兼顧基礎與能力 關注素養與發展*
——2018年北京市數學中考試卷評析

☉江蘇省無錫市太湖格致中學 陳 鋒

☉江蘇省無錫市水秀中學 張杭嫣

2018年各地中考已陸續落下帷幕，縱觀各地數學中考卷，在體會命題團隊巧思妙造，精心構思之余，更感受到試題所散發的自然數學的魅力和其對日常教學的引領.其中，以2018年北京中試題更為突出.2018年北京數學中考試題共28題，滿分100分.試題以《義務教育數學課程標準（2011年版）》為依據，立足教材；以促進學生核心素養發展為評價理念，穩中求變，充分體現了低起點、寬角度、多層次、重運用的特點，既全面考查了初中數學的基本知識與基本技能，又兼顧了應用能力與創新意識的考查，不僅有利于不同層次的學生發揮出自己不同的水平，而且對日常教學有著較好的指導作用.

一、注重基礎知識，突出生活數學

1.結構穩定、內容合理

作為一份義務教育階段的終結性考試試卷，命題者做到了易、中、難題的比值約為7∶2∶1，試卷從“四基”入手，較好地覆蓋了初中數學教材的核心知識模塊，考試內容分值比例恰當，基本符合《考試說明》要求，重點考查了“數與代數”“圖形與幾何”“概率與統計”三大板塊，同時也滲透了“綜合與實踐”的相關內容.

項目 分值 權重試題類型分布選擇題 16 16%填空題 16 16%解答題 68 68%試題內容分布數與代數 43 43%圖形與幾何 41 41%統計與概率 10 10%綜合與實踐 6 6%

2.前后貫通、思路清晰

回顧2016、2017年的北京中考試題，可以發現有一些題型前后貫通，可謂是組成了一部“連續劇”，在觀看這部“連續劇”的過程中，我們發現命題者思路清晰，逐步展開問題引導，而答題者拾級而上，逐步形成解題思路和方法.

例1 （2016年北京市數學中考試題第16題）下面是“經過已知直線外一點作這條直線的垂線”的尺規作圖過程.

如圖1，已知：直線l和l外一點P.P l圖1求作：直線l的垂線，使它經過點P.作法：如圖2.（1）在l上任取兩點A，B；（2）分別以點A，B為圓心，AP，BP長為半徑作弧，兩弧相交于點Q；（3）作直線PQ；P A Q圖2 B

請回答：該作圖的依據是_____________________.

例2 （2017年北京市數學中考試題第16題）圖3是“作已知直角三角形的外接圓”的尺規作圖過程

已知：Rt△ABC，∠C=90°，來作△ABC的外接圓.

作法：如圖4.

圖3

（2）作直線PQ，交AB于點O；

（3）以O為圓心，OA為半徑作⊙O.

⊙O即為所求作的圓.

請回答：該尺規作圖的依據是_______________.

例3 （2018年北京市數學中考試題第17題）是小東設計的

“過直線外一點作這條直線的平行線”的尺規作圖過程.已知：直線l及直線l外一點P.求作：直線PQ，使得PQ∥l.作法：如圖5.

（1）在直線l上取一點A，作射線PA，以點A為圓心，AP長為半徑畫弧，交PA的延長線于點B；

（2）在直線l上取一點C（不與點A重合），作射線BC，以點C為圓心，CB長為半徑畫弧，交BC的延長線于點Q；

（3）作直線PQ.所以直線PQ就是所求作的直線.根據小東設計的尺規作圖過程，

（1）使用直尺和圓規，補全圖形；（保留作圖痕跡）（2）完成下面的證明.

證明：因為AB=__________，CB=__________，

所以PQ∥l（________）（填推理的依據）.

在這個連續進階的過程中，學生逐步加深了對尺規作圖的理解和思考，2018年的第17題突破了前三年只要回答一個作圖依據的限制，從閱讀入手，進一步完成尺規作圖，最終尋找作圖依據，對思維的考查更加全面與完整.類似這樣的“連續劇”，北京中考卷中還能找出很多，通過這樣的題組練習，讓考生產生熟悉感，建立自信心，但更重要的是讓考生體會問題中所蘊含的思維方法和知識間的聯系，逐步掌握研究問題的一般規律，在提高考分的基礎上進一步提煉方法，事半功倍.

圖4

圖5

3.關注應用，聯系生活

試卷充分體現了數學源于生活最終又應用于生活的課程理念，加大了對數學閱讀的考查，又將數學文化融入了數學，既提升了學生的數學素養，又促進了學生的數學理解.如第8題的老北京地點問題，第14題的公交車線路選擇問題，第15題的租船費用最低問題，第25題的課程成績問題，都選擇了考生日常所熟悉的問題，在解答的過程中既考查了學生分析和解決問題的能力，又增強了學生學習數學的興趣，讓學生逐步養成用數學的觀點看待問題的能力.

