頭表達，教師還要耐心地進行適當的板演，讓學生學會層次清楚地進行表述，做到推理研究、論證完整、條理分明.其實，規范的表達后面往往彰顯了嚴謹的思維.學生良好的思考和表達習慣的養成有賴于我們教師良好的教學習慣.