縱向打滑狀態下輪式移動機器人軌跡跟蹤控制

1.江南大學機械工程學院，無錫，214122

2.江蘇省食品先進制造裝備技術重點實驗室，無錫，214122

貝旭穎 1，2 平雪良 1，2 高文研 1，2

0 引言

相對于傳統的工業機器人，輪式移動機器人具有更強的機動性和靈活性，廣泛應用于生活服務、生產制造、太空探測等領域，并成為近年來的研究熱點［1?2］。由于在運行過程中受到的是非完整約束，故移動機器人屬于典型的非完整約束系統，移動機器人的運動控制問題因其理論挑戰性和應用價值吸引了大批科研工作者的關注［3］。根據控制目標的不同，移動機器人的運動控制主要分為三大類：點鎮定、軌跡跟蹤、路徑跟隨，其中，軌跡跟蹤是移動機器人運動控制中一個重要且實際的問題［4］。在移動機器人運動控制的研究中，通常假設移動機器人在運動過程中輪子純滾動而無滑動［5］，但在現實環境中，路面結冰、道路濕滑和快速轉彎等都會使移動機器人產生打滑［6］，使得移動機器人的實際運行軌跡與期望軌跡間存在一定誤差，移動機器人很難實現有效、精確的跟蹤［7］。文獻［8］建立了移動機器人打滑的運動學模型，但在設計軌跡跟蹤控制律時忽略了打滑的影響。文獻［9］在移動機器人發生縱向打滑時，將移動機器人的非線性模型線性化，并應用LM I方法設計軌跡跟蹤控制器。文獻［10］將移動機器人運動學模型離散化，設計了離散時間的滑模控制器來解決打滑狀態下移動機器人的軌跡跟蹤問題。上述研究均使用外部傳感器（GPS或視覺傳感器）實時檢測移動機器人的打滑狀態，經過計算可以得到輪子的滑動參數，但是通過外部傳感器獲得移動機器人滑動參數的方法實現起來較困難，所以研究移動機器人滑動參數未知時的軌跡跟蹤控制方法具有重要的理論意義和應用價值。文獻［11］設計了擴展卡爾曼濾波觀測器和DM I方法，分別估計移動機器人的滑動參數，仿真和實物實驗均驗證了這兩種方法能使移動機器人取得較好的軌跡跟蹤效果。文獻［12］首次將滑模觀測器運用到移動機器人滑動參數的估計中，仿真結果表明，該方法可以準確估計左右輪的滑動參數。文獻［13］采用滑模觀測器估計縱向和側向打滑情況下輪式滑動轉向移動機器人的打滑率和滑動角，并取得了良好效果。

本文主要研究移動機器人縱向打滑狀態下滑動參數未知的軌跡跟蹤控制問題，首先建立縱向打滑下移動機器人的運動學模型，設計一個滑模觀測器估計左右輪的滑動參數；然后基于Lyapu?nov直接法設計移動機器人軌跡跟蹤控制律，同時根據控制系統的極點分布確定控制參數的值，最后通過仿真驗證了提出的軌跡跟蹤控制方法的有效性和準確性。

1 移動機器人運動學模型的建立

四輪滑動轉向移動機器人的車輪均為驅動輪且獨立驅動，可靠性高，具有高度靈活性和更強的驅動力。這種車體沒有轉向裝置，依靠改變左右側車輪速度差使得車體滑動，實現不同半徑的轉向，即呈現出邊滾邊滑的運動狀態［14］。假定車體完全對稱，質心與幾何中心重合，運動學模型見圖1。

圖1中，XOY為全局參考坐標系，xoy為局部參考坐標系，θ為車體與X軸的夾角，為了簡化分析，分析過程基于“同側車輪等速”這一假設，即ω1=ω2= ωL；ω3= ω4= ωR，ωL、ωR分別為左右側車輪的角速度。

不考慮打滑時，車輪輪心的縱向速度與車輪轉動的線速度相等：

vL=rωLvR=rωR（1）

式中，vL、vR分別為左右側車輪輪心的縱向速度；r為車輪半徑。

由圖1可推導以下關系式：

式中，ν為車體前進的速度；ω為車體繞幾何中心的角速度；b為車輪輪距。

所以在全局參考坐標系下，移動機器人不打滑狀態下的運動學模型為

考慮縱向打滑時，車輪的縱向打滑使得車輪輪心的縱向速度與車輪轉動的線速度不相等，引入分別表示打滑時左輪輪心和右輪輪心的縱向速度。定義滑動參數i表示車輪的縱向滑動程度：

