深度挖掘習題，拓展變式研究
——以一道教材幾何習題為例

☉山東省廣饒縣實驗中學 李國慶

課本習題是數學探究活動很好的切入素材，是問題延伸、解法衍生的關鍵材料.對習題進行拓展變式探究，有助于學生發現規律、形成解題方法、培養理性思維，下面將對一道幾何習題進行拓展探索.

一、習題挖掘

1.習題解析

在課本教材中存在如下一道習題：如圖1，△ABD和△ACE是兩個等邊三角形，試猜想CD、BE的大小關系，并結合幾何性質加以證明.

圖1

解析：猜想CD=EB，證明時需要將CD和EB放在△ACD和△AEB中，通過證明兩個三角形全等，利用全等三角形的性質來求解.

2.結構、本質分析

從問題的結構上來看，可以將△ABD和△ACE看成△ABC的邊AB、AC上衍生的等邊三角形.從問題的本質來看，CD和EB分別位于擁有共同頂點A的△ACD和△ABE中，且△ACD?△AEB，則可以將△ACD看成△AEB經過順時針旋轉60°得到的，因此解題時需要利用圖形旋轉的位置變而大小不變的性質，從三角形全等的角度來求解，這也是該習題教學中所承擔的任務，即強化學生全等三角形的證明及性質利用.

二、拓展探索

拓展探究1：由問題的本質認識可知，本題的求解核心是證明△ACD?△AEB，利用到了SAS定理，因此使上述兩個三角形獲得全等的條件是實現CD=EB的基礎，原習題中△ABC的邊上衍生了兩個等邊三角形，具有極大地特殊性，分析后易知若將衍生的三角形換成一般的三角形結論將不再成立，現嘗試將其換為等腰三角形，并配合一對頂角相等，繼續探究.

變式1：△ABC為一銳角三角形，分別以它的邊AB、AC為邊向外作等腰三角形△ABD和△ACE，使得AD=AB、AC=AE，∠BAD=∠CAE，然后連接CD、BE，如圖2，試猜想CD、BE的大小關系，并對其加以證明.

解析：猜想CD=EB，因為∠BAD=∠CAE，則∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC，即∠DAC=∠BAE.又因為AD=AB、AC=AE，所以△ADC?△ABE（SAS），則CD=EB（全等三角形的對應邊相等）.

本題目的條件換成了衍生等腰三角形，并配合一對頂角相等來繼續猜想，由于全等條件依然滿足，很顯然結論依然成立.以此為探究環境，可以隱去圖形中的一部分，進行探究，如下：

變式2：在如圖3所示的四邊形ABCE中，有AB=a，BC=b，∠ABC=∠ACE=∠AEC=45°，試求BE的長.

圖2

圖3

圖4

解析：題目中的△ACE為一等腰直角三角形，而隱去了由邊AB衍生的同類型三角形（等腰直角三角形），求BE的長可以參考變式1對圖像進行完善，以AB為直角邊作等腰直角三角形，如圖4，使得AD=AB，且∠DAB=90°，并連接CD.同樣可以證明△ADC?△ABE（SAS），有BE=DC，則只需要求出CD的長即可，可將其放在Rt△DBC中，可知BD=a，則由勾股定理可知CD=

剖析：上述的拓展探究所展開的兩個變式，實際上都是在同一平臺上進行的，即由一三角形的兩邊衍生特殊的三角形.其中變式2將其中的一個衍生三角形進行了隱去處理，給出相應的線段長，構建了一個四邊形.求解線段長同樣需要對圖形進行完善，即構造輔助線還原衍生三角形，利用習題的解題思路，先證明三角形全等建立邊長關系，再求解.整個過程涉及到眾多的思維活動，其中作圖、計算是基本操作，類比、猜想、證明是高層次的思維探究，充分掌握習題所呈現的衍生三角形解法是解題的關鍵.

拓展探究2：習題中所呈現的是以△ABC的邊AB、AC衍生的特殊三角形，且可以將△ACD看成△ABE繞點A旋轉一定的角度得到的，同樣可以考慮在邊BC上增加一個同側衍生三角形，使得平面內存在三個衍生三角形，并與頂點A形成一個四邊形，繼續從三角形的旋轉角度來探究圖形的形狀.

變式3：如圖5，△ABD、△AFC和△BCE分別是以△ABC的三邊AB、AC、BC為一邊在同側所作的三個等邊三角形.

（1）試證明四邊形ADEF為一平行四邊形；

（2）問：當△ABC滿足什么條件時，四邊形ADEF為矩形？

解析：證明四邊形ADEF為平行四邊形，需要對其角和線段關系進行研究，從圖形旋轉角度來分析，可以將△BDE和△ECF看成△BAC旋轉得到的，證明過程可以結合等邊三角形的性質，之后就可以利用旋轉特性、結合證明平行四邊形的條件來完成.而第（2）問證明四邊形為矩形，則需要加入一內角為直角，因為△ABD和△AFC為等邊三角形，則有∠BAD=∠CAF=60°，要確保∠DAF=90°，則∠BAC=360°-90°-60°-60°=150°.因此條件就是△ABC的內角∠BAC=150°.

