層層滲透 有效揭示

徐忠良

摘要：應用題教學是初中數學的重點和難點之一。它的內容涵蓋了方程、不等式、函數的幾個方面。應用題教學方式多樣、繁雜。書上雖然列舉了解決應用題的基本步驟“審題——尋找（不）等量關系——設未知數——列出方程（不等式）”。但是這樣的步驟過于籠統，缺乏教學的可操作性和診斷性。而教師往往按照自己的思考過程去分析講解問題，很少站在學生的立場去看待問題的先后順序和難易。本文的目的是以學生的思維角度出發，從紛繁復雜的應用題教學中理出一條可以作為指導性的線索，將應用題的教學結構清晰地呈現出來。根據這個結構分析現有的教學過程中產生的問題，并給出相應的對策，并從一個教學實例中說明了這種結構安排的教學有效性。

關鍵詞：應用題；結構；有效性

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1992-7711（2018）01-0036

一、應用題教學的結構安排

很多教程認為應用題的教學流程應該是審題——尋找（不）等量關系——設未知數——列出方程（不等式）。這樣的結構既不具備可操作性又缺乏教學的診斷性。且這個過程沒有體現學生從接受信息伊始的思維過程。

為此，筆者嘗試將應用題的教學歸結為以下的一個結構安排（圖1）：

以上結構基于學生思維的由淺入深的過程，我們來分析這個過程的可行度：

初次讀題，需要一個較為簡單的任務目標——構筑生活情境。接下來，聯想到一些與題目相關的基本模型，這些基本模型是大家都比較常見的或者通過思考容易得到的。接著設未知數，那么這個未知數有什么用？這是學生經常思維停滯的地方。在以上的結構安排中筆者的下一個任務是用已知條件和未知數去表示一些基本量。也就是說學生并不是只有找到了方程（不等式）以后才能用未知數，他可以在列方程之前就做點有用的事情。當做完這些事情后，題目的條件從無序狀態變為有序狀態，最終可以較為輕松地尋找出（不）等量關系。

例：用一個周長為30m的鐵絲，圍成一個面積為50平米的矩形，求這個矩形的長和寬（長>寬）

初次讀題，容易想到將鐵絲扭成矩形的過程；接著，學生會感知到本題是和長方形面積有關的，就容易聯想到長、寬和矩形面積三個量，并且他們三者的關系是矩形面積=長*寬；隨著基本關系和問題的清晰，就可以試著設未知數，這里學生會設此矩形的寬為x。

有了可以使用的已知量和未知量，就可以用代數式表達那些基本關系的量。一般來說，很多應用題的基本關系雖然是清晰的，但那些基本關系的量并不是直接給出，需要學生對已知條件和未知量進行合理的組合。比如這里面，寬已經設為x了，但是“矩形的長”無論是已知條件還是未知系數都沒有直接告知，故我們可以將“長”用x的代數式表示出來。這個環節的作用隨著題目難度的增加而變得明顯，這會給解題減少很多盲目性。

以上都完成后，就可以尋找等量關系列出方程。這里等量關系應該是長*寬=矩形面積，此時長、寬、矩形面積的表示均已經到位，直接帶入這個等量關系即可列出方程。

事實上一般的應用題教學流程均適用于以上的結構，對于簡單的題目（比如上例），往往某些流程在極短的時間內就完成了。而對于那些比較復雜的題目，以上的流程可能需要被單獨分解，甚至是詳細講解和討論。

二、從結構中分析教師在教學過程中的誤區及原因

誤區一：從流程的執行順序角度看，教學流程順序混亂

比如：在讀題過后，先找等量關系，再讓學生設置未知量，然后用代數式表示基本量，最后列出方程。筆者認為這是一種嚴重的結構混亂。這里要指明一點，等量關系的尋找應該是最后確定的，因為等量關系的確定總是較為困難的一個環節。一開始應該是較為簡單的思維活動，比如感知基本的數學模型。很多時候我們在讀題后就將等量關系直接和學生說明或是給出了很明顯的提示，然后再處理其他環節。其實，這是方便自己的行為。這樣做的不利因素：學生的思維已經不是循序漸進、由淺入深的過程。而是一種被教師引導下的跳躍式的，無思考余地的思維過程。

