探究幾何新定義，形成解題新策略
——以一道中考幾何新定義題為例

☉江蘇省清江中學 張紹俊

一、考題呈現

考題 （2018年江蘇淮安中考卷第26題）如果三角形的兩個內角α與β滿足2α+β=90°，那么我們稱這樣的三角形為“準互余三角形”.

（1）如果△ABC是“準互余三角形”，∠C＞90°，∠A=60°，那么∠B=__________.

圖1

圖2

（2）如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=5，如果AD是∠BAC的平分線，不難證明△ABD是“準互余三角形”；試問在邊BC上是否存在一點E（異于點D），使△ABE也是“準互余三角形”？如果存在，請求出BE的長；如果不存在，請說明理由.

（3）如圖2，在四邊形ABCD中，AB=7，CD=12，BD⊥CD，∠ABD=2∠BCD，且△ABC是“準互余三角形”，求對角線AC的長.

二、思路突破

第一步：理解新定義

在問題分析求解之前，必須先對問題所涉及到的幾何定義進行直觀理解，“三角形的兩個內角α與β滿足2α+β=90°”，以圖3所示三角形為例，如果2∠A+∠B=90°或者2∠B+∠A=90°，那么△ABC可稱之為“準互余三角形”.依據三角形內角和等于180°可知：如果存在關系“2∠A+∠B=90°”，那么∠A必須小于45°，∠B小于90°；如果存在關系“2∠B+∠A=90°”，那么∠B必須小于45°，∠A小于90°，兩角必須均為銳角.這樣結合具體的圖形可以充分理解問題中所陳述的新定義，有利于后面的思路分析與突破.

圖3

第二步：問題總體分析

基于上述對于定義的理解，對于問題（1）可知，由于∠C＞90°，∠A=60°，如果△ABC是“準互余三角形”，那么只可能存在一種情形，即2∠B+∠A=90°（∠B＜45°），代入角度即可求解.對于問題第（2）問，探求點E是否存在，可以先假設點E存在，然后分情況來分析，如果點E位于BC邊之上，很顯然∠AEB＞90°，那么同樣只可能存在兩種情形，后續只需結合幾何性質分析即可.最后一問是在四邊形中的△ABC為“準互余三角形”時，求解對角線AC的長，同樣需要分兩種情況來分析，總體思路是在四邊形中分析內角大小，然后根據角的關系構建相似三角形，利用相似三角形邊的性質來完成對角線的求解.

第三步：構建突破策略

1.定角突破

第（1）問已知∠C＞90°，∠A=60°，根據定義可知，由于2∠C或2∠A均大于90°，因此只可能存在一種情形：2∠B+∠A=90°，則2∠B=30°，解得∠B=15°.

2.點E確定

由于點E位于BC邊上，則∠AEB＞90°，則有2∠B+∠BAE=90°或者2∠BAE+∠B=90°兩種情形，但因點E異于點D，則第二種情形不滿足.由圖4可知，在Rt△ABC中，∠B+∠BAE+∠EAC=90°，又知2∠B+∠BAE=90°，可得∠B=∠EAC，分析可知△ABC∽△EAC，由相似性質可知，=，則EC==，所以BE=.

圖4

3.對角線AC求解

根據題意可知，∠ABC=∠ABD+∠CBD，∠ABD=2∠BCD，則∠ABC=2∠BCD+∠CBD=90°+∠BCD，所以∠ABC＞90°，存在兩種情形，分別進行討論：

圖5

圖6

①△ABC是“準互余三角形，∠BAC+2∠ACB=90°，假設∠ACD=x，∠ACB=y，分析可知∠BAC=90°-2y，∠ABD=2x+2y，則∠ABE=90°-2x，如圖5，但由于在△AEB中∠AEB=90°-x，則有x=0，與ABCD為四邊形相矛盾，故該種情形不存在.

②△ABC是“準互余三角形，2∠BAC+∠ACB=90°，可以從以下兩種思路來完成求解.

方法1：半角折疊構建倍角.由于∠ABD=2∠BCD，則可以將∠BCD沿著邊BC進行翻折，如圖6，則有∠DCB=∠ECB，所以∠DCE=∠ABD，又因為∠ABD+∠DBE=180°，則∠DCE+∠DBE=180°，即∠BDC+∠BEC=180°. 因為∠BDC=90°，所以∠BEC=90°，BC是∠DCE的角平分線，由角平分線的性質可知，CD=CE=12.因為2∠BAC+∠ACB=90°，可設∠BAC=θ，則∠ACB=90°-2θ，∠ACE=90°-θ，即∠ECB=θ，可得△ACE～△CBE，設BE=x，則=，解得x=9，即AE=16，CE=12，在Rt△ACE中使用勾股定理可得AC=20.

方法2：構建導角.

