基于新課程理念下的獨立重復(fù)試驗的教學(xué)設(shè)計

鄭建平 王文彬

摘 要：數(shù)學(xué)教學(xué)在本質(zhì)上是數(shù)學(xué)思維活動過程的教學(xué)，數(shù)學(xué)教學(xué)不僅是要傳授知識，更重要的是要通過數(shù)學(xué)教學(xué)讓學(xué)生掌握科學(xué)的學(xué)習(xí)方式、學(xué)會學(xué)習(xí)、學(xué)會創(chuàng)造，而這只有按照數(shù)學(xué)知識產(chǎn)生的思維過程組織起探究性的課堂教學(xué)才有可能實現(xiàn)。

關(guān)鍵詞：獨立重復(fù)試驗；知識的聯(lián)系；思維過程

一、 教材分析

（一） 從知識的聯(lián)系看教材的地位和作用

獨立重復(fù)試驗是指在相同條件下重復(fù)地、彼此獨立地進行的一種試驗。在這種試驗中，每次試驗的結(jié)果只有兩種，即某事件要么發(fā)生，要么不發(fā)生，并且在任何一次試驗中該事件發(fā)生的概率都是相同的。在推導(dǎo)n次獨立重復(fù)試驗中某事件發(fā)生k次的概率公式時需要用到概率加、乘運算及組合知識。另外，在n次獨立重復(fù)試驗中某事件發(fā)生k（k=0，1，2，…，n）次的概率，組成了離散型隨機變量的一種重要概率分布——二項分布。可見，獨立重復(fù)試驗是古典概率知識的復(fù)習(xí)與綜合，與二項式定理之間也有著密切的聯(lián)系。

（二） 從數(shù)學(xué)方法論的角度看知識產(chǎn)生的思維過程

從數(shù)學(xué)方法論的角度看知識產(chǎn)生的思維過程，一是要看知識是為解決什么問題而提出來的，即看知識產(chǎn)生的必要性；二是要看知識是怎樣被提出、被猜測、被證明出來的，即看知識產(chǎn)生的合理性。

1. 必要性

由于現(xiàn)實生活中存在著許多獨立重復(fù)試驗問題，因而有必要對這些問題進行分析，抓住它們共同的本質(zhì)特征，抽象概括出一個具有一般性的命題，如果能夠證明這個命題正確，那么我們就可獲得對這一類問題的一般解法。所以引進獨立重復(fù)試驗概率模型，從數(shù)學(xué)方法論角度說是一種追求簡單性美的表現(xiàn)。

2. 合理性

通過試驗，從特殊到一般，我們可以猜測n次獨立重復(fù)試驗?zāi)呈录l(fā)生k次的概率為Pn（k）=Cknpk（1-p）n-k（k=0，1，2，…，n），并證明它的正確性。

之所以要發(fā)掘出知識產(chǎn)生的思維過程，這是因為數(shù)學(xué)教學(xué)在本質(zhì)上是數(shù)學(xué)思維活動過程的教學(xué)，數(shù)學(xué)教學(xué)不僅是要傳授知識，更重要的是要通過數(shù)學(xué)教學(xué)讓學(xué)生掌握科學(xué)的學(xué)習(xí)方式、學(xué)會學(xué)習(xí)、學(xué)會創(chuàng)造，而這只有按照數(shù)學(xué)知識產(chǎn)生的思維過程組織起探究性的課堂教學(xué)才有可能實現(xiàn)。

（三） 目標分析

根據(jù)以上我們對教材的分析和探究性學(xué)習(xí)的特點，本節(jié)課的教學(xué)目標可作如下的定位：

1. 知識目標

識記公式Pn（k），了解公式的發(fā)現(xiàn)過程。

2. 能力目標

（1）了解數(shù)學(xué)知識產(chǎn)生的方法論背景，提高發(fā)現(xiàn)問題、提出問題和解決問題的能力；（2）通過由特殊到一般、由具體到抽象，培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析、歸納、抽象與概括等邏輯思維能力；（3）發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新意識和創(chuàng)新能力。

3. 情感目標

（1）以公式Pn（k）的探索為載體，體驗數(shù)學(xué)研究的過程和創(chuàng)造的激情，培養(yǎng)嚴謹?shù)目茖W(xué)態(tài)度和敢于實踐、勇于探索的精神；（2）體驗公式的簡潔美及公式與二項式定理之間的和諧性美，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。

（四） 重點與難點分析

重點是組織學(xué)生積極地、主動地、有效地參與獨立重復(fù)試驗這個概率模型的建構(gòu)過程。

難點是按數(shù)學(xué)研究的方式方法思考問題以及公式Pn（k）的證明。

二、 教學(xué)設(shè)計

整個教學(xué)設(shè)計思路是：圍繞公式Pn（k）產(chǎn)生的思維過程，即公式產(chǎn)生的必要性和合理性設(shè)計問題或討論題，激發(fā)學(xué)生探究的欲望，讓學(xué)生以主人翁的姿態(tài)和研究者、探索者的身份參與公式的提出，公式的猜測、證明和應(yīng)用的全過程。具體分下面幾個環(huán)節(jié)：

