把握特征與本質，優選方法構函數
——以一道幾何動點問題為例

☉蘇州高新區實驗初級中學 張 萍

一、考題呈現，思路突破

1.考題呈現

（2018年江蘇宿遷市中考卷第28題）如圖1所示，在邊長為1的ABCD中，動點E、F分別位于邊AB、CD上，將正方形ABCD沿著直線EF折疊，使點B的對應點M始終落在邊AD上（點M不與點A、D相重合），點C落在點N處，MN與CD相交于點P，設BE=x.

（2）隨著點M在邊AD上的位置發生變化，△PDM的周長是否會發生變化？如若變化，請說明理由；如果不變，請求出該定值.

（3）假設四邊形BEFC的面積為S，試求S與x之間的函數表達式，并求出S的最小值.

圖1

2.思路突破

分析：本題目為常見的幾何動點問題，問題涉及到了幾何動點的長度、周長和面積等，求解需要借助基本圖形的性質.（1）因BE=x，則AE=1-x，求x的值可以將其放在Rt△AEM中，利用勾股定理來構建關于x的方程，通過解方程的方式求x的值.（2）點M為AD上的不確定點，判斷△PDM的周長是否會發生變化，可以將其周長表示出來，利用幾何性質對其周長所涉及到的線段長進行轉化，從而確定其值，然后進行分析.（3）四邊形BEFC為直角梯形，可以利用梯形的面積公式，（FC+BE）·BC，可知只需用含有x的參數分別表示出BE、FC的線段長度即可.

解：（1）因BE=EM=x，則AE=1-x，在Rt△AEM中，AM2+AE2=EM2，則）2+（1-x）2=x2，解得x=.

圖2

（2）連接BM，BP，過點B作MN的垂線，垂足為點H，如圖2，根據條件可以證明△ABM?△HBM，所以AM=HM，AB=BH=BC，可證△BHP?△BCP，所以HP=PC，△PDM的周長=MD+DP+MP，其中MP=MH+HP=AM+PC，則C△PDM=MD+DP+AM+PC=AD+DC=2，所以△PDM的周長不會發生變化，為定值2.

圖3

（3）過點F作BC的平行線，與AB相交于點Q，連接BM，如圖3，根據折疊的特性可知∠QFE=∠ABM，AB=QF，∠A=∠EQF，分析可知△ABM?△QFE，所以AM=QE，設AM=a，在Rt△AEM中利用勾股定理可得（1-x）2+a2=x2，解得，AM=QE=，則.S四邊形BEFC=（FC+BE）·BC=代入上述函數表達式可得：時，S取得最小值，最小值為.

3.考題評析

本題目屬于數學中的動點變化問題，問題涉及到了線段、周長、面積的求值，是對學生綜合分析、解題能力的考查.該類問題的顯著特點是以點的運動為基本條件，給出了點運動產生的一個或多個變量，要求學生分析幾何變量之間關系以及圖形運動情況，包括線段長度、角度變化、圖形形狀、幾何面積等.其中較為特殊的問題是建立關于運動變量的函數表達式，表面上屬于簡單的函數問題，實際上是依托動點，研究幾何性質，如上述考題的第（3）問，要求建立面積S關于x的函數關系，并分析S的最大值，形式上屬于函數問題.但考慮到面積公式需要求解幾何線段，而線段長度的獲得離不開幾何關系的分析，因此實質上還是幾何性質的分析題.本題目所求圖形為含有直角的特殊梯形，利用梯形的面積公式可以直接建立關于幾何線段的面積函數，簡單轉化可建立關于動點參數的二次函數，通過代數分析的方式來求解梯形面積的最大值，是幾何數形結合思想與方程思想的綜合利用.

二、考題銜接，解法探究

建立幾何動點中的面積函數是數學常見的考題，上述考題第（3）問所涉及幾何圖形為具有直角的梯形，因此可直接利用面積公式來完成，該種思路并不具有一般性，如若圖形為一般的幾何圖形，則難以直接利用公式求解，需要合理的對問題模型進行轉化，現對其求解策略進行深入探討.

1.關于面積關系的轉化

對于一般圖形的面積函數建立，有時可以依據幾何性質，建立一般圖形與特殊圖形的面積關系，如對于具有共同高的幾何圖形，可以依據圖形底的幾何性質進行等面積轉化，然后通過分析已知圖形的線段關系來建立函數解析式.

圖4

例1 （2018年山東泰安市中考卷第16題）如圖4所示，在△ABC中，AC=6，BC=10，tanC=，點D是AC邊上的動點（不與點C相重合），過點D作DE⊥BC，垂足為點E，點F是BD的中點，連接EF，設CD=x，△DEF的面積為S，則S與x之間的函數關系式為__________.