二、注重思想方法，聚焦核心素養

1.特殊到一般——解題鍥入的基本手法

“從特殊到一般”是我們數學解題時常用的方法，2018北京卷命題者在出卷時，就注意引導學生沿著這條道路行走.

例4 （2018年北京市數學中考試題第23題）在平面直角坐標系xOy中，函數y==（x＞0）的圖像G經過點A（4，1），直線L∶y=x+b與圖像G交于點B，與y軸交于點C.

（1）求k的值.

（2）橫、縱坐標都是整數的點叫做整點，記圖像G在點A，B之間的部分與線段OA，OC，BC圍成的區域（不含邊界）為W.

①當b=-1時，直接寫出區域W內的整點個數；

②若區域W內恰有4個整點，結合函數圖象，求b的取值范圍.

圖6

在本題第（2）問中，命題者先設置了特殊值當b=-1時，求取區域W內的整點個數；正是在這一小問的解題過程中，考生尋找到了解題的常規思路和方法，如圖6，尋找陰影區域內的整點個數，顯然A（4，1），C（0，-1）限制了區域內整點縱坐標的上下限，而條件中的不含邊界則確定了符合題意的整點縱坐標只能為0，同樣的方法可以推得，橫坐標只能為1、2、3，故得這一小問的整點個數為3個；正是在這一小問的解題過程中，考生尋找到了解決問題的入手點，進而到第②小問中，特殊值b=-1消失，但考生有了第①小問的解題經驗，他們可以沿著剛才的解題思路繼續前行，從第①小問中的三個整點到第②小問中的四個整點，我們不由追問，直線y=x+b該向哪個方向平移呢？答案是顯然的，向右平移，此時（4，0）從邊界上的點變成了區域內的點，符合題意，但新的問題立刻產生，這樣的平移是無限的嗎？答案是否定的，因此我們要繼續尋找這樣的情況到什么時候結束呢？是右側的（5，0）還是下方的（1，-1）先進入區域呢？經過計算可以發現，當y=x+b過點（5，0）和（1，-1）時，b為同一個值-，故當b=-時，（5，0）和（1，-1）同時出現在區域邊界上，此時區域內還是四個整點，突破b=-時，區域內立刻出現了六個整點，故而可得若區域W內恰有4個整點，b的取值范圍為-≤b＜-1.此時我們通過先找臨界，再定范圍的方法得到答案，體現了從特殊到一般的解題方法.值得注意的是取值范圍的兩端臨界我們要特殊關注，等號能不能取要認真分析.當然，此題到這兒沒有全部完成，但后續內容方法一致，就不再繼續解答.回顧本題的解題過程，我們沿襲命題者提供的從特殊到一般的解題思路，進一步繼續努力，用臨界值完成了最后的求解，層次分明，難度遞進，引領考生不斷進行深入思考，進一步變考試過程為學習過程.

2.數形結合——解決函數的至關法寶

數形結合是初中階段最為重要的數學思想之一，它從七年級學數軸時開始萌芽，到八年級的平面直角坐標系正式發展，再到各類函數的學習中茁壯成長，當學生在函數學習的過程中不斷感悟到數形結合所發揮出的強大的功效時，這一思想正式在學生心中生根、發芽.

2018年北京中考卷中對這一思想的應用，得到了充分的體現.

如上題例4的解題過程中，第（2）問中①我們需要根據題意畫出反比例函數與一次函數的草圖，進而在圖像上描出圖像G在點A，B之間的部分與線段OA，OC，BC圍成的區域（不含邊界）為W即陰影區域，直觀圖形產生但無法精確定位，于是我們利用函數表達式計算出A、B、C及一次函數與x軸交點的坐標，用數據精確計算答案；第②小問則從一次函數圖像的平移入手，圖形開道，數據計算跟上；并且從函數的本質入手，一次函數圖像平移形成的區域內整數點的問題，也可以從一元一次不等式的整數解視角解讀，這樣就讓考生在更大范圍內再一次領略了數形結合的風采，掌握了函數解題的精髓.

3.互相融合——解題能力的思想精髓

除從特殊到一般、數形結合等思想方法外，2018年北京卷還融合了諸多思想，如分類討論（例4未完部分即需要對在b＜0的基礎上再對b＞0進行分類討論）、轉化、函數、運動、建模等，考查學生對知識的理解能力，將未知的問題轉化成已知問題的遷移和應用能力，所有這些思想與能力的考查，都自然地融合在層層推進的題意之中，所有這些思想蘊含于答題思考的發生、發展和過程中，是初中數學學習的精髓.

三、注重基礎模型，強調動手實踐

1.積累基本圖形，提煉基礎模型

幾何證明中，善于分離和聚焦基本圖形，往往能為解題排除干擾，使關鍵信息浮出水面，進而快速找到問題解決的突破口.