例：一條環形跑道長400m，甲550m/min，已250m/min，若兩人同時同向同地出發，則經過多少分鐘甲第一次追上乙。

假如教師無視學生思維的漸進性，在讀題后就將“甲跑的路程-乙跑的路程=一圈跑道的長度”這個關系直接交給學生。這樣此題對于學生的思考價值幾乎為零。事實上，這道題目從學生剛接觸的短暫時間里要弄清這個等量關系并非易事。我們教師要做的是在聯想現實情境后，給學生感知基本模型，這里很明顯是一個關于“速度*時間=路程”的基本模型。設經過x分鐘后，甲追上了乙。此時，我們就可以表示一些量，比如x*550就表示甲的路程，x*250表示乙的路程，之后稍加思考即得出：“甲跑的路程-乙跑的路程=一圈跑道的長度”可謂是水到渠成，這也是本題的教學價值所在。

誤區二：從目標指向角度看，目標指向不明確

比如：我們給學生一個指令——請仔細審題。這是一個無效的指令，審題到底是幫助了解題目的實際情境，還是感知基本模型，還是尋找等量關系。由于目標指向的不明確，導致一部分學生雖然在“審題”，但是往往是機械地默讀了一遍文字，沒有起到很好的作用。

誤區三：從任務的執行者角度看：執行者的選擇錯誤導致效率低下

比如：最典型的例子是所有的步驟均在教師“引導”下完成，從讀題到等量關系的確立。這是一個常見的教學誤區。其不利之處在于：參與面狹窄，即便部分學生可以在教師的引導下思考，跟上教師的思路，但是參與面并不指向全體學生，部分學生在中途已經跟不上教師的思路，教學有效性自然低下。

例：一標志性建筑，地面呈正方形，在四周鋪上花崗巖，形成一個寬為3m的正方形框。已知這個框恰好用了192塊邊長為0.75米的正方形花崗石，問標志性建筑地面邊長多少米？

題目本身和面積有關。但是最容易想的等量關系是：“大正方形面積-小正方形面積=四周的花崗巖的面積。”但是由于這樣一來，列出的方程會涉及到完全平方的展開，故不少教師將“等量關系的尋找”任務錯誤地交給了自己。事實上，我們只要在“計算”方面稍微寬容些，就可以讓學生多一次獨立思考的機會。

誤區四：從各種任務的重要程度上看：容易忽略某些看似簡單的任務

比如，讀題雖然是一個閱讀過程，但是要將具體情境展現在每個學生腦海中，并不是很簡單的過程。現在的不少學生生活閱歷較低，對于一些日常生活的處理根本沒有經驗，一旦數學和生活結合在一起，對應用題的恐懼心理可想而知。另外，設置未知數這一步看似簡單，但實際這是將未知量作為可用條件的一個思維轉換。否則設未知數只能作為一個形式，學生并未真正理解設未知數的意義。很多學生雖然會寫“設……為x”，但是接下去就束手無策，這就是沒有很好的理解未知數的作用而產生的結果。

例：教師和學生一共54人一起去公園，教師門票每人7元不打折，學生票價半折。門票總計206.5元，問學生共多少人？

學生可以很容易設“學生有x人”。但是有多少學生真正理解了未知數的意義呢？有不少學生之后列出了以下的方程：（54*7-206.5）/3.5=x。雖然也將其稱為方程，但是這說明學生還是將未知數作為一種需要去解決的問題，而不是將它作為一種可以使用的條件參與到方程的建設過程。教師不僅需要讓學生“設學生有x人”，更應該從思想上引導他們，有了這個x，就可以將x看做一個量，并且可以在任何的代數式和等式中使用。

三、從結構安排中分析部分學生在課堂中的特點

分析整個結構流程，我們會發現學生的學習效果之所以產生差別是因為對于任務完成的步調不一致。很明顯的事實是學生在一節課中有著不同的理解深度，不同的思維速度和不同的起步知識。可以想象，一部分學生已經進入感知數學基本模型階段時，部分學生還在通讀題目，聯想生活情境。一部分學生可以根據等量關系列出方程時，另一部分學生可能還在理解某些表示基本量的代數式。