分析：問題求解動點的面積函數解析式，需要建立△DEF的面積與線段x之間的關系，由于△DEF為一般的三角形，無法直接利用面積公式，對于△DEF的面積求解可以以DF為底，構建其底上的高，考慮到點F為線段BD的中點，若△DBE以BD為底，則與△DEF具有相同的高，兩者之間的面積關系為則只需求解△DBE的面積即可，而對于△DBE可以利用BC邊上的垂線DEBE·DE，后續只需研究BE、DE與CD的關系即可.

上述考題求解一般圖形的面積采用的是面積大小關系的轉化，即利用線段的中點性質，建立待求圖形與特殊圖形的面積關系，然后利用動點建立的線段參數表示求面積所涉及的線段長，整個過程思路清晰，構思巧妙，對于規則的一般圖形面積求解有一定的參考價值.

2.利用面積割補的轉化

而對于一般的不規則圖形，不僅沒有可利用的面積公式，而且難以直接進行面積轉化，此時則可以考慮采用面積割補的方式將其轉化為幾個規則圖形的組合，然后利用規則圖形的面積公式，建立線段長度關于動點參數的關系，間接獲得幾何面積的函數解析式.

例2 （2018年山東青島中考卷第24題）已知：如圖5所示，在四邊形ABCD中，AB∥DC，CB⊥AB，AB=16cm，BC=6cm，CD=8cm，動點P從點D開始沿著DA邊作勻速運動，動點Q從點A開始沿著邊AB作勻速運動，它們的運動速度均為2cm/s.點P和點Q同時出發，以QA、QP為邊作平行四邊形AQPE，設運動的時間為t（s），0＜t＜5.請根據題意回答下列問題：

（1）用含有t的代數式表示AP；

（2）設四邊形CPQB的面積為S（cm2），求S與t的函數關系式.

分析：（1）t表示的是點的運動時間，可以用距離公式來表示AP；（2）求S與t的函數關系式，實際上就是用時間t表示四邊形CPQB的面積，由于CPQB不規則，可以采用面積割補的方式，利用規則圖形表示其面積，如SCPQB=SABCDS△PDC-S△PQA，然后分別用t表示分割后圖形的面積即可.

解：（1） 可得AD=10，PD=2t，AP=AD-PD=10-2t.（2）SCPQB=SABCD-S△PDC-S△PQA，過點P作PM⊥AB于M.延長MP、CD交于點N，則四邊形NMBC為矩形，∠N=90°，則AQ·PM，其中NP=t，AQ=2t，PM=6-t，所以×（8+16）×6-

圖5

本題目所求四邊形為不規則四邊形，無法利用面積公式來直接建立關于時間參數的面積函數，解題過程采用面積割補的方式來構建四邊形，然后分別建立圖形面積關于時間參數的函數.需要注意的是在求解線段長時要合理利用幾何性質，如線段垂直、角平分線等.

求解幾何動點的面積函數需要利用面積公式，將面積轉化為線段關于動點參數的函數，轉化的方法與所求圖形的形狀有著直接的關系，即形狀決定解法，對于特殊的圖形可以采用直接求解的方式，而對于一般的三角形則可以采用面積關系法，不規則圖形則可以采用面積割補的方式，利用規則圖形的面積函數來完成.

三、解后思考，總結感悟

幾何動點的問題類型很多，其中構建面積函數的表達式是其中較為特殊的問題，由于動點的存在，圖形的形狀呈現多樣性，打開問題的突破口是構建基本解題框架的關鍵，需要把握問題特征，挖掘問題的本質，結合有效的思想方法及構建方式來完成.

（1）問題特征：對于動點問題的特征提取，需要從點的運動形式以及問題條件來看，求面積需要已知邊長，則需要將運動參數轉化為線段長度，因此需要注意提取問題中的運動參數，并確定點的運動軌跡.

（2）問題本質：動點函數表達式求解題，雖然從形式上看屬于函數問題，但考慮到求解過程需要已知幾何的線段長度，因此需要分析幾何的關系，因此依然屬于幾何性質、關系的分析題，求解的關鍵是構建線段長度關于運動參數的關系，該過程離不開幾何性質的利用.

（3）求解思想：該類問題的解題過程實際上是依托轉化思想來對問題和條件進行的轉化，即轉化已知問題形式，聯系已知條件，在此基礎上利用方程思想來構建函數的表達式，建立兩個變量之間的關系，并考慮變量的取值.

（4）解題方法：對于不同的問題條件需要采用對應的解題方法，其中直接求解、面積關系、面積割補是其中常用的方法，方法選取得當可以極大的提高解題效率，需要注意的是方法的選取要結合點的運動情況.

動態面積函數表達式求解題雖然相對較為復雜，但可以遵循一定的解題策略，即首先分析圖形特征，確定運動規律；然后轉化問題條件，探尋幾何關系；最后求解線段長度，構建關于面積函數的表達式.動態幾何問題是對知識與能力的多重考查，求解過程不僅是知識的綜合利用，還需要調動思維，結合思想方法來探究，因此鞏固基本知識，建立知識聯系，強化解題思想是學習的關鍵.