如何利用有效變式培養學生的探究意識與能力

☉江蘇省張家港市沙洲中學 戴御梅

對某個數學問題進行有目的、有計劃的變形并因此將學生引領進新的數學問題中進行思考與探究的教學就是我們數學教學中經常提及的變式教學.變式教學這一教學手段雖然在數學教學中得到了很廣泛的運用，但變式的有效性卻不是每位教師在教學中都能夠保證的.事實上，教師在教學中應首先考慮學生思維的最近發展區，并引導學生從“變”的現象中探尋“不變”的問題本質，并繼續探求出其中“變”的規律并因此充分調動學生的探究熱情，使得學生能夠在積極的思考中獲得數學能力與思維水平的雙方面發展.筆者在“向量”的復習教學中曾經著眼于一個比較簡單的問題，引導學生對其進行了有效的變式與探究，效果很好.

一、問題的提出

圖1

設計意圖：一個簡單的問題將作圖方法、基本知識、解題技巧都進行了較好的復習，而且還為后續的變式研究打下很好的基礎.

二、系數簡單變式

設計意圖：三角形排列順序使面積比跟條件等式中的順序保持一致是筆者有意而為之，這一更加貼近學生最近發展區的安排能夠有效促進學生思考.

圖2

圖3

師：通過條件等式的轉化及平行四邊形的法則作圖使得P點位置得以確定.確定P點位置是否可以與引例聯系呢？

生4：構造三角形并使點P成為三角形的重心之后借助引例的結論來解決.

如圖4，延長PB至點B，使

圖4

1PB1=2PB，延長PC至點C1，使PC1=3PC，連接AB1、AC1，所以，由引例，P是△ABC的重心，所以S=

11△PAB1

S△PAC1=S△PB1C1，易得S，所以

△PAC1

師：我們都知道平行四邊形法則、三角形法則是解決向量和差這一類問題的重要方法，還有其他方法嗎？

生5：坐標運算法也可用，我覺得取特例正三角形ABC是可行的.

筆者及時進行了鼓勵并引導學生探尋解題思路.

圖5

師生共同運用從特殊到一般的解題思路進行了探究，如圖5，由兩邊向量縱坐標相等得（yA-yP）+2（yB-yP）+3（yC-yP）=0，所以yA=6yp，所以

師：太棒了！

筆者引導學生對此題所運用的所有解法進行了總結與對比，對于學生能夠積極思考并將類比、轉化等思想方法運用得如此游刃有余進行了及時的表揚和肯定，學生從數的角度、形的角度對同一個問題進行了不同的思考.此時有學生發現了題中最后求得的面積比正好是已知等式中系數的比這一現象，筆者沒有進行簡單的否定或忽略，而是將學生的這一發現當成了訓練學生推理能力的契機，于是讓學生進行了驗證猜想的引導并獲得了意外的收獲.

生6：我換了三個系數進行了計算，發現面積的比剛好都是已知等式中系數的比，這是巧合嗎？還是本來就存在這樣的規律呢？

學生很快投入到自己的思考及演算中去了.

三、探尋問題本質規律

師：當真會有如此奇妙的規律嗎？大家首先自己探討一下.要想使面積之比與已知等式中系數之比相等就必須滿足系數符號均為同號這一條件.接下來讓我們以正數來驗證這一規律吧.

生7：經過驗證能發現這一規律在一般情況下一樣成立.

大多學生運用變式1的第三種方法對此規律進行了驗證，驗證的成功使得學生都很興奮，對于變式與拓展的探究熱情更加高漲，筆者乘勢拋出了進一步拓展的問題：

學生在一定的方法比較之后選擇了坐標法進行解題，則△PBC、△ABC的面積之比等于P、A縱坐標的絕對值之比，則S1∶S2∶S3等于|m|∶|n|∶|p|.

全班響起了熱烈的掌聲.

四、探求“形似”問題的本質區別

設計意圖：引導學生從形似問題的解決中認識到簡單套用結論做題是比較片面的做法，解題時應搞清楚條件與結論的對應關系并運用好轉化與處理問題的方法，使學生能夠在這種類似題目中進一步提煉解題的思想方法.

有學生在這兩個變式練習中感覺困難，教師可以加以適當的點撥來幫助學生突破難點、總結解題規律和注意點.

生8：等式左邊的三個向量都是將非三角形的頂點作為起點的，而等式右邊又是零向量，小三角形面積比的系數對應著所給等式左邊中不在小三角形中的向量系數，比如變式1中△PBC缺少A，因此面積之比中和它對應的就是P—

→A的系數.師：這個結論很好，不過進一步了解數形結合、從特殊到一般、猜想與驗證等思想方法在今后學習中的作用才是更加重要的，大家在課后再考慮一下，這個結論反過來是否成立.

設計意圖：這一設計對于學生思維的縱深發展是尤為有意義的，學生在這樣的變式中進一步拓展了思維的空間及辯證看待問題的意識.

貼近學生最近發展區設計的有效變式能夠使學生的好奇心在這些拓展性練習中更加強烈，探究知識的愿望轉化成了學生內心的強烈需求，學生思維的活力、探究的主動性也因此得以更好地展現.

教師設計有效變式進行教學時應有意識地為學生創造更加廣博的思考與探究空間，引導學生養成從各種不同角度觀察問題、思考問題的意識和習慣，使學生能夠在解題時有意識地探究更多不同的解題思路與方法，在條件的增刪、變化中拓展數學問題并探究一般規律，使學生的思維空間與學科素養都在問題變式的探究與解決中不斷得到拓展.F