因為2∠BAC+∠ACB=90°，設∠BAC=α，則∠ACB=90°-2α，∠ABC=90°+α，過點B作BE⊥AB交AC于點E，如圖7，分析可知△CBE∽△CAB，由相似性質可得CB2=CE·CA.由2∠BCD=∠ABD可得∠BAC=∠BCD，則△BAE∽△DCB，設AE=7a，則CB=12a，可求得CE=9a，所以BE=，利用勾股定理可得AE=7a，所以AC=16a=20，即對角線AC的長為20.

圖7

三、考題評析

1.命題評析

本題目為涉及三角形內角的幾何新定義題，求解過程需要學生首先理解幾何定義，然后運用所學知識來解決問題，是對學生閱讀理解、知識運用、方法綜合能力的考查.問題的設置具有明顯的關聯性和遞進性，由角到點再到幾何對角線，問題層層遞進，環環相扣，分析過程由淺入深，由難到易，解法上前者對于后一問的分析具有一定的啟示作用，是關聯性考題的典型代表.

2.求解評析

新定義考題雖有著較為新穎的命題形式，但依然是基于學生知識基礎進行的幾何創新，理解定義的核心含義是問題求解的基礎，數形結合、模型建立是問題求解的有效方法，基于定義內容，把握知識聯系，是構建解題思路的基本策略.上述考題由于三角形內角大小的不確定性，使得新定義的“準互余三角形”具有多種不同形式，因此在分析問題時需要分類討論，根據角度大小的關系來完成特定情形下的問題求解.考題的第（3）問是本題的難點所在，其解題思路是基于前兩問的求解，上述采用了“由角到形，由形入性，以性歸質”的分析思路，即首先分析三角形內角關系，確立三角形的形狀關系（如全等、相似），然后利用三角形的性質來確定幾何線段的長度.求解過程在分類討論的基礎上采用了數形結合、模型構建的方法，而最后一問求解中采用了兩種構建策略，一種是利用幾何折疊來完成倍角構建，通過角度分析來建立邊長求解的代數方程；另一種是在三角形中構建幾何導角，同樣通過分析內角關系，利用相似性質構建方程求解.其中三角形相似、勾股定理是建立幾何關系到代數方程的重要途徑，是幾何線段求解的基本策略.

四、教學思考

近幾年的中考中出現了眾多的新定義考題，涉及到了幾何概念、代數名稱、運算法則、變化規律等，這些優秀的新定義題指引著中考的命題方向，也對中學教學有著重要的引領作用，結合考題分析，指導學生思考，啟發學生思維，是考題的價值所在，下面圍繞幾何新定義考題開展教學反思，探求教學建議：

1.基于新定義，強化閱讀理解

給出數學新定義是該類考題最為顯著的特征，一般定義中含有大量的文字信息以及必要的數學符號，以描述的方式給出與數學相關的定義.在求解時不應急于思考后續的問題，而應對定義進行文字提煉，并轉化為簡潔的數學語言，然后構建問題研究的數學模型，充分理解定義所表述的本質內容，這其中涉及到了語言的轉化、內容的理解以及模型的構建，對于定義的理解也應分上述三步來完成.因此，在數學教學中十分有必要強化學生概念理解、語言轉化的能力，結合數形結合思想指導學生開展數學建模，促進學生數學閱讀能力的提升.

2.基于關聯性，理解定義內容

中考新定義題的內容雖然與教材的概念定義有一定的差異，但考慮到其命題材料來源于教材，是以學生認知為命題出發點的，因此本質上還是對學生所學概念的一種另類變式.在閱讀新定義時可以充分結合教材的知識內容來理解題目定義，包括定義中的數學概念、基本性質和研究方法，思考定義內容與所學知識存在的關聯，如上述考題涉及到的“準互余三角形”，就可以聯想幾何中的互為余角，即α+β=90°，然后明確何種情形下可稱之為準互余三角形，進而理解準互余三角形所具有的特征，為后續的分析求解打下基礎.

3.基于思想方法，形成分析策略

本文所分析的考題為典型的幾何新定義題，求解過程采用分類討論思想將不確定性問題具體化，然后利用構造思想建立了問題研究的模型，并采用數形結合的方式來分析求解.本文第三問的求解分別采用了不同的構造方式，獲得了問題求解的關鍵條件，正是因為圖形的構建使得問題的思考過程更為簡潔，這種解題方式是幾何問題研究的基本策略.在教學中，不僅應使學生掌握基本的數學知識，還應該滲透思想方法，引導學生掌握問題的分析策略，掌握問題研究的基本方法，逐步形成自我的解題思路，獲得解題思維的提升.

五、寫在最后

中考新定義題對學生的知識運用能力提出了更高的要求，同時也對初中教學提出了新的目標要求，這是課改推行下的命題導向，也是素質教育的必然趨勢.提升學生能力應成為教學的主要目標，包括閱讀理解、信息提煉、知識歸納和模型構建能力.使學生獲得知識與能力的雙重提升，促進學生數學素養的持續發展.