上述的變式3是在三角形的同一側所作的三角衍生三角形，解題時發現可以從圖形旋轉角度思考，獲得了三個全等的三角形.同樣的可以在三角形的外側作三個三角形，并增加一定的條件，探究其中隱含的結論，現對其進行變式.

圖5

圖6

變式4：如圖6，△ABD、△AFC和△BCE分別是以△ABC的三邊AB、AC、BC為一邊在外側所作的三個等邊三角形.當∠ACB=60°時，試判斷S△ABC+S△ABD與S△BCE+S△ACF的大小關系.

解析：初步判斷S△ABC+S△ABD=S△BCE+S△ACF，求證時需要構建涉及到的四個三角形面積關系.很顯然，單純的利用面積公式來求解則會很復雜，需要從三角形全等的角度進行思考，我們可以利用∠ACB=60°先構建一個與△ACF全等的三角形，在BC邊上取一點G，使得AG∥FC，很容易獲得△ACF≌△ACG，則必然兩者面積相等，下面則只需證明四邊形AGBD與△BCE的面積大小相等即可，連接DG、EG，將四邊形AGBD切割為△DBG和△ADG，將△BCE切割為△CGE和△EGB，只需要證明△DBG≌△EGB、△DGA≌△ECG就可以完成證明，經推導證明條件可以獲得.

剖析：拓展探究二是從三角形構建的方向來進行的，即內側和外側，并發現內側構建時圖形中存在由一個三角形旋轉得到的兩個三角形，即有三個相互全等的三角形；而外側構建衍生三角形時，發現其中存在三角形的面積大小規律，當然這些結論是建立在特定條件上的，但總體來說是建立在以三角形的三邊衍生三角形的基本框架之上，其解題思路依然是習題中所陳述的利用三角形全等、旋轉角度進行分析，尤其是對于變式4的面積大小關系，通過三角形的切割依然可以看作是三角形的旋轉問題，利用旋轉的特性本質分析求解.

三、解后反思

1.關注教材習題，強化知識理解

本文所探究的習題，在教材中的目的是為鞏固學生全等三角形的證明及性質等知識，由于設計新穎，具有極好的拓展價值，因此本文對其進行了深度的拓展變式，近幾年的中考題也越來越多的注重從教材習題中提取素材，在教學中需要注重引導學生加以學習.另外，依托課本教學習題，從不同的角度、不同的層面進行拓展變式，有助于引導學生挖掘問題中的“變”與“不變”的內容，把握問題本質，強化學生對于知識的理解.

2.提煉數學模型，形成解題方法

上述開展習題的拓展探究實際上是對習題中隱含數學模型的探究，即從習題中提煉出研究問題的模型，然后對模型進行深度挖掘，實現問題模型的拓展推廣，因此可以說幾何解題的過程是對問題模型的研究過程，透析數學模型才是解題思路的核心所在.在教學中，教師應緊抓教材習題，提煉問題研究的數學模型，通過對模型的不斷發掘、聯想、變形、歸納，使學生充分掌握數學解題的本質方法.另外，在解題教學中應適當的結合中考題，將模型與考題進行結合，逐步凝題成鏈，由鏈結網，使學生通過一道題的探究掌握一類題的解法，真正達到“明題理，通類題”的頓悟境界.

3.探究習題規律，發展學生思維

對習題的拓展變式不是單純的一種創新與改編，而是基于知識內在聯系性的一種深度拓展，是一種研究型的學習方式.在問題的探究過程中可以引導學生多角度看待問題，發掘問題的隱含規律，總結其中的基本解法，獲得思維層面上的解題思路，如本習題的幾何圖形旋轉與特性利用，貫穿在整個變式問題中，它是求解三角形三邊衍生問題的核心方法，無論問題的形式如何變化，建立三角形全等關系是解題的基本途徑.因此在教學中，需要教師引導學生探究習題的隱含規律，掌握問題探究的基本方法，幫助學生完成從知識學習到方法總結、應用的過渡，使學生形成自我更新、完善的思維習慣.

四、總結

教材習題是十分有價值的教學資源，是中考的源題精化所在，對習題進行探究學習，不僅是一種高效的研究性學習手段，由于習題與階段性知識有著很好的銜接，還可以通過習題探究來幫助學生整合知識，探索規律，形成方法，獲得解題思路.課堂上開展習題的拓展變式，是實現課堂基礎教學向實用性解題研究的自然過渡，是實現學生概念思維向變式思維的完美銜接，數學之美融于習題，精心研磨習題，學生的思維才可以在解題中得以放飛.