例5 （2018年北京市數學中考試題第27題）如圖7，在正方形ABCD中，E是邊AB上的一動點（不與點A，B重合），連接DE，點A關于直線DE的對稱點為F，連接EF并延長交BC于點G，連接DG，過點E作EH⊥DE交DG的延長線于點H，連接BH.

（1）求證：GF=GC；

（2）用等式表示線段BH與AE的數量關系，并證明.

根據條件點A關于直線DE的對稱點為F，我們可以立刻找到基本圖形：連接AF，則△ADE≌△FDE，進一步證得△FDG≌△CDG，進而產生∠EDG=45°，從而使問題（1）得到快速突破；接著根據條件過點E作EH⊥DE產生又一個基本圖形——“K字形相似”產生輔助線：作HP⊥AB交AB的延長線于P，接合∠EDG=45°使相似進化成了全等，同時也使問題（2）中的線段BH與AE轉化到了一個Rt△BPH中，進一步證得BP=AE=HP，從而求解.

在本題的求解過程中，兩次輔助線的產生都是依托于兩個基本圖形而自然產生的，它是思維與方法的智慧結晶.正是命題者注重了對基本圖形與基礎模型的考查，才使得我們能在解題時從紛繁復雜的圖形中一下子識別、捕捉到這些圖形，從而輕松求解.

圖7

2.嘗試動手實踐，關注學習過程

新課標從“雙基”到“四基”的變化，特別強調了基本思想和基本活動經驗，2018年北京卷第24題可謂是這一變化的生動體現.

例6 （2018年北京市數學中考試題第24題）如圖8，Q是AB與弦AB所圍成的圖形的內部的一定點，P是弦AB上一動點，連接PQ并延長交弦AB于點C，連接AC.已知AB=6cm，設A，P兩點間的距離為xcm，P，C兩點間的距離為y1cm，A，C兩點間的距離為y2cm.

小騰根據學習函數的經驗，分別對函數y1，y2，隨自變量x的變化而變化的規律進行了探究.

下面是小騰的探究過程，請補充完整：

（1）按照下表中自變量x的值進行取點、畫圖、測量，分別得到了y1，y2與x的幾組對應值；

圖8

X/cm 0 1 2 3 4 5 6 y1/cm 5.62 4.67 3.76 2.65 3.18 4.37 y2/cm 5.62 5.59 5.53 5.42 5.19 4.73 4.11

（2）在同一平面直角坐標系xOy中，描出補全后的表中各組數值所對應的點（x，y1）并畫出函數y1，y2的圖像；

圖9

（3）結合函數圖像（圖9），解決問題：當△APC為等腰三角形時，AP的長度約為_____cm.

初看此題，學生會習慣性地套用y1，y2是x的一次函數、二次函數還是反比例函數呢？但顯然毫無頭緒.試題忽略了具體的函數類型，而是從研究函數的一般方法入手，具體體現在人教版教材上冊的內容，先是任意取一些x，y的對應數據，以列表的方式的呈現，任何一個函數問題的研究都是從自變量，對應法則，函數這三個方面開始，當然這也是研究一般數學問題的普遍方法，即回歸概念，回歸數學本質.而函數的表達形式有三種，即表達式法，表格法，圖象法，而這三種表達形式在本題都一一呈現了，而在畫函數圖像時，又是根據基本方法列表，描點，連線.至于第三問的解決，就是讓學生從圖像的角度來解決，體現了函數本質，從一個確定的量到另一個確定的量，也進一步強化了數形結合.

命題者的高明之處在于讓試題解答弱化了運算、強化了思考，少了點套路、多了些理解.引導教師在教學中避免出現只關心結果、不注重過程的現象，這正是命題者用實際行動引導教師更新教學理念、轉變學生學習方法，不要只是一味地關注學習結果，更應該關注學習的過程及方法，它們才是解決數學問題的根本.

四、抓住數學本質，回歸課堂教學

數學課堂不能僅僅停留在“教”的層面，更應引導學生如何去“學”.事實上，學生掌握數學知識必須經歷由“學”到“悟”的過程，然后才是應用.從考前的課堂觀察，到2018年的北京的這份試卷，對教師的課堂教學有很強的正面導向作用.試題本身只是一個載體，我們需要研究的是命題者透過這個試題想表達一種什么樣的觀點，而無論是第23題還是第24題，都是引導教師重視課堂上學生對知識獲取的方式.同時，我們都能感受到，學生的學習能力和創造能力應該值得我們老師去關注、培養和信任.讓學生依據自己的認知特點和知識背景能夠找到不同的路徑通向結果，殊途同歸的過程中創造能力也就體現出來了.因此，關注學生“學數學”需要挖掘促進學生“深度思維”的資源.就需要在平時的教學中，關注學生“學數學”的過程，設置具體的問題情境，引導學生在相對復雜的情境中，把握數學知識內在的聯系，以增進學生對數和形的感悟能力.我想這些才是我們應該從2018年的北京的這份試卷背后所能真正感受到的數學本質和教學內涵.J