“探”問題聯系 “析”圖形結構
——2018年安徽省初中學業水平考試數學試題壓軸題賞析

☉安徽省合肥市行知學校 周向榮

☉安徽省淮北市實驗學校 邱廣東

一、真題呈現

以下是2018年安徽省初中學業水平考試數學試題壓軸題：

如圖1，Rt△ABC中，∠ACB=90°，點D為邊AC上一點，DE⊥AB于點E.點M為BD中點.CM的延長線交AB于點F.

（1）求證：CM=EM；

（2）若∠BAC=50°，求∠EMF的大小；

（3）如圖2，若△DAE≌△CEM，點N為CM的中點，求證：AN∥EM.

圖1

圖2

二、答案簡析

第（1）問利用“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”可得CM=BD=EM.

第（2）問仍抓住“直角三角形斜邊上的中線把其分成兩個等腰三角形”這一特點，可得∠EMF=180°-∠EMC=180°-（∠EMD+ ∠CMD）=180°-2 （∠EBD+∠CBD）=180°-2∠ABC=180°-2（90°-∠BAC）=180°-2×（90°-50°）=100°.

第（3）問是本大題難點.最基本的兩種證法如下：

思路一：由題意可得AE=EM=CM=DE=DM，∠CME=90°，∠AEM=150°，∠EAC=45°，∠MCA=75°.若連接AM，可證∠AMC=∠ACM=75°.又點N為MC的中點，所以AN⊥MC，因此AN∥EM.

三、試題賞析

本題共3小問，滿分14分，考查了初中幾何直線型的核心知識，是對學生空間觀念、幾何直觀以及推理和應用意識的綜合考查.第（1）問考查直角三角形的性質，知道直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半.第（2）問主要考查等腰三角形的性質、三角形中線的關系；也可以通過證明C、D、E、B四點共圓，其中點M為圓心，利用圓周角定理來解決問題.第（3）問主要考查全等三角形的性質、等腰三角形的判定及性質、等邊三角形的判定及性質、相似三角形的判定及性質等，解題方法較多.三個設問環環相扣，第（1）問入口寬，大多學生極易上手.第（2）問是第（1）問的延伸，有利于考查學生數學思維過程，以及靈活運用知識解決問題的能力.第（3）問是對前面圖形特殊狀態下（∠BAC=45°，AE=ME）的深入研究，符合安徽省多年來命題風格，符合核心素養導向.三個問題又呈現出三個不同視角，第（1）問探究邊的數量關系，第（2）問探究角的大小，第（3）問探究線段的位置關系.整體題干簡潔，有一定的區分度.下面筆者重點就本題從問題聯系、圖形結構和拓展思考等角度談談自己的看法.

1.第（2）問的背后隱含了什么？

我們知道，圖1是一個一般直角三角形，若設∠A=α，則∠CBA=90°-α，這時∠CME=180°-2α.又CM=EM，若連接CE（如圖3），可得∠ECM=α=∠CAB.因此，無論點D如何運動，∠ECM始終等于∠CAB.當∠CAB=45°時，∠CAB=∠CBA=∠ECF，這就變成了學生常見的半角模型，存在很多學生熟知的結論.命題者為降低難度，給出∠BAC的具體度數，求∠EMF的大小，意在讓考生領悟圖中角與角之間的關系，也為解決第（3）問埋下伏筆.

2.第（3）問的圖2特殊在何處？

圖2在圖1的基礎上增加了條件△DAE≌△CEM，本質是將一般直角三角形變成了等腰直角三角形，且AE=EM.此時圖中出現了一個特殊的三等邊四邊形（有三條邊相等的四邊形）.如圖4，AE=EM=MC，且∠AEM+∠EMC=240°，其中∠EMC=90°.此圖如果弱化條件∠EMC=90°，即在四邊形AEMC中，AE=EM=MC，且∠AEM+∠EMC=240°，該四邊形能分割成一些特殊的基本圖形.

圖3

圖4

分割方法1：分割成等腰△CMP、等邊△PME和等腰△PEA（如圖5）.（附證明思路：以EM為邊作等邊△PME，連結PC、PA，可證∠MPC+∠MPE+∠EPA=180°，即點C、P、A三點共線）

分割方法2：分割成等邊△CMP、菱形PMEA和等腰△PCA（如圖6）.

分割方法3：原圖還可以看成菱形CMEP和等邊△PEA組成的圖形切割掉等腰△PCA而成（如圖7）.

基于以上任何一種分割方法，還可得到四個內角之間有著固定的數量關系，即：若∠A=α，則∠C=120°-α，∠AEM=240°-2α，∠CME=2α. 此 時 ∠CME=2∠A，∠AEM=2∠C.

特別地，在圖7中，當∠CME=90°時（如圖8），菱形CMEP變成了正方形，此時AC=AM，點A在邊CM的中垂線上，即點A與CM中點的連線垂直于CM且與EM平行，這也是前面壓軸題第（3）問需要證明的結論.