例：先由甲工程隊獨做2天后，再由乙工程隊獨做3天剛好完成。已知單獨工作，乙比甲多用2天，求甲乙工程隊單獨完成這項任務各需多少天。

將總工程量看做“1”，并且設甲需要x天，則乙為x-2天，由題意得方程：2/x+3/（x-2）=1。在這個過程中，基礎較好的學生快速得出方程，但是部分學生正在思考這個“1”是哪里得出的？部分學生在思考為何設甲需要x天，甲的工作效率就是1/x。這些問題我們總是忽視但確實存在于課堂中的現象。

四、應用題教學有效性的建議

既然我們從結構中發現了教師在上課的一些問題和學生的思維差異，也找到了產生這些問題的原因。那么，我們就可以試著做出一些改變，避免這些消極因素對教學的影響。筆者給出以下幾條建議：

1. 給予學生充分時間與空間去建立現實情境

學生的生活經驗和社會閱歷對于解決應用題非常關鍵。比如在買賣中涉及的一些原理：你買東西花成本，賣東西賺差價，每天也許還有其他支出；薄利多銷，你單件的利潤越小則銷量往往越高；買300送100優惠活動等。學生有基本的生活經驗，在解題中就會很自然地往那方面靠攏。

例：電信公司兩種電話計費方法：方法A是每月收取月租費50元，此外通話時間按照0.4元/分收取。方法B是不收取月租費，通話時間按0.6元/分收取。問通話多少分鐘，方法A的計費方法便宜？這是七年級的應用題，表面上看這個題目要用到不等式的知識。其實如果學生有生活經驗，他們就會發現A的每分鐘收取的費用比較少，而B的費用比較多，通話時間越久，A的優勢就越大，雖然A前期虧了50，但是隨著通話時間的增加，可以將虧損彌補回來。假如學生能夠想到這一步。教師只需稍加引導：那通話時間為多少，則A費用和B費用相等呢？這個題目就非常用方程的思維去解決了。

2. 在“簡單”的環節上多下筆墨。（參見上文“誤區四”）

3. 建立有效的補償機制

補償上課過程中因學生理解力的不一致所帶來的消極作用。教師的講授速度參照了一部分同學的理解力，所以另一部分學生落后于教師的進度也是在所難免的。我們要讓學生在步調不一致的時候得到幫助。解決這個問題最簡單的機制就是有效的合作學習。合作學習的最大作用在于解決了學生完成任務的步調不一致，和產生問題后的及時幫助。合作學習對于理解力較弱的學生而言非常的有用。

例：商店里有種皮衣，每件售價600元可獲利20%，現在客戶用2800元的總價購買了若干件皮衣，而商家仍然獲得了12%的利潤，問客戶買了多少件皮衣。

為了解決步調不一致，我們可以讓四人小組為一個合作單位，規定好一號位學生說明這種問題涉及哪些量？二號位學生說明這些量的基本關系（一個簡單的等式）；三號位學生說明“每件售價600元可獲利20%”如何求出成本；四號位學生說明，x件皮衣，成本，利潤率，總價之間的關系式。應該將這個合作任務呈梯度分配，難度小的由反應較慢的學生完成，難度較大的任務由反應較快的學生完成。一旦產生了理解上的步調不一致，則由基礎好的學生講解給基礎差的學生聽。

4. 堅持思維過程步驟化，目標指向明確化

我們可以想象一下運動員投籃時的動作分解。先用上臂的力量給籃球做功，再到下臂的法力，最后手腕波動籃球投出弧線。這個過程在比賽中看似一步到位，但是實際是分步完成的。同理，應用題教學應該堅持將思維過程步驟化，且每步應伴隨著一個特定的目標。如果將這個理念一直滲透下去，學生解應用題的能力區別實際就是完成各個步驟的速度和質量的區別。題目有難易之分，對于簡單的題目，我們應當讓學生將思維過程快速通過各個任務。對于有難度的題目，我們更要讓學生帶著目標去完成逐級的任務。即便最后把問題不能圓滿解決，但是從清晰的步驟中學生可以體會到自己哪些方法需要熟練，哪些語句值得注意。而且這種過程清晰的思維任務可以最大限度地避免學生花了時間卻一無所獲。

