唯有研究活水來
—— 一次對課本習題改編的意外收獲

☉湖北省武漢市光谷實驗中學 吳國慶

課本不僅是新課教學的藍本，而且是復習備考的根本，我們教師在教學中抓綱務本，研究吃透教材，其必要性是不言而喻的.

面對中考復習備考，數學老師會為整天做不完的題目而煩惱，學生也會為負擔重而抱怨，這時我們不妨把研究的目光轉向課本，可能會從中得到意外的收獲.下面就以筆者2018年中考復習備考中研究一例為線索，展示其過程，希望能夠給讀者帶來啟示.

一、研究過程

1.課本呈現

題1 （人教版九年級上冊課本第101頁習題24.2第6題）如圖1，PA，PB是⊙O的切線，A，B為切點，AC是⊙O的直徑，∠BAC=25°，求∠P的度數.

題2 （人教版九年級上冊課本第122頁復習題24第1題（3）小題）如圖2，PA，PB分別與⊙O相切于A，B兩點，∠P=70°，則∠C=（ ）.

A.70° B.55° C.110° D.140°

圖1

圖2

兩道題都涉及到切線長基本圖，點C均在優弧AB上，只不過題1點C位置特殊，題2點C位置一般.從設問看，兩道題都是涉及求角度問題，依據切線長基本圖作基本輔助線，都很容易求出.

2.改編重組

由題1，2的相似點，兩個問題比較容易組合起來，再賦予邊的關系，融入三角函數，于是問題便會出現另外一片天地，如下題：

題3 PA、PB為⊙O的切線，A、B為切點，點D為優弧AB上的一點.

（1）如圖3，證明：∠P+2∠D=180°；

圖3

圖4

解析：（1） 如圖3，連接OA，OB，由∠AOB=2∠D，∠P+∠AOB=180°可證結論成立；

也可設OA=R，由AO2=OK·OP可得：OP=，由AO2+PA2=PO2可得：R2+90a2=，所以有（R2+9a2）（R2-10a2）=0，所以R2=10a2，AK=3a，所以tan∠D=tan∠AOK==3.

我們發現，解決問題的核心圖形和輔助線并沒有改變，從（1）問到（2）問中點D的位置，體現了一般到特殊關系.計算∠D的正切，其實只需轉化到Rt△AOP中的射影圖（即知OK，AP求射影圖中其余線段問題），問題中設參不同，其計算量也會有差別的.通過圖形改編重組演變，我們發現題目源于教材，高于課本，對學生的能力有一定要求.

3.再次優化

在備課組集體研討下，結合本市中考命題方向，我們對試題又進行如下改編：

題4 如圖5，PA為⊙O的切線，A為切點，點B為圓上一點，點D為優弧AB上的一點，∠P+2∠D=180°.

（1）如圖5，證明：PB是⊙O的切線；

圖5

圖6

解析：（1）證明：連接OA，OB，證OB⊥BP即可.

（2）連接OP，OB，OP和AB交于點H，由切線長基本圖可得OP⊥AB，AH=BH，OP∥DB，△PHC∽△DBC，PH：BD=HC：BC，由BD=2得OH=1，由PB=3，設HP=x，由△OHA∽△AHP得AH：OH=PH：AH，所以AH=，由OH2+AH2=OP2-PA2得HP=9，故AH=BH=3，再設HC=m，由△PHC∽△DBC得9∶2=m（∶3-m），所以m=，AC=.

問題也可設OA=x或AH=x，得出的方程都是4次方程，一樣可以求AC.

在題3基礎上，對于（1）問，交換了問題的條件和結論；第（2）問將“BP∶BD=3∶2”改為“BP=3，BD=2”，讓問題中線段長度以數值呈現，降低了設參計算難度，但問題變為求線段AC的長度，增加了圖形中的相似難度，而且圖形構造變得較復雜，增加了試題對學生能力的甄別性.

4.中考真題

題5 （2018年武漢市中考21題）如圖7，PA是⊙O的切線，A是切點，AC是直徑，AB是弦，連接PB、PC，PC交AB于點E，且PA=PB，

（1）求證：PB是⊙O的切線；

圖7

圖8

解析：（1）證明：如圖8，連接OB，OP，OP交AB于點F，通過△OAP≌△OBP可證明問題結論.

（2）如圖8，連接BC，由∠APC=3∠BPC，可得∠OPC=∠BPC=∠BCP，所以CB=PB，設CB=PB=2a，則OF=a，設PF=x，仿照題3計算方法，可得

問題中（1）問還是回歸到基本的三角形全等，有利于對幾何中重要知識的考查，關注了基礎薄弱的學生考試情緒，體現了人文關懷；（2）問中，命題者既關注了圖形中角的關系，又著眼于線的關系，問題為求線段比值，而且稍微增加了計算難度，從而提升了試題綜合度，更能全面考查學生的幾何能力.

二、啟示收獲

數學課本是專家們按照課程標準編寫，積淀了不少數學人的集體智慧，因此我們一線老師怎樣讀懂課本用好教材，這是一個長期的過程.在新課階段，主要任務應該是從課本中教給學生新知，讓學生掌握好數學基礎知識，而在復習階段，除了梳理知識成體系外，更多的應該是對課本進行深度挖掘，橫向類比，增加知識的深度和廣度.

各地中考試題，都體現出“回歸課本”，如武漢市2018年中考，24道題中就有22道源于教材.中考復習，怎樣做到減負增效，避免題海戰術？從大量復習資料中走出，回歸教材應該是出路，可怎樣讓“回歸課本”落地生根呢？回歸不應該只是知識簡單重復，機械識記，應該是從思維高度上對課本進行深度思考融合，當然經過篩選后課本一些問題可以選作訓練，可我們做的大量工作應該是對問題進行重組、深化、演變、拓展，生成新的復習題，讓初中數學核心知識和方法融入復習題，通過復習題訓練學生方法和思維，從而提升學生在中考中的競爭力.

文中筆者在中考前對課本習題重組改編深化，并不是有意“猜題押題”，但出現解題主體思想和中考題高度相似的情況，純屬巧合，但我們畢業年級數學老師應該初心不變，即“中考復習，抓綱務本，減負增效，以人為本”.