式中，iL、iR分別為左右側車輪的滑動參數。

由式（2）和式（5）可得縱向打滑狀態下移動機器人的線速度和角速度：

所以在全局參考坐標系下，移動機器人縱向打滑狀態下的運動學模型為

2 滑動參數的估計

2.1 滑模觀測器的設計

輪式移動機器人是典型的非線性系統，在縱向打滑條件下，左右輪滑動參數iL、iR的估計非常復雜。滑模觀測器能夠有效處理非線性系統的不確定性，所以本文設計一個滑模觀測器來估計滑動參數、。令

則式（7）可表示為

引入變量θ˙1表示移動機器人的角速度，則式（8）可轉變成

其中，θ˙1= θ˙，均代表移動機器人的角速度。根據式（9）設計以下觀測器：

式中，L1、L2、L3為滑模觀測器增益且均為正數；θ^˙、θ^˙1均為移動機器人角速度的估計。

性能良好的滑模觀測器可以使觀測誤差在有限的時間內收斂到零，所以由上式可得

由于存在符號函數的切換，故滑模觀測器在滑動面附近產生抖振。為了減小抖振對控制系統的影響，將滑模觀測器中的不連續部分通過低通濾波器。則式（13）可轉變成

其中，下標LPF代表低通濾波。

2.2 滑模觀測器穩定性分析

文獻［12］指出：如果滑模觀測器的切換函數sn滿足條件sns˙n＜0，則滑模觀測器的觀測誤差將在有限時間內收斂到零。本文使用該結論對滑模觀測器的穩定性進行分析。選取滑模觀測器的切換函數

根據第一個切換函數，構造Lyapunov函數：

求導可得

同理，根據第2個切換函數構造Lyapunov函數：

求導可得

由上述分析可知，當滑模增益L1、L3分別滿足式（17）和式（18）時，滑模觀測器的觀測誤差將在有限時間內收斂到零。

3 移動機器人軌跡跟蹤控制

3.1 移動機器人軌跡跟蹤模型

移動機器人在跟蹤給定參考軌跡時，軌跡跟蹤示意圖可簡化成圖2。

圖2 軌跡跟蹤示意圖Fig.2 Diagram of trajectory tracking

圖2中，(X,Y,θ)T為機器人的實際位姿，(Xr,Yr,θr)T為機器人的期望位姿，它滿足如下運動學方程：

式中，νr為車體前進的期望線速度；ωr為車體繞幾何中心的期望角速度。

在全局參考坐標系下，移動機器人軌跡跟蹤誤差方程為

對上式求導可得移動機器人軌跡跟蹤微分方程：

軌跡跟蹤控制即在移動機器人縱向打滑的情況下，尋找合適的控制輸入(ν,ω)，使軌跡跟蹤誤差一致有界，并且

3.2 軌跡跟蹤控制律的設計

由式（6）可知

因此，可得

利用滑動參數的估計值i^L、i^R代替滑動參數的實際值iL、iR，上式可轉變成

構造以下Lyapunov函數：

對式（25）求導并根據式（21）可得

選取控制律為

式中，k1、k2為控制參數，且均大于零。

將式（27）代入式（26），可得

由上述證明可知V＞0且V˙≤0，所以該系統是漸近穩定的。

3.3 控制參數的確定

在絕大部分研究中均采用試湊法確定控制參數ki，難以保證控制系統的準確性和實時性。本文提出一種根據控制系統的極點分布確定控制參數的計算方法。

將式（27）代入式（21），可得移動機器人閉環系統的跟蹤誤差方程：

移動機器人閉環系統在平衡點處可用線性化的近似系統表示：

特征方程的特征根均具有負實部，所以該控制系統是穩定的，即控制參數k1、k2無論怎樣調整，軌跡跟蹤誤差[e1e2e3]T在有限時間內均會收斂到零。

二階系統在欠阻尼狀態時動態性能良好，所以控制系統的期望極點選擇為式中，ξ為阻尼比，取0.707；ωn為無阻尼自然頻率。所以移動機器人控制系統的期望特征方程為

(S+ ξωn)(S2+2ξωnS+ ω2n)=0 （32）

由式（31）和式（32）可知

由上式可以發現，當νr趨于零時，k2趨于無窮大，這種情況理論上不允許出現，所以選取，γ 為常數且大于零。

故式（33）轉變成如下形式：

由上述分析可知，軌跡跟蹤控制過程中只需要調整參數γ即可準確確定控制參數k1、k2；而且當期望速度[νrωr]發生變化時，控制參數k1、k2也可實時確定，提高了控制系統的實時性。