5. 選擇有效的任務執行者

任務執行者可分為教師單獨講授，學生獨立完成，學生合作學習，教師輔助引導。選擇不同的任務執行者在解決任務中都有一定的優勢和劣勢。比如教師作為執行者可以讓學生少走很多彎路，節約課堂時間，但不利于學生獨立解決問題能力的培養，也不利于學生參與度的增加。選擇任務執行者的原則是在有限的時間內實現最大的參與度與任務完成率。

五、一個良好的應用題教學流程分布及效能表

（注：流程執行者選擇中，教師——教師單獨的講授和分析；學生——學生獨立的思考與分析；合作——學生之間有效的合作學習；輔助——在教師引導下的學生思考活動）

這個表中，我們最終將所有任務落實在參與度和完成度上。筆者認為，一個有效的應用題教學應該是：在合適的時間分配內，有著較高的參與度和完成度。

六、具體實踐案例

題目：某城市平均每天產生生活垃圾700噸，全部由甲，乙兩個垃圾廠處理，已知甲廠每小時處理垃圾55噸，需費用550元；乙廠每小時處理垃圾45噸，需費用495元。如果規定該城市處理垃圾的費用每天不超過7370元，甲廠每天至少需要處理垃圾多少小時？

我們可以根據的《應用題流程分布及效能表》和具體題目特點，在具體任務劃分，時間分配，具體執行者選擇等方面做好安排，并做好記錄（以下記錄數據與事實存在微弱偏差，完成度項目部分不可計數）：

1. 初次讀題，了解生活背景

本題涉及到的實際情景比較清晰。所以選擇學生獨立完成。絕大多數學生在給定的時間內可以了解以下事實：一天要處理700噸，甲、乙兩個垃圾處理廠分別處理一些垃圾，將垃圾處理完。每處理一噸垃圾，需要一定的費用。

時間分配：1分鐘，參與度：100%，完成度：不可記

2. 感知數學概念

本題的涉及基本概念，本質是單價、數量、總價的問題。但是學生需要一些具體的描述就能更好地理解。這個過程中，教師雖不直接參與講授，但在多媒體上可以給出一些描述：每小時處理垃圾的費用；處理時間；總費用。學生根據提示獨立理解這些量的意義，并完成三個量之間數學關系。

時間分配：1分鐘，參與度：100%，完成度：98%

3. 設置相關未知數

八年級學生已經不像七年級學生那樣對未知數感到害怕，多數學生可以獨立從問題那里得到“設甲長每天至少處理垃圾x小時”。但是考慮到這個x出現在不等式類型中，教師需提醒學生避免受“至少”這種詞對分析題意的干擾：“這個x就相當于一個確定的量，大家將整句話理解為‘設甲長每天處理x小時即可。”

時間分配：0.5分鐘，參與度：100%，完成度：不可記

4. 用代數式表示基本量

這里要學生表示的量有這些：（1）乙處理的時間；（2）甲處理的費用；（3）乙處理的費用。這道題目的難點在于如何根據已知條件和未知量x來表示乙的處理時間。而且考慮到學生對于數據處理上的步調不一致。在獨立思考后，給學生小組合作。

時間分配：3分鐘，參與度：90%，完成度：78%

5. 獨立思考，尋找不等量關系，并列出不等式

大屏幕給出提示：在這個問題中的不等量可以從以下幾個方面尋找：（1）生活中的常識與經驗；（2）題目中的關鍵語句。

時間分配：2分鐘，參與度：95%，完成度：80%

完成整個題目控制在8分鐘左右。教學效果良好，不少基礎較差的學生也積極參與到思考與討論中來，參與度很廣；由于任務與思維難度呈階梯狀上升，使得學生思維的條理性增加，且有效合作在一定程度上降低了理解不同步的狀況，相應的任務完成度也較為理想。

七、結束語

應用題對于培養學生分析問題，解決問題大有益處。他也是方程思想和不等式思想的主要體現。筆者從學生思維的角度將應用題的思考過程加以過程化，目標化。實踐證明，從課堂的參與度和完成度看，本文討論的應用題教學結構安排適合絕大多數學生的課堂學習，它避免了學生學習和教師教學的盲目性。長期地堅持這一教學過程，對于整體提高教師的課堂有效性有積極的作用。

參考文獻：

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[4] 何乃忠.新課程有效教學疑難問題操作性解讀[M].北京：教育科學出版社，2012.

（作者單位：浙江省杭州市余杭區星橋中學 310000）