（一） 提出研究課題或研究方向

首先讓學(xué)生獨立完成下面一道題：

某射手射擊1次，擊中目標的概率是0.9，他射擊4次恰好擊中3次的概率是多少？

經(jīng)反饋調(diào)整為：設(shè)“這名射手第i次射擊，擊中目標”為事件Ai（i=1，2，3，4），該射手射擊4次擊中3次共有下面4種情況：A1A2A3A4，A1A2A3A4，A1A2A3A4，A1A2A3A4

由于各次射擊是否擊中相互之間沒有影響，故P（A1A2A3A4）=0.93（1-0.9），其他三個事件發(fā)生的概率與之相等，而這四個事件是彼此互斥的，故他射擊4次恰好擊中3次的概率為P=4×0.93（1-0.9）≈0.29.

接著討論以下四個問題：

問題1 這名射手射擊4次，4次都擊中目標有可能嗎？請你算一算這個事件發(fā)生的概率有多大；這名射手射擊4次，1次都未擊中目標有可能嗎？這個事件發(fā)生的概率有多大？

問題2 這名射手射擊4次，擊中目標的次數(shù)有多少種可能？

【說明】從多方面弄清這樣一個特殊問題很關(guān)鍵，它是下面進一步探索的基礎(chǔ)。

（二） 解決問題

問題 在特殊命題的基礎(chǔ)上你能提出一個一般性的命題嗎？

通過個別提問進行反饋，并將結(jié)果調(diào)整為

命題：設(shè)某一事件A在1次試驗中發(fā)生的概率為p，那么在n次獨立重復(fù)試驗中事件A發(fā)生k次的概率為Cknpk（1-p）n-k（k=0，1，2，…，n）。

【設(shè)計意圖】培養(yǎng)學(xué)生抽象概括的能力和構(gòu)造數(shù)學(xué)命題的能力。這是一種數(shù)學(xué)研究能力，也是一種數(shù)學(xué)創(chuàng)造能力。

（三） 知識剖析

問題1 獨立重復(fù)試驗的含義是什么？

問題2 公式有什么作用？

問題3 研究一下這張邏輯表，看你能得出什么結(jié)論？

通過討論，第一，認識到它可方便利用對立事件求解；第二，由pn（0）+pn（1）+pn（2）+…+pn（n）=1可發(fā)現(xiàn)它與二項式定理之間的一種和諧性的美：[（1-p）+p]n=1。

【說明】知識剖析是教學(xué)的一個重要環(huán)節(jié)，它對于進一步弄清知識的本質(zhì)，促使程序性知識向策略性知識轉(zhuǎn)化有著重要意義。

（四） 課堂小結(jié)

讓學(xué)生談感想。

（五） 作業(yè)布置

課本P135習(xí)題10.7 8，9，10

探索題：某人向某個目標射擊，直到擊中目標為止，每次射擊擊中目標的概率都為13，求證這樣無限地繼續(xù)下去，目標遲早會被擊中。

由本題你能概括出什么結(jié)論？

三、 教學(xué)實施中需注意的幾點

（一） 要注意讓學(xué)生充分參與，教師要轉(zhuǎn)變角色

對于所設(shè)計的教學(xué)過程，能否取得預(yù)期的、理想的效果，關(guān)鍵在于學(xué)生能否充分參與教學(xué)過程。為此，首先必須充分調(diào)動學(xué)生參與的積極性，鼓勵學(xué)生在參與的實踐中，敢于面對困難，通過不斷探索解決問題的新途徑去克服困難；其次，在探究過程中，教師要把自己當成一名初學(xué)者，退到和學(xué)生在同一起點上來思考問題、分析問題，共同體驗科學(xué)探究的過程。這樣才有可能在教師的教與學(xué)生的學(xué)，數(shù)學(xué)思想方法與數(shù)學(xué)知識之間的相互作用，以及學(xué)生與知識之間的情感交流形成一個立體化的、縱橫交錯的信息流通網(wǎng)絡(luò)，進而產(chǎn)生一種整體效應(yīng)，使學(xué)生在知、情、意等各個方面得到全面和諧的發(fā)展。

（二） 要注意學(xué)法的指導(dǎo)

學(xué)法指導(dǎo)是素質(zhì)教育的一個重要要求，要教會學(xué)生科學(xué)的學(xué)習(xí)方式、方法，既授人以魚，又教人以漁，在解決問題的過程中關(guān)鍵是要為學(xué)生提供思維策略和思維方法的指導(dǎo)。

作者簡介：

鄭建平，王文彬，江西省撫州市，江西撫州一中。