4 數值仿真實驗

選取直線和圓形兩種期望軌跡驗證本文提出的縱向打滑條件下移動機器人軌跡跟蹤控制方法的有效性和準確性［16?18］。移動機器人物理參數為r=0.950 mm，b=0.410 mm；初 始 線 速 度ν(0)=0.4 m/s，初始角速度ω(0)=0.3 rad/s；γ=50；滑模增益根據式（17）和式（18）確定，L1=2rωR/b，L3=2rωL/b。滑動參數估計值的初始值i^L(0)=i^R(0)=0。為了驗證所設計的滑模觀測器的魯棒性，假定在第20 s時滑動參數iL變為0.1，iR變為-0.1。

4.1 直線軌跡跟蹤

移動機器人期望線速度νr=1 m/s，期望角速度ωr=0；k1=11，k2=50。期望軌跡的初始位姿為[1 0 π/3]T；實際軌跡的初始位姿為[1 -2 π/2]T。

移動機器人跟蹤直線軌跡的仿真結果見圖3～圖7。

圖3 直線軌跡跟蹤結果Fig.3 Result of linear trajectory tracking

圖4 直線軌跡跟蹤誤差Fig.4 Error of linear trajectory tracking

圖5 實際速度變化（直線軌跡跟蹤）Fig.5 Variation of actual velocity（linear trajectory tracking）

圖6 左輪滑動參數估計（直線軌跡跟蹤）Fig.6 Estim ation of leftwheel slip param eter（linear trajectory tracking）

圖7 右輪滑動參數估計（直線軌跡跟蹤）Fig.7 Estim ation of rightwheel slip parameter（linear trajectory tracking）

從上述分析結果可知，移動機器人能夠從初始位置快速收斂到期望直線軌跡，而且軌跡跟蹤誤差能夠在短時間內收斂到零；當左右輪滑動參數發生變化時，滑模觀測器仍能準確地估計滑動參數。直線軌跡跟蹤過程準確平穩，跟蹤性能較好。

4.2 圓形軌跡跟蹤

移動機器人期望線速度νr=0.2 m/s，期望角速度ωr=0.2 rad/s；k1=2，k2=50。期望軌跡的初始位姿為[1 0 π3]T；實際軌跡的初始位姿為[1 -1 2π/3]T。移動機器人跟蹤直線軌跡的仿真結果見圖8～圖12。

圖8 圓形軌跡跟蹤結果Fig.8 Error of circu lar trajectory track ing

圖9 圓形軌跡跟蹤誤差Fig.9 Error of circu lar trajectory track ing

圖10 實際速度變化（圓形軌跡跟蹤）Fig.10 Variation of actual velocity（circular trajectory tracking）

圖11 左輪滑動參數估計（圓形軌跡跟蹤）Fig.11 Estim ation of leftwheel slip param eter（circular trajectory tracking）

圖12 右輪滑動參數估計（圓形軌跡跟蹤）Fig.12 Estim ation of rightwheel slip parameter（circular trajectory tracking）

由仿真結果可以看出，移動機器人能夠從初始位置快速準確地跟蹤到期望圓形軌跡、從初始速度收斂到期望速度，而且軌跡跟蹤誤差能夠在較短時間內收斂到零；當左右輪滑動參數發生變化時，本文設計的滑模觀測器仍能較好地估計滑動參數，同時滑模觀測器的參數估計值經過低通濾波處理后，估計過程變化平緩，振蕩現象不明顯，所以低通濾波可以有效降低抖振對滑動參數估計的影響。

5 結論

仿真結果表明，當滑動參數突然發生變化時，滑模觀測器仍能準確估計左右輪滑動參數，移動機器人能夠快速準確地跟蹤到期望軌跡，而且跟蹤誤差能夠在較短時間內收斂到零。