圖5

圖6

圖7

圖8

3.圖2還可以提出哪些問題？

在圖2中我們知道，∠DEB=∠DCB=90°，∠DBE=30°，∠DBC=15°.若作CH⊥DB，垂足為H（如圖9），易得△DEB∽△CHM，且相似比為2∶1，其中=2.因此此圖還可以弱化為圖10.在四邊形BCDE中，∠DEB=∠DCB=90°，CH⊥BD于H，若∠EBD=2∠CBD，則DE=2CH，證明思路同上.

圖9

圖10

四、幾點思考

反觀學生的學、教師的教，回眸這些年安徽中考數學試題，筆者談談自己的幾點思考.

1.關注聯系，加深對數學本質的理解

一道中考幾何壓軸題往往是以多個問題來呈現，由易到難.命題的常見策略是從特殊到一般，或從一般到特殊，或是對互逆命題的研究等，這都是數學研究的一般思路和方法.這些都體現了數學問題與問題之間必然存在一定的內在聯系，能否看清內在聯系往往是解決問題的關鍵.因此，在習題教學中，教師要帶領學生分析命題者設置問題背后的所思所想，通過分析問題間聯系，尋求難題的解決路徑.不僅如此，為提高這方面認識，在新知教學階段，特別是九年級復習教學，都需要教師引導學生學會梳理知識結構，認清代數、幾何、三角等各部分內容之間的相互聯系，同時也明晰同一部分內容中知識的前后邏輯關系——縱向聯系、橫向聯系，從中領悟數學研究的一般思路和方法，從而加深對數學本質的理解.

2.加強基本圖形的再探究，加深對圖形結構的理解

何為基本圖形？筆者認為平時所學的等腰三角形、直角三角形、平行四邊形等就是平面圖形中的基本圖形，初中數學教材中系統研究了這些圖形定義、判定及其性質，在此基礎上還學習了特殊的等腰三角形和特殊的平行四邊形的相關知識.由于基本圖形內涵豐富，變化空間大，介于一般四邊形與平行四邊形之間還有很多未曾開墾的領域值得關注，因此有很大的再探究空間.比如只有一組對邊平行的四邊形（梯形），2018年安徽中考數學壓軸題中出現的有三條邊相等的四邊形，一組對角為直角的四邊形（即共圓的四邊形），等等.它們同樣有著一些豐富的結論.歷年安徽中考數學試題一直與特殊四邊形有著解不開的情結.比如2013年安徽中考數學第23題，研究對象是只有一組鄰角的四邊形（準等腰梯形）；2015年安徽中考數學第8題，研究對象是有三個內角相等的四邊形；2015年安徽中考數學第23題，研究對象是只有一組對邊相等的四邊形；2017年安徽中考數學第20題，研究對象是一組對邊平行一組對角相等的四邊形等.

幾何基本圖形的再探究一直是安徽中考命題的試驗田.在平時的教學中，帶領學生通過對具有某一特征的圖形深入研究，掌握其內涵及外延.在遇到一個復雜圖形時，將其進行分離，若有研究過的基本圖形，就可以直接運用研究結果有效解決問題.同時還培養了學生的幾何直觀能力，提高了對圖形的認識，能從令人眼花繚亂的圖形中窺探出我們熟知的幾何圖形，化整為零.

3.指向核心素養，關注試題命制改革

考試評價是教育教學的指揮棒，它直接決定教師學科教學的方向和內容.考什么、評什么就教什么，這是教師最現實也是最無奈的選擇.因此考試評價改革是讓核心素養落地的最直接、最重要的保障.為提升基于核心素養的命題改革，本題做了很有價值的嘗試，立意具有方向性和層次性，設問具有思維性和開放性.這也是命題走向核心素養的基本要求.

我們究竟要考什么？是知識、技能，還是能力、素養，這是命題工作的方向和靈魂.解決本題需要具備的知識都是學生必須掌握的非常熟悉的知識，能否解決問題區別在于學生的能力及素養.特別對于第（3）問，要求學生能綜合運用數學思想方法和探究能力，運用結構化的知識、技能，創造性地解決問題.在設問上，三個問題學生感覺熟悉而又陌生.其中第（3）問給予了考生獨立思考和個性表達的空間，充分展現考生在解決問題過程中的思維品質.

據了解，不少考生花了接近一個小時來做這一題，占考試時間的一半，而且并未解決.這說明不少學生對于陌生題解題能力較弱，平時訓練只一味刷題，只注重題量，不注重反思總結；教師教學時，只關注解題過程及結果，忽視思維過程的呈現等，這都值得我們反思.

總之，這是一道信度與效度較高的中考數學壓軸題，體現了《義務教育數學課程標準》（2011年版）倡導的“面向全體學生”的基本理念，關注核心內容，引領并促進數學核心素養在平時的教學